книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

и есть матрица жесткости для суперэлемента относительно только наружных суперузловых перемещении {<7„}.

Таким образом, мы получили все компоненты, необходимые при формировании системы уравнений для конструкции, разбитой на суперэлементы произвольного уровня, относительно наружных су­ перузлов типа, описываемых выражением (53.1).

Из-за ограниченного объема книги пример, иллюстрирующий применение суперэлементов для расчета судовых конструкций, опускаем.

Заметим лишь, что получение матрицы жесткости [/(]' по зави­ симости (53.8) аналогично операциям блочного исключения по Гауссу, т. е. непосредственно и в этом случае может быть использована про­ грамма МКЭ [11] для базисных конечных элементов.

§ 54

Вопросы сходимости и точности МКЭ

Погрешность в результатах расчета при использовании метода конечных элементов складывается главным образом из погрешности самого метода, в котором тело, обладающее бесконечным числом степеней свободы, заменяется моделью с конечным числом степеней свободы, и погрешности округления чисел (сохранение в мантиссе числа лишь до 7 значащих цифр) при выполнении вычислительных операций на ЭВМ [79, 83, 85].

Погрешность, вносимая самим методом, зависит от целого ряда факторов:

выбора предполагаемого закона изменения перемещений или напряжений и обобщенных узловых координат;

точности приведения внешней нагрузки к узловым усилиям; размера конечного элемента.

Если выбранный закон изменения перемещений (напряжений) приводит к удовлетворению кинематических условии стыковки смежных элементов, то применение матрицы жесткости, полученной на основе данного закона изменения перемещений (напряжений), всегда приводит к получению решения, которое приближается к точ­ ному с увеличением числа конечных элементов [147, 148]. Если же кинематические условия стыковки смежных элементов строго не выполняются, то использование получаемой при этом матрицы жест­ кости не может гарантировать сходимость решения по МКЭ к точному решению при увеличении числа конечных элементов. Таких матриц жесткости в практических расчетах следует из­ бегать.

Ошибка округления всегда возрастает при увеличении числа конечных элементов. Это связано, во-первых, с тем, что увеличение числа элементов приводит к резкому возрастанию числа арифметиче­ ских операций, а во-вторых, с уменьшением размера конечного элемента доля деформационных составляющих в значениях обобщен­ ных координат уменьшается по отношению к той их части, которая связана с движением элемента как абсолютно твердого тела.

324

Поясним последнее утверждение на простом примере растяжения призматического стержня под действием силы Р (рис. VIII.6).

При использовании метода конечных элементов стержень раз­ бивается на п отдельных элементов (для простоты предполагается, что все элементы имеют один и тот же размер).

Перемещение г-го элемента определяется узловыми перемещениями

Первые слагаемые в этих выражениях qT-T определяют перемеще­ ние t-го элемента как абсолютно твердого тела и зависят лишь от

'4222. е,%

i + 1

4

-

л

положения элемента по длине тела, вторые слагаемые qR определяют напряженно-деформированное состояние элемента:

ционально п, что приводит при больших значениях п к появлению малой разности близких величин при вычислении qa = (qi+1—qe).

На рис. VIII.7 приведены кривые изменения ошибок дискретиза­ ции (Л, В) и ошибок округления (С, D). При этом ошибки округле­

325

ния отсчитывают непосредственно от кривых А и В. Таким образом, кривые С и D определяют значения суммарных ошибок при исполь­ зовании метода конечных элементов [142].

Кривая А соответствует использованию матрицы жесткости, обеспечивающей сходимость решения по МКЭ к точному решению теории упругости. Кривая В связана с использованием в МКЭ

дискретизации и округления имеют один и тот же знак; в противном случае имеем кривые С" и D ". Непосредственно из рис. V III.7 видим, что не всегда следует стремиться к разбиению тела на максимально возможное число конечных элементов, так как минимальная суммар­ ная погрешность оказывается при п* nmax (птах — максимальное число конечных элементов, при котором еще хватает мощности ис­ пользуемой ЭВМ).

Быстрота сходимости к точному решению при использовании МКЭ зависит от того, насколько удачно при выводе матриц жесткости выбраны функции перемещений. Приведем некоторые из условий, соблюдение которых при выборе функций перемещений обеспечивает сходимость решения по МКЭ к точному:

а) приращения узловых перемещений, соответствующие смеще­ ниям конечного элемента как абсолютно жесткого тела, не должны вызывать изменений в его напряженном состоянии;

б) уменьшение размера конечного элемента должно приводить к тому, чтобы его напряженно-деформированное состояние оказы­ валось постоянным;

в) функции перемещения должны быть такими, чтобы деформации по линиям (поверхности) контакта смежных элементов имели конеч­ ные значения. Последнее требует соблюдения определенных усло­ вий непрерывности перемещений между элементами. Например, при решении плоской задачи, в которой деформации определяются первыми производными по координатам от перемещений, достаточно

обеспечить непрерывность самих перемещений; при рассмотрении изгиба пластин и оболочек, когда деформации определяются через вторые производные функции прогиба, прогиб и его первые произ­ водные должны удовлетворять условиям непрерывности при пере­ ходе через линии стыковки смежных элементов.

Соблюдение вышеперечисленных условий обеспечивает сходимость решения по МКЭ к точному решению теории упругости при увели­ чении числа конечных элементов, т. е. погрешность дискретизации асимптотически стремится к нулю (см. рис. VIII.7, кривую А).

Примечательно, что в МКЭ часто успешно используются матрицы жесткости, полученные на основе функций перемещений, которые не удовлетворяют условию непрерывности в). Это условие выполняется лишь в пределе при увеличении числа конечных элементов, если соблюдается условие постоянства деформаций б).

Можно показать, что использование для решения задач, описы­ ваемых уравнением 2/?г-го порядка, метода конечных элементов на базе интерполяционных полиномов степени р для описания поведе­

326

ния искомой функции внутри конечного элемента, приводит к отно­ сительной ошибке

где а — характерный размер конечного элемента; / — то же для конструкции.

В самом деле, пусть внутри элемента искомая функция интерпо-- лируется полиномом р-н степени. Тогда, согласно теореме Тейлора, решение МКЭ аппроксимирует истинное решение с относительной

ошибкой ( - 7- ) ^ • В задачах 2/п-го порядка выражение для энергии включает производные т-го порядка. Эти производные аппроксими-

руются уже с погрешностью ( — J , и если далее учесть, что

в общее выражение энергии входят квадраты производных, то отно­ сительная ошибка в определении энергии, а следовательно, и самого

Таким образом, путем достаточного уменьшения размера эле­ мента теоретически можно было бы получить любую требуемую точность решения.

Ошибки округления. Ошибки округления при решении системы

и вектора \Р\, &также из-за накопления погрешностей в ходе самого процесса решения.

При точном решении системы уравнений (54.5) число операций умножения равно -~я3/3. И очень сложно оценить эффект влияния та­ кого большого числа округлений.

Исследования по этому вопросу показали, что для получения решения системы (54.5) с точностью до t десятичных знаков по ме­

(п — число уравнений системы).

Заметим, что указанная граница является верхней; она соответ­ ствует самому невыгодному случаю влияния округлений на резуль­

Устойчивость решения системы линейных алгебраических урав­ нений. Одним из затруднений, которое может встретиться при реше­ нии систем алгебраических уравнений, является неустойчивость

327

решения, состоящая в том, что малые изменения элементов матрицы [К] вызывают значительные изменения в величинах неизвест­ ных. При этом матрица [/<] называется плохо обусловленной, а обрат­

ная матрица [ATI-1 — неустойчивой. Очень важно уметь оценить обусловленность матрицы.

В качестве меры обусловленности матрицы можно принять от­ ношение ее основного определителя | К \ к наибольшему его элементу Ъ?*х в степени, равной порядку определителя:

Чем больше это отношение, тем лучше обусловлена матрица. Использование такого способа оценки обусловленности матрицы требует нахождения значения определителя системы, что в общем случае является весьма трудоемкой операцией.

Значительно удобнее оценку обусловленности матрицы [/(] производить с помощью спектрального числа обусловленности

сп (/(), тем более, что непосредственно через сп (К) определяется относительная погрешность решения системы уравнений (54.5):

где s — число десятичных значащих цифр, которыми оперирует вычислительная машина.

Спектральное число обусловленности сп (К) определяется отно­ шением

ЛК

(К) = Атах (54.10)

а к Лтт

здесь A,min и Лтах — соответственно минимальное и максимальное собственные числа матрицы [*], определяемые из уравнения

Ввиду известных трудностей определения собственных чисел для

матриц высокого порядка, вместо точного определения сп (*) по формуле (54.10) часто ограничиваются определением предела изме­

нения сп (К) [ПО]:

328

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Материал этой книги дает основание утверждать, что МКЭ, по существу, является универсальным методом анализа практи­ ческих инженерных задач, для которых должно быть получено числовое решение.

Инженер сталкивается в основном с необходимостью расчета сложных конструкций, имеющих вырезы, усиления, сложные пере­ сечения и т. п., для которых использование аналитических методов оказывается затруднительным.

Нельзя, конечно, рассматривать МКЭ как средство, пригодное для абсолютно всех случаев инженерной практики. Однако уже сейчас можно указать области наук, в которых использование МКЭ может дать решения до сегодняшнего времени не решенных задач. Укажем, к примеру, такие области, как гидроупругость, биомеха­ ника, теплопроводность, тепломассообмен, концентрация напряже­ ний, теория пластичности и ползучести, механика грунтов. Из-за ограниченного объема книги некоторые задачи из перечисленных областей решены только в принципе, другие лишь только упо­ мянуты.

Еще раз подчеркнем особую важность решения с помощью МКЭ объемных задач теории упругости и задач, зависящих от времени, решение которых до настоящего момента еще не получило нужной степени разработки.

Вместе с тем, следует указать, что в будущем вряд ли можно ожидать появления принципиально новых приемов в МКЭ для ре­ шения проблем механики твердых тел. В дальнейшем основные усилия следует направить на разработку программно-модульного обеспечения для ЭВМ. При этом существенную роль должны сыграть суперэлементы, так как объем памяти и скорость ЭВМ небезграничны.

Разработка программ-модулей для суперэлементов (подструктур) различного уровня даст возможность, с одной стороны, формализо­ вать все расчеты, а следовательно, ввести определенные стандарты и в эту сугубо творческую деятельность, а с другой стороны, опреде­ ленным образом повлиять и на мировоззрение конструкторов и технологов.

330