книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

О б р а щ е н и е к в а з и д и а г о н а л ь н о й м а т р и ц ы . Если имеется квазидиагональная матрица \А\ с квадратными диа­

На этом мы и закончим краткий перечень основных матричных операций. Некоторые дополнительные сведения из теории матриц будут излагаться по мере необходимости в соответствующих разделах книги.

§ 2

Идеализация исходной конструкции

В любом упругом теле, если принять во внимание его молекуляр­ ную структуру, действительное число внутренних связей бесконечно. Это приводит к известным трудностям при получении численных реше­ ний.

Метод конечных элементов позволяет преодолеть эти трудности. Он основан на мысленном представлении сплошного тела (континиума) в виде совокупности отдельных конечных элементов, взаимо­ действующих между собой в конечном числе узловых точек. В этих точках прикладываются некоторые фиктивные усилия взаимодей­ ствия, характеризующие действие распределенных внутренних на­ пряжений, приложенных вдоль реальных границ стыковки смежных элементов.

Если такая идеализация исходного упругого тела (конструкции) возможна, то проблема сводится к расчету упругой системы с конеч­ ным числом степеней свободы.

Существующие методы определения связи между узловыми уси­ лиями и узловыми перемещениями будут подробно рассмотрены ниже. Добавим, что определение этой связи (матрицы жесткости или матрицы податливости) является одним из основных этапов при­ ложения МКЭ к расчету конструкций.

Замена исходной конструкции совокупностью дискретных эле­ ментов подразумевает равенство энергий конструкции и ее дискрет­ ной модели. Для некоторых конструкций соблюдение энергетического баланса ведет к получению дискретной модели, точно описывающей поведение исходной конструкции. Это характерно для конструкций, которые уже состоят из отдельных элементов с дискретным сочлене­ нием их между собою. В качестве примера можно указать на фермы, рамы, стержневые перекрытия.

Если же элементы реальной конструкции имеют вдоль своей границы непрерывные связи со смежными элементами, то при по­ строении дискретной модели мы вынуждены делать некоторые априорные предположения о характере силового или кинематического взаимодействия между смежными элементами. В этом случае дискрет­ ная модель будет лишь приближенно отражать поведение исходной конструкции. Характер взаимодействия между элементами должен

11

быть выбран таковым, чтобы уменьшение размеров конечных эле­ ментов привело к получению решения, стремящегося к точному.

Приведем примеры разбиения конструкций на конечные элементы. Пример 1. Ферма, изображенная на рис. 1.1, состоит из прямо­ линейных шарнирно-сочлененных стержней. Каждый стержень фермы

работает лишь на растяжение-сжатие.

Если в качестве дискретных элементов выбрать отдельные стержни, то дискретная модель будет точной копией реальной конструкции. В узловых точках вводятся определенные усилия взаимодействия между отдельными стержнями. Для определения этих усилий состав­ ляется необходимое число уравнений равновесия узловых точек.

Рассматриваемая ферма относится к классу статически неопредели­ мых, поэтому дополнительно к упомянутым выше уравнениям равно­ весия необходимо составить определенное число уравнений совмест­ ности деформаций, т. е. условий равенства перемещений концов стержней, сходящихся в каждом узле.

Пример 2. Пусть теперь стержни конструкции, изображенной на рис. 1.1, жестко скреплены друг с другом. В этом случае остается прежним общий вид дискретной модели. Однако характер взаимодей­ ствия между стержнями в узловых точках становится более сложным: наряду с осевыми усилиями появляются перерезывающие силы иизги­ бающие моменты. Это приводит к увеличению числа неизвестных узловых усилий, а следовательно, и к необходимости составления дополнительных уравнений для их определения.

Пример 3. Плоская пластина (рис. 1.2) произвольного очертания с помощью сечений, параллельных осям х и у, может быть представ­ лена в виде совокупности прямоугольных и треугольных конечных элементов. Именно эти две формы конечных элементов нашли широ­ кое использование при решении плоской задачи теории упругости.

В отношении выбора размеров конечных элементов можно утвер­ ждать лишь следующее: уменьшение размеров сторон конечного элемента и связанное с этим увеличение числа узлов, как правило, приводит к повышению точности расчета. Заметим, что переход к очень малым по размеру конечным элементам может иногда при­

12

вести к резкому возрастанию ошибок округления и, как следствие этого, к росту общей погрешности расчета.

Не всегда целесообразно использовать один и тот же размер конечного элемента по всему полю пластины. В местах ожидаемой концентрации напряжений, резкого изменения напряжений полезно уменьшить размеры конечных элементов путем введения дополни­ тельных рассечений с образованием дополнительных узловых точек.

Заметим, что даже при одном и том же числе узловых точек возможны различные схемы идеализации исходной конструкции (рис. 1.3). Различие в схемах идеализации порождает разницу в окон­

чательных результатах расчета. К сожалению, заранее сказать, какая из возможных схем идеализации при одном и том же числе и расположении узловых точек окажется оптимальной, т. е. приведет

кнаименьшей погрешности решения, невозможно.

Спервого взгляда может показаться, что сохранение связи между конечными элементами лишь в узловых точках сопряжено с резким уменьшением общей жесткости пластины. В действительности же это не так. Каждый конечный элемент, к которому приложены узло­ вые усилия взаимодействия, деформируется в соответствии с неко­ торыми внутренними связями, накладываемыми на него задаваемым законом изменения компонентов напряжения. Вот почему прило­ жение сосредоточенных узловых усилий не сопровождается образо­ ванием зон концентрации напряжений вблизи узловых точек.

Треугольные и прямоугольные конечные элементы широко ис­ пользуются в расчетах прочности судовых конструкций. На рис. 1.4 приведена схема идеализации поперечной рамы супертанкера.

Пример 4. Если пластина на рис. 1.2 загружена кроме внешних, действующих в ее плоскости сил еще и поперечной нагрузкой, то

13

при той же схеме идеализации это приведет к появлению в узловых точках дополнительных усилий взаимодействия между стыку­ ющимися конечными элементами. Наряду с усилиями взаимодей­ ствия, лежащими в плоскости пластины, вводятся поперечные усилия взаимодействия и изгибающие поперечные моменты.

2

Пример 5. На рис. 1.5 показана идеализация оболочек вращения с помощью треугольных конечных элементов. Если размеры элемента достаточно малы, то можно не считаться с его погибью и принимать конечный элемент плоским.

Учет естественной погиби конечного элемента суще­ ственно усложняет опреде­ ление связи между узловыми перемещениями и узловыми усилиями.

Пример 6. При определе­ нии напряженного состояния трехмерных тел идеализация осуществляется уже с по­ мощью объемных конечных элементов :— параллелепипе­ дов, тетраэдров и т. п., шар­ нирно-скрепленных в узло­ вых точках (рис. 1.6). При такой идеализации к каждой вершине конечного элемента

Рис. 1.6. Идеализация объемного тела сово­ прикладываются по коорди­

купностью тетраэдров.

14

натным осям три составляющие усилий взаимодействия со смеж­ ными элементами.

Пример 7. Судовой корпус представляет конструкцию, состоя­ щую из пластин, оболочек и подкрепляющих их ребер. Поэтому дискретная модель судового корпуса (рис. 1.7) будет включать стерж­ невые, пластинчатые и оболочечные конечные элементы (рис. 1.7, б).

) к совокупности конечных элементов, связанных между собой лишь ) в узловых точках, требует, чтобы напряженное состояние в каждом из элементов однозначно определялось через значения узловых пере­ мещений (узловых усилий).

15

Матрицей жесткости (податливости) определяется связь между узловыми перемещениями и узловыми усилиями конечного элемента, т. е. определяются его упругие и инерционные (в задачах динамики) свойства.

Для иллюстрации метода получения матрицы жесткости (подат­ ливости) рассмотрим прямоугольный конечный элемент пластины (рис. 1.8), подверженной действию поперечной нагрузки и усилий в срединной плоскости. В данном случае естественно предположить, что напряженное состояние конечного элемента будет однозначно

Рис. 1.8. Прямоугольный конечный элемент пластины при сложном изгибе.

определяться двенадцатью узловыми линейными и восемью угловыми перемещениями.

Для каждого узлового перемещения можно ввести соответству­ ющее узловое усилие. Совокупность этих усилий характеризует влияние смежных элементов конструкции на рассматриваемый эле­ мент. Между узловыми усилиями и узловыми перемещениями суще­ ствует определенная связь:

где {/?} = {/?!•/?а- ' -^ 2о! — вектор-столбец узловых усилий; [/(1 — искомая матрица жесткости, которая и определяет, по существу, упругие свойства рассматриваемого конечного элемента;

\q] = \ЯгЯ%- ' ' ^2о} — вектор-столбец узловых перемещений. Установление зависимости (3.1), т. е. определение значения ма­ трицы жесткости [/(] требует предварительного предположения о характере изменения по объему элемента компонентов перемещения или компонентов напряжения. Оттого, насколько удачно выбраны выражения для перемещении (или компонентов напряжений), за­

висит точность решения задачи.

Так как напряженно-деформированное состояние конечного эле­ мента полностью определяется заданием вектора узловых перемеще­ ний, состоящего в нашем случае из 20 скалярных величин, то общие выражения для компонентов перемещения по объему конечного

16

элемента {U} = {и v w) должны включать 20 произвольных варьи­ руемых параметров. Указанные параметры легко выражаются через вектор узловых перемещений {q], что позволяет представить вектор перемещений \U) в следующем виде:

Используя далее зависимости Коши и закон Гука, можно полу­

здесь ID ] и [£ ] — некоторые прямоугольные матрицы, элементы которых зависят от координат положения рассматриваемой точки. Элементы матрицы [£] дополнительно зависят от параметров, кото­ рыми характеризуются упругие свойства материала конструкции

впределах объема рассматриваемого конечного элемента. Рассматривая узловые усилия ji?} в качестве некоторых внеш­

них сил, действие которых вызывает внутри объема элемента напря­ женно-деформированное состояние, описываемое зависимостями (3.3) и (3.4), можно использовать для установления связи (3.1) принцип возможных перемещений [60, 67, 139, 155]. Согласно этому принципу сумма работ всех внешних \R\ и внутренних {о} сил на возможном перемещении системы [6U} равна .'нулю:

Второй член в левой части равенства (3.5) выражает приращение потенциальной энергии, которая, как известно, равна с обратным знаком работе внутренних сил. Интеграл берется по всему объему конечного элемента.

В матричной форме зависимость (3.5) перепишется в более ком­

Воспользовавшись далее выражениями (3.3) и (3.4), непосредственно из зависимости (3.6) можно получить

При выводе формулы (3.8) не вводились какие-либо ограничения, касающиеся формы конечного элемента, поэтому полученное выра­ жение для матрицы жесткости может быть использовано для самых разнообразных форм конечного элемента.

Матрица [/(] является квадратной; ее порядок равен числу сте­ пеней свободы рассматриваемого конечного элемента.

Изложенный способ получения матрицы жесткости не единствен­ ный. Приведем еще один достаточно распространенный путь полу­ чения матрицы жесткости элемента [60, 139].

Согласно теореме Клайпероиа, удвоенное значение потенциаль­ ной энергии равно сумме произведений внешних обобщенных сил на соответствующие им обобщенные перемещения. Примем в каче­ стве обобщенных сил н обобщенных перемещений соответственно

Исключая далее из зависимости (3.10) с помощью зависимости (3.1)

Таким образом, чтобы получить матрицу жесткости, достаточно располагать выражением для потенциальной энергии конечного элемента в форме (3.12).

Значения элементов матрицы [К ] зависят от геометрических и жесткостных параметров конечного элемента, а также от принятого закона изменения компонентов перемещения (или напряжения).

Выбор выражений, аппроксимирующих характер изменения пе­ ремещений (напряжений) по объему конечного элемента, является одним из наиболее ответственных моментов в общей процедуре МКЭ. Всегда желательно, чтобы этот выбор приводил к удовлетворению уравнений равновесия и уравнений совместности деформаций внутри объема конечного элемента, к отсутствию разрывов в компонентах перемещений и напряжений вдоль линий стыковки смежных эле­ ментов.

18

Заметим., что вектором {ф,:| определяются лишь «упругие» пере­ мещения произвольной точки внутргИобъема конечного элемента, т. е. перемещения, которые связаны с изменением напряженно-

основных неизвестных в методе сил, как правило, оказывается боль­ шим, чем в методе перемещений. Это предопределило преимуществен­ ное использование в расчетной практике метода перемещений. По­ этому в дальнейшем мы редко будем касаться вопросов получения матриц податливости. Основное внимание будет уделено нахож­ дению матриц жесткости, ис­ пользуемых в методе переме­

равновесия рассматриваемого элемента при выбранных кинематиче­ ских закреплениях, устраняющих его перемещения как абсолютно твердого тела.

2.Элемент стержня, работающего на растяжение-сжатие в осевом направлении, на скручивание и изгиб в двух взаимно перпендику­ лярных плоскостях (рис. 1.10). При использовании МП в каждом элементе вводятся по четыре перерезывающих и две осевых силы, четыре изгибающих и два скручивающих момента (рис. 1.10, а). Общее число реактивных усилий равно числу степеней свободы конечного элемента. Порядок матрицы жесткости равен 12.

При использовании МС шесть реактивных усилий (изображены на рис. 1.10, б пунктирными линиями) можно исключить из общего рассмотрения с помощью уравнений равновесия. Порядок матрицы податливости будет равен 6.

3.Плоский треугольный элемент пластины при рассмотрении плоской задачи теории упругости (рис. 1.11). В 'МП в каждом узле вводятся по два реактивных усилия (рис. 1.11, о). Порядок матрицы жесткости равен 6. В МС три узловые реакции исклю­

чаются из общего рассмотрения с помощью уравнений равновесия

20