книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

2. Прикладываем внешнюю нагрузку (АР) и, полагая при вычислении матриц жесткости элементов [££Л] = 0 , решаем систему уравнений

где {Л?} — приращение узловых перемещений в общей системе координат для кон­ струкции в целом; {АР) — приращение узловых внешних усилий.

По найденным значениям (A q) определяются упругие приращения деформаций

условие текучести Мизеса; Да71ах — приращение интенсивности напряжений в наи-

А

Рис. V. 13. Распределение зон пластичности по сечению образца в процессе нагружения.

вННЭ.

4.Умножаем полученные в п. 2 приращения перемещений, деформаций и на­ пряжений на т)т1п (тем самым подводим ННЭ к пределу текучести) и запоминаем их.

5.Определяем для каждого элемента значения Ек = Ек (а,-) и матрицы [/Спл].

Затем формируем матрицу жесткости для всей конструкции [/С]■ Примечательно, что значение Ек определяется непосредственно по диаграмме деформирования о 1 =

= Of (et-), строящейся на основании экспериментальных данных по одноосному напряженному состоянию.

6 . Повторяем п. 2. Заметим, что при этом в некоторых элементах Г££л1 =£= О-

7. Суммируем полученные на предыдущем шаге полные перемещения, деформа­ ции и напряжения с соответствующими их шаговыми приращениями.

8 . Останов по достижению условия

коэффициент т]т1п и приращение внешней нагрузки на t-м шаге нагружения) или повторение п. 2 для подвода следующего наиболее нагруженного элемента к состоя­

нию текучести.

В программе расчета предусматривались еще следующие дополнительные тре­

233

б ,. к гс /с м г

234

В качестве материала образца выбран сплав 25, диаграмма деформирования которого построена по результатам испытаний,выполненных А. С. Федоровым [80].

На рис. V. 13—V. 17 показано распространение зон пластичности по сечению об­ разца в процессе нагружения и распределение напряжений и деформаций при раз­ ных нагрузках.

Характер распределения компонентов напряжения по наименьшему сечению образца (рис. V.14, V. 15) совпадает с данными решения, приведенного в работе [78].

Числовые результаты показывают рост коэффициента концентрации деформа­ ций с увеличением нагрузки и распространением зоны пластичности. Одновременно растет пик интенсивности деформации в основании выточки, что связано с увели­ чением доли радиальной составляющей деформации ег.

В заключение отметим, что изложенный выше метод и рабочая программа решения объемной задачи теории упругости для упруго­ пластической области позволяют исследовать изменение напряжен­ ного и деформированного состояний образца в процессе цикличе­ ского деформирования. Это позволит в дальнейшем более строго оце­ нить влияние указанных факторов при оценке долговечности судо­ вых конструкций в условиях концентрации напряжений.

Матричное уравнение для нахождения вектора узловых переме­

щений в общей системе координат {<7} при действии на тело .возму­ щающих внешних сил запишется в виде [см. выражение (32.14) J

Матрицу масс конечного объемного элемента можно найти по формуле (32.10):

m — масса единицы объема.

Интегрирование в выражении (37.2) производится по всему объ­ ему тетраэдра.

Ниже дается вывод матриц масс для элементарных тетраэдра и параллелепипеда. Именно для этих двух типов объемных элементов в § 33, 34 были получены матрицы жесткости.

Матрица масс для элементарного тетраэдра. Матрица [С ] связы­ вает компоненты перемещения \U\ = \uvw} для произвольной точ­

235

При сопоставлении выражений (37.4) и (33.8) легко определить элементы матрицы [С]. Мы не приводим выражения для матрицы [С] в силу ее громоздкости.

Внося найденное выражение для [С] в (37.2) и производя все необходимые вычисления, получаем следующее выражение для мат­ рицы масс элементарного тетраэдра:

V — объем элементарного тетраэдра.

Матрица масс для элементарного параллелепипеда. Для элемен­ тарного параллелепипеда, изображенного на рис. V.3, матрица масс может быть получена аналогичным путем. Заметим лишь, что в рас­ сматриваемом случае вектор узловых перемещений в (37.4) имеет вид

и (37.4). Вновь используя формулу (37.2), получаем для матрицы

здесь V = abc— объем элементарного параллелепипеда.

о

ИЗГИБ, УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН

Классическая теория изгиба тонких пластин основана на кине­ матической гипотезе прямых нормалей. Введение этой гипотезы су­ щественно упрощает проблему изгиба пластин, но вносит определен­ ную погрешность по сравнению с «точным» решением задачи с помощью аппарата объемной задачи теории упругости. И все же, в дальнейшем, решение, основанное на использовании классической теории изгиба пластин, условно будем называть точным.

Основные гипотезы теории изгиба пластин используются и при выводе зависимостей метода конечных элементов. Поэтому точность МКЭ должна оцениваться путем сопоставления числовых резуль­ татов, полученных при его использовании, с тем, что дает класси­ ческая теория изгиба пластин.

При использовании МКЭ для решения задачи изгиба пластин применяется та же идеализация', которая рассматривалась выше в плоской задаче теории упругости: пластину представляют в виде совокупности плоских конечных элементов, соединяющихся между собой в узловых точках.

Если прогибы пластины малы по сравнению с ее толщиной, по­ перечные перемещения w (х, у) не зависят от перемещений точек срединной поверхности пластины иа (х, у) и vQ(х, у) и полностью определяются при этом, независимо от напряженного состояния в срединной поверхности, что существенно упрощает решение за­ дачи.

Обратим внимание на некоторые «трудности», которые возникают при использовании МКЭ в задачах изгиба пластин.

Первая «трудность» связана с аппроксимацией функции про­ гиба w (х, у). Для получения матрицы жесткости конечного эле­ мента пластины при изгибе мы должны задаться каким-либо выра­ жением для w (х, у) в виде полинома. В простейшем случае коли­ чество неопределенных коэффициентов в полиноме w (х, у) равно числу степеней свободы конечного элемента пластины.

Если в ранее рассмотренных задачах вид такого полинома был единственным (например, линейные полиномы для плоского напря­ женного состояния треугольного элемента), то при изгибе пластин вид этих полиномов не является единственным.

237

Ниже будет показано, что в нашем случае применяемый полином 4-й степени может содержать различные члены; это влечет за собой получение различных матриц жесткости. Остается пока открытым вопрос о том, какая же из указанных матриц жесткости лучшая в смысле точности решения задачи.

Вторая «трудность» связана с удовлетворением условий непрерыв­ ности между элементами.

При изгибе пластин непрерывность между элементами должна быть в общем случае удовлетворена не только для функции прогиба, но и для первых ее производных, так чтобы были исключены изломы между элементами.

Требование непрерывности углов поворота по всей линии контакта между смежными элементами приводит к значительным математи­ ческим трудностям.

На практике, однако, показано, что применение некоторых «не­ совместных» функций, когда непрерывность вдоль кромок элементов сохраняется только для прогибов (в узловых точках все три условия совместности удовлетворяются), иногда обеспечивает сходимость к точному решению. Правда, для получения той же точности коли­ чество элементов должно быть больше, чем в случае использования «совместных» функций.

При расчете пластин на изгиб по МКЭ наибольшее распростра­ нение получили простейшие конечные элементы: прямоугольный и треугольный. Для этих двух форм конечных элементов ниже дается вывод их матриц жесткости [45, 60, 67, 92, 104, 155].

§ 38

Прямоугольный н треугольный элементы пластины при изгибе

Рассмотрим сначала прямоугольный элемент пластины в пло­ скости ху, показанный на рис. VI. 1

В каждой узловой точке элемента вводится по три обобщенных перемещения: перемещение в направление оси г и два угла поворота соответственно вокруг оси х и у. Тогда положение срединной поверх­ ности прямоугольного элемента пластины приближенно определится 12 обобщенными узловыми координатами (по три координаты на каждый узел). Следовательно, упругую поверхность элемента пла­ стины можно аппроксимировать некоторым степенным полиномом,

238

Заметим, что полином (38.1) удовлетворяет однородному диф­ ференциальному уравнению изгиба жестких пластин:

Выбранный полином (38.1) является неполным полиномом 4-й сте­ пени, так как в нем отсутствуют еще члены с х2г/2, х4 и г/4.

Следовательно, возможны еще и другие полиномы с 12 неопре­ деленными коэффициентами (первая «трудность», о которой говори­ лось во введении к главе).

х /

Рис. VI. 1. Прямоугольный конечный элемент пластины при из­ гибе. Положительные направления узловых сил и переме­ щений.

Полином (38.1) имеет ряд положительных качеств. При х = const или у = const перемещение w (х, у) описывается параболой 3-й сте­

Следовательно, границы раздела элементов описываются поли­ номами 3-й степени. Каждый такой полином, определяющий про­ гиб линии стыка двух смежных элементов между двумя соседними узловыми точками однозначно выражается через значения прогибов и их первых производных в направлении линии стыка в упомянутых двух узловых точках. Но так как узловые перемещения и их первые производные выбираются в дальнейшем в качестве основных неиз­ вестных в общей системе координат и являются общими для элемен­ тов, примыкающих к данному узлу, то любые две соседние кромки двух смежных элементов получат одинаковые прогибы.

Отсюда следует, что использование выражения (38.1) для про­ гиба w (х, у) конечного элемента обеспечивает непрерывность пере­ мещений в любой точке пластины. К сожалению, не выполняется условие непрерывности углов поворота вдоль линий стыковки смежных элементов.

239

Выражение (38.1) не вполне удобно для практического исполь­ зования. Целесообразнее вести вместо at координаты qt, выражаю­ щие перемещения и углы поворота узловых точек:

Э. (х, у) — функции Эрмита, обладающие следующими свойствами:

Выражение для каждой /с-й функции Эрмита Эк (х, у) можно искать в форме зависимости (38.4):

Подчиняя (38.7) условиям (38.6), получаем необходимую систему уравнений для определения ак[, а следовательно, и Эк (х, у).

Приведем окончательные выражения для Эк {х, у) [139]:

Э, (1, л) = 1 - 3 |2- Ел - Зл2 + 2Е3 + ЗЕ2л +

+ ЗЕл2 + 2г)3 — 2Е3л — 2Ел3.

3 2 (Е, Г|) = Ъ (Т) — Ел — 2л2 + 2£гI2+ л3— Ел3).

З 3 (Е, Л) = а (-Е + Ел + 2Е2- 2Е2л - Е3 + Е3л).

240

34 (Е, Л) = Зл2 + Ел - 2л3 - 3£л8— ЗЕ2Л + 2Ел3 + 2Е3л , 3 5 (Е. л) = Ь (—л2 + л3 4- Ел2— Ел3).

В рассматриваемом случае при определении [/(], по-видимому, проще исходить из общего выражения для потенциальной энергии элемента пластины [45, 60].

Для жестких пластин, загруженных поперечной нагрузкой, при определении потенциальной энергии можно ограничиться нахожде­ нием лишь потенциальной энергии изгиба:

Eli3

где D = 12 () _ v)3 ; h — толщина плиты.

Если воспользоваться для w (х , у) выражением (38.4), то пра­ вую часть (38.10) можно представить в следующем виде:

Коэффициенты kiK и являются элементами искомой матрицы жесткости элемента пластины:

В развернутом виде матрица жесткости прямоугольного элемента пластины запишется в виде