книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

Рис. II.1. Балка переменной по длине жесткости, нагруженная трапециевидной распределенной нагрузкой (а); расчетная модель

метода конечных элементов (б).

Рис. II.2. Внешние узловые сосредоточенные силы и моменты для балки.

Рис. П.З. К построению уравнений равновесия для узлов балки.

52

При использовании метода перемещений для расчета дискретной модели балки (рис. II.2) в качестве основных неизвестных естественно принять просадки и углы поворота узловых сечений. Это приведет к тождественному выполнению условий неразрывности прогибов и углов поворота при переходе из одного элемента в смежный через

Если далее воспользоваться матрицей жесткости для каждого из элементов балки с целью исключения из уравнений равновесия (а) и (б) реактивных усилий (вывод матрицы жесткости для элемента балки будет дан ниже), то в результате получим систему уравнений для определения основных неизвестных просадок (qL, q2) и углов поворота (cpj, ф3) узловых сечений балки. Располагая значениями узловых перемещений, можно определить напряженное состояние

вкаждом конечном элементе балки, а следовательно, и в конструкции

вцелом.

§ ю

Матрица жесткости призматического элемента стержня

Ниже будет приведено несколько матриц жесткости для призма­ тического элемента стержня. Вначале получим матрицу жесткости элемента стержня при плоском изгибе в местной (одна из осей совпа­ дает с осью элемента стержня) и общей (произвольной) системах координат. Затем найдем матрицы жесткости элементов балок с учетом как изгибных деформаций, так и деформаций сдвига, а также влия­ ния на изгиб элемента, приложенных к нему осевых усилий.

Матрица жесткости для призматического элемента балки при изгибе в одной плоскости. Для призматического элемента балки примем следующие направления координатных осей: ось х совместим с осью балки, а оси у п z — с главными центральными осями инерции поперечного сечения. Ограничимся рассмотрением изгиба элемента балки, происходящего в плоскости ху. Такой изгиб будет иметь место, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой балке (или к плоской системе стержней), действует в той же плоскости.

53

Элемент балки будет загружен усилиями взаимодействия со смеж­ ными элементами R lt R z, R s и Rt, которые в дальнейшем будем рас­

тов вектора узловых усилий и вектора узловых перемещений при­ ведены на рис. II.4.

При рассмотрении изгиба элемента балки будем использовать техническую теорию изгиба балок. Это позволяет в дальнейшем вместо изгиба балки рассматривать изгиб ее оси.

В нашем случае положение элемента балки (его оси) полностью определяется четырьмя узловыми перемещениями, поэтому можно

Параметры а,, можно выразить через узловые перемещения (^), которые найдем с помощью формулы (10.1):

q! = v (0) = осц

S — 1

54

где

ЭЛ*) = 1

Э2(х) = х - 2 - ^ - + ^

( 10. 6)

так называемые одномерные функции Эрмита, удовлетворяющие следующим условиям:

(10.7)

э3(0) = 0, Э'ъ (0) = 0, Э3 (а) = 1, Эъ (а) = 0 э (0) = 0, э; (0) = 0, Э4 (а) = 0, э\ (а) = 1

Рис. 11.5. Четыре «единичных» нзгибных деформированных состоя­ ния элемента балки: а, в — при узловых перемещениях слева и справа; б, г — при узловых поворотах слева и справа.

Непосредственно из выражения (10.5) следует, что каждая г-я функция Эрмита определяет изгиб жестко заделанной балки, которая получила единичное смещение по г'-му направлению (qt = 1). Эти четыре «единичных» состояния элемента показаны на рис. II.5.

Чтобы получить матрицу жесткости для рассматриваемого эле­ мента балки, воспользуемся приемом, который требует предвари­ тельного определения потенциальной энергии элемента:

55

Подставляя (10.5) в (10.8), получаем

Индекс «и» указывает на связь данной величины с изгибными дефор­ мациями элемента.

В рассматриваемом случае зависимость (10.11) в развернутой форме запишется в виде

Нумерация и положительные направления узловых перемеще­ ний и усилий элемента балки показаны на рис. II.4.

Физический смысл значения каждого из элементов матрицы жесткости [/С] легко понять из выражения (10.12): произвольный элемент матрицы жесткости kiK численно равен реактивному узло­ вому усилию в жестко заделанном элементе балки по i-му направ­ лению при единичном смещении по к-му направлению (qK= 1).

Обратимся теперь к определению эквивалентных узловых уси­ лий \Р} для элемента балки, загруженного некоторой поперечной нагрузкой интенсивностью q {х). Для определения \Р} проще всего воспользоваться принципом возможных перемещений, на основа­ нии которого можно записать

56

Если учесть, что на основании выражения (10.5) би =

4

= ^ бqs3 s (х), то из зависимости (10.13) находим

S — I

Ла

Отсюда получаем следующую формулу для определения г-го эле­

Рис. 11.6. Два «единичных» деформированных состояния стержня от растя­ жения-сжатия: а — левого конца; б — правого конца.

Для частного случая q (х) = const:

Матрица жесткости для элемента стержня при совместном учете деформаций изгиба и растяжения-сжатия. На элемент стержня длиной а, жесткостью на изгиб EI и жесткостью на растяжениесжатие EF действуют поперечная нагрузка интенсивностью q (х) и распределенная осевая нагрузка интенсивностью т (х). Введение продольной силы требует рассмотрения еще двух «единичных» состояний элемента, показанных на рис. II.6. Здесь через qb и q6 обозначены узловые перемещения элемента в направлении оси х.

Перемещение произвольного сечения элемента в направлении х можно выразить через его узловые перемещения с помощью зави­ симости

Чтобы определить матрицу жесткости, вновь воспользуемся вы­ ражением для потенциальной энергии элемента, которое в рас­ сматриваемом случае совместного учета изгибных и продольных деформаций запишется в виде

57

Подставляя сюда выражение v (х) из формулы (10.5) и и (х) из фор­ мулы (10.17), получаем

Если определить с помощью зависимостей (10.21) значения эле­ ментов матрицы жесткости [/(], то связь между узловыми уси­ лиями \R\ и узловыми перемещениями {q\ для случая совместного учета деформаций изгиба и деформаций растяжения-сжатия в раз­ вернутой форме запишется так:

а

Нумерация и положительные направления узловых усилий и перемещений приведены на рис. II.7.

Вектор эквивалентных узловых усилий j/5) в случае действия на элемент поперечной нагрузки интенсивностью q = const и рас­ пределенной продольной нагрузки интенсивностью т = const будет иметь следующий вид:

1^1 = j - r r ^ , -j\-Яаг, -j- qa, -----j -^-тa, -i- xaj. (10.23)

Нумерация и положительные направления элементов вектора соот­ ветствуют приведенным на рис. II.7.

* Здесь и ниже в пустых клетках выше главной диагонали стоят нули.

58

Зависимость (10.22) можно переписать так:

Первое из этих уравнений уже встречалось выше [см. выраже­ ние 10.11]. Второе уравнение (10.26) определяет связь между узло­

следующие обозначения:

Индекс «р» указывает на связь данной величины с деформациями растяжения-сжатия элемента.

Таким образом, мы видим, что в рассматриваемом случае'суммар­

59

При этом матрица жесткости элемента стержня примет вид

Выше были рассмотрены два вида деформации элемента стержня: изгиб в одной из главных плоскостей инерции элемента и растяже­

на рис. II.9. Здесь вектором с двумя стрелками указано положительное направление поворота, связан­ ное с движением штопора в направлении вектора.

По аналогии с зависимостью (10.26) для растяжения-сжатия связь между узловыми усилиями и узловыми перемещениями при

G/K GIк

аа

(10.33)

GIк G/k

аа