соответствуют уравнениям равновесия; I — число собственных ча стот некоторой фиктивной упругой системы, получаемой из рас сматриваемой путем наложения на нее абсолютно жестких связей
Qi — 0 (г = 1, 2, . . s) и удаления г связей R(=0 (i = 1 , 2 , . . . , г),
значения которых меньше заданного значения ^ 0; к — число отри цательных диагональных элементов сц той же матрицы (41.4).
Строки этой матрицы, в которых расположены коэффициенты с,-,-, соответствуют уравнениям совместности деформаций.
Поясним содержание фиктивной упругой системы на примере решения задачи о свободных колебаниях плоской пластины. Пусть пластина идеализирована совокупностью треугольных конечных элементов. В числе основных неизвестных для каждого конечного элемента должно быть не менее трех неизвестных узловых переме щений, например иъ vx и о2.
В качестве оставшихся трех неизвестных можно принять узловые статически неопределимые усилия R2X, R3x и R3j/.
Для получения фиктивной упругой системы необходимо все неизвестные перемещения и узловые усилия системы положить равными нулю. В частности, для рассматриваемого конечного эле мента будем иметь
= V± = О2 ” б , R 2X ^ R$x ~ Rty “ б .
В результате получим систему конечных элементов, по существу, изолированных один от другого. Для каждого из этих элементов нужно определить число собственных частот, значения которых меньше А,0. Сумма этих чисел, подсчитанных для каждых из конеч ных элементов, и есть t.
Используя зависимость (41.6), легко определить любую собствен ную частоту упругой системы с любой наперед заданной точностью.
Обычно нас интересуют значения нескольких низших частот-. При этом если размеры конечных элементов достаточно малы, то i в методе перемещений будет равно нулю.
Изложенный выше прием отделения частот с последующим их определением полностью может быть перенесен на задачи по устой чивости консервативных упругих систем.
§ 42
Изгиб пластин средней толщины. Вывод матрицы жесткости прямоугольного элемента
При рассмотрении вопроса об использовании метода конечных элементов в расчете пластин средней толщины ограничимся лишь получением матрицы жесткости для прямоугольного конечного элемента [58]. Другие стороны МКЭ при расчете пластин средней толщины совершенно идентичны таковым при расчете тонких абсо лютно жестких пластин.
Для общности |
будем предполагать, что пластина изготовлена |
из анизотропного |
материала, для которого |
О х |
еп |
е12 |
0 |
0 |
0 |
ау |
е21 |
е22 |
0 |
0 |
0 |
Х х у ■= |
0 |
0 е33 0 |
0 |
Х Х 2 |
О |
о |
о съ |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х у г |
1 |
о |
о |
о |
О |
Ift |
|
vf5 |
1 |
где
г х
еУ |
|
У х у |
= [Е] {8} |
(42.1) |
У х 2 |
|
|
Уу>
в\л-- |
1 — V]V2 ’ 6x2 |
1 — VjV2 |
— e 2 l ‘i |
(42.2) |
1 — V]V2 ’ t'22 |
|
|
|
|
|
езз = ^i2->e.u = G13; еъь = G23.
На основании гипотезы прямой линии, углы срА. и сру, предста вляющие собой полные повороты сечений х = const и у — const, соответственно будут равны
Фл- (х, у) = ■?£- + ух (х, у), сру (х, у) = - ^ + уц (х, у), |
(42.3) |
где ух и уу — средние деформации поперечного сдвига по толщине пластины. При этом перемещения любой точки пластины будут равны
и (х, у, z) = —гц>х (х, у), v (х, у, z) = — z% (х, у),
w (х, у, z) = w (х, у). |
(42.4) |
Отсюда получим следующие выражения для компонентов де формаций:
|
|
еЛ. = —z |
d2w |
I |
|
) _ |
z х’ |
|
|
|
|
дх* |
н дх |
|
) ~ |
|
|
гу = —г |
( d*w |
|
|
|
~ |
|
|
|
Vду*~ + |
|
|
|
|
|
( О |
d*w . |
дух |
, |
дУи |
(42.5) |
|
Ъх у ■ |
Z K x y I |
|
г |
дх ду |
' |
д у |
1 |
дх |
|
|
|
|
|
|
|
ди |
, |
dw |
|
|
|
|
|
Ухг |
= ИГ + дх |
|
~ У х |
|
|
|
|
|
dv |
u |
dw |
|
|
) |
|
|
Ууг ~ ~ д Г |
~ |
ду |
|
~ У у |
Из рассмотрения выписанных зависимостей видим, что пере мещения, деформации и напряжения выражаются непосредственно через перемещение w и деформации сдвига ух и уу срединной плос кости.
В случае прямоугольного элемента пластины необходимо для каждого узла ввести по пять степеней свободы, три из которых связаны с его изгибными деформациями, а оставшиеся две — с де формациями сдвига (рис. VI.9).
Для упругой поверхности пластины можно воспользоваться выражением
|
1= 12 |
|
w (л-, у) = |
У, q,9[ (х, у), |
(42.6) |
|
£ = i |
|
где qt — узловые перемещения |
конечного элемента |
в соответствии |
с их нумерацией на рис. VI. 9, а\ функции Э( (х, у) выражаются зависимостями (38.8).
Рис. VI.9. Прямоугольный элемент пластины средней толщины: а — положительные направления перемещений и усилий от из гиба; б — то же от поперечного сдвига.
Изменение средних деформаций ух и уу по полю конечного эле мента можно представить соответственно в виде
Ух = |
—<7i3З13 (*, У) — ЧыЭи (х , у) — ?15315 (*, у) — |
qia9 ia (х , у), |
) |
Уу = |
(х , у) + qls3Li (х , у) + qu 9u (х , у) + |
qn 9u {х, у), |
J |
где qc— узловые значения средних деформаций ух и уц (рис. VI.9, б)\
3„(X, S) = ( 1 — |
i - ) ( l |
- |
А ) , |
Э „ ( х , у ) = ( 1 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
. |
(42.8) |
Э и { х , у ) = |
± - % - , |
Э и |
( х , у ) = ± |
{ |
1 ---- f - j . |
|
Внося выражения для да (л:, у), y.v- (х, |
г/) и уц (х, у) из (42.6) |
и (42.7) |
в (42.5), |
а затем |
в (42.1), |
можно выразить компоненты напряже |
ний {а} |
и деформаций |
|е( |
через |
узловые |
перемещения \q\: |
|
|
|
1е1= |
[£]М , |
М = [£еПЯ]М- |
(42.9) |
|
|
|
По найденным {ст} и |е} подсчитываем значение потенциальной энергии деформации конечного элемента
а |
b -4-Л /2 |
|
|
|
V = |
J f |
|е}т jo} dxdydz = |
) 4 Т[^] [?}> |
(42.10) |
0 О—Л/2 |
|
|
|
где Г/С ] — искомая матрица |
жесткости конечного элемента на изгиб |
с учетом влияния деформаций поперечного сдвига. |
|
Элементы этой матрицы определяются |
по формуле |
|
/e‘-K= |
а Ь+Л/2 |
|
|
J j |
J [ЯГ [Ее] \B\dxdydz. |
(42.11) |
|
|
О0 -/1/2 |
|
|
Другие пути получения матрицы жесткости для пластин средней толщины (например, при использовании принципа Рейсснера) по казаны в работах [16, 117].
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОЧЕРТАНИЙ
Эффективность метода конечных элементов особенно сильно проявляется при расчете тонких оболочек произвольного очерта ния [22, 42, 67, 102].
Оболочка может быть идеализирована совокупностью конечных элементов самых разнообразных форм при различных предположе
|
|
|
|
|
|
|
ниях в отношении напряженного |
состояния. |
Простейшим типом |
|
конечного элемента, который может быть |
|
использован в процедуре идеализации обо |
|
лочки, является плоский треугольный |
|
элемент |
с |
постоянными |
напряжениями |
|
в его срединной поверхности и линейным |
|
законом изменения кривизны при дефор |
|
мации оболочки (рис. |
VII. 1). |
|
|
Предполагается, что поведение непре |
Рис. VI 1.1. Идеализация обо |
рывной |
поверхности |
оболочки |
адэкватно |
лочки произвольной формы |
поведению поверхности, состоящей из со |
плоскими треугольными пла |
вокупности |
достаточно |
малых |
плоских |
стинчатыми элементами. |
элементов. Интуитивно можно ожидать, |
|
что с уменьшением |
размеров |
конечных |
элементов приближенное решение по МКЭ будет стремиться кточному. Для оболочек произвольной формы используется, как правило, треугольный плоский элемент. При идеализации цилиндрических оболочек часто используются прямоугольные плоские или цилин
дрические элементы постоянной кривизны.
Основная трудность состоит в построении матриц жесткости конечного элемента и оболочки в целом в общей системе координат.
Проблемы, связанные с учетом имеющихся в оболочке вырезов, изменения ее толщины, анизотропии механических свойств ее мате риала ит. п., решаются достаточно просто в рамках общей программы использования МКЭ применительно к расчету оболочки произволь ной формы [11].
Важным частным случаем тонких оболочек произвольного очер тания являются оболочки вращения. Для оболочек вращения воз можны дополнительные упрощения, основанные на замене исходной
двухмерной задачи совокупностью одномерных задач. Это приводит к тому, что оболочка вращения идеализируется уже совокупностью «одномерных» кольцевых конечных элементов. С рассмотрения этого типа оболочек мы и начнем конкретное изложение настоящей главы. Затем перейдем к произвольным тонким оболочкам на базе представ ления их в виде совокупности плоских элементов. В этой же главе будут рассмотрены особенности анализа оболочек средней толщины.
§ 43
Основные принципы использования МКЭ применительно к оболочкам вращения
Оболочка вращения произвольной формы разбивается сечениями, перпендикулярными ее оси, на ряд кольцевых элементов. При этом каждый элемент может быть заменен усеченным конусом или частью тора или сохраняет свою естественную кривизну в меридиональном
|
направлении (рис. VII.2). Толщина каждого |
|
|
|
элемента может быть примята равной сред |
|
|
|
ней толщине оболдчки на соответствующем |
|
|
|
ее участке. |
|
вращения |
методом |
|
|
|
При расчете оболочек |
|
|
|
перемещений в качестве основных |
неизвест |
|
|
|
ных выбирают перемещения узловых окруж |
|
|
|
ностей . |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Перемещение произвольной точки сре |
|
|
динной поверхности оболочки в криволиней |
Рис. VI 1.2. Идеализация |
|
ной системе координат s, ср, |
п определяется |
|
тонкой |
оболочки совокуп |
|
компонентами и, v, w (см. |
рис. VII.2). |
|
ностью |
конических или |
|
Раскладывая перемещения и интенсив |
тороидальных элементов |
|
ность внешней нагрузки |
в |
ряды |
Фурье |
|
|
оболочки. |
|
и (S, ср) = |
и0 (s) + |
S |
Uj (s) COS /ср |
£ |
uj(s) Sin /ср, |
|
|
|
|
|
|
/=i |
(43.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЯП(S, ф) = |
4o (S) -f |
£ |
q, (s) cos /ср + * £ |
q, (s) sin /ср, |
|
|
|
/ = 1 |
|
, |
/==i |
|
|
«
приходим к необходимости решения нескольких осесимметричных задач для каждой гармоники /.
Поэтому в дальнейшем вывод основных зависимостей метода конечных элементов ведется применительно к осесимметричной деформации оболочки вращения.
Поведение элемента оболочки (рис. VII.3) характеризуется сле
дующей матрицей узловых перемещений: |
|
{qУ = \u{v{ |
wi2^}, |
(43.2) |
где р — угол поворота элемента вдоль меридиана.
Таким образом, число степеней свободы элемента для |
каждой |
j-й гармоники * равно восьми. В соответствии с этим для |
компо |
нентов перемещений точек срединной поверхности конечного эле мента можно принять следующие приближенные выражения:
|
и (s) = а х + |
a 2s, v (s) = |
а 3 |
+ a4s, |
|
|
да (s) = а 5 |
+ oc8s + |
a 7s2 |
+ |
cc8s3, |
(43.3) |
|
P (s) = |
= «о + |
2a7s + |
3a8s2, |
|
|
|
где s — длина дуги меридиана. |
|
состояние которых близко |
|
При расчете оболочек, |
напряженное |
к безмоментному, наличие изломов на стыке элементов может при-
Рис. VI 1.3. Положительные |
направления узловых |
перемеще |
|
ний (а) и узловых |
усилий (б) в элементе оболочки |
вращения |
|
в местной системе координат. |
|
|
вести к заметной ошибке в оценке напряженного состояния. |
В этих |
случаях рекомендуется |
[123] |
аппроксимировать |
оболочку |
круго |
выми элементами с криволинейной образующей, сохраняя плавное изменение кривизны меридиана. Эти элементы хорошо показали
себя при исследовании изгиба и устойчивости |
оболочек в упругой |
и упруго-пластической областях [114, 126, 128, |
138]. |
В качестве основных^условий, обеспечивающих хорошую схо
димость МКЭ, принято считать |
[147, 148] выполнение |
равенства |
узловых перемещений эле^нтов |
вдоль их общего края, |
равенство |
углов поворота при переходе от |
элемента к элементу, обеспечение |
монотонной сходимости полной |
потенциальной энергии. |
Вернемся теперь к выводу матрицы жесткости для оболочки
вращения. |
|
(43.3) перепишем в матричной форме |
|
Зависимость |
|
|
|
\U\ = |
= [Л] [а]. |
(43.4) |
Здесь |
{а} = |
\aja2 . . . а 8}— матрица-столбец обобщенных ко |
ординат; |
[Л] — матрица связи между перемещениями |
{(У) и обоб- |
Для упрощения дальнейших выкладок индекс «/» опускаем.
щепными координатами {а}. Значение матрицы [Л] легко опре деляется непосредственно из зависимостей (43.3).
При выводе матрицы жесткости конечного элемента оболочки, представляющей собой связь между узловыми перемещениями
элемента |
\q\ |
= |
\u1u1w1^ 1u 2v2w ^ 2\ и реактивными узловыми уси |
лиями |
\Rq] |
= |
\ Т х5 ]_NгМ гТ 2S 2М 2| (см. рис. VII.3), восполь |
зуемся принципом возможных перемещений. При этом первона чально мы построим матрицу жесткости относительно обобщенных координат ja), а затем определим матрицу жесткости относительно вектора узловых перемещений \q\.
На основании известных зависимостей теории оболочек дефор мацию элемента {е} можно выразить через вектор перемещений {гг):
где je( = {ейефу8фя5з<;фк5ф) — матрица-столбец компонентов дефор мации элемента; [D] — матрица, элементы которой являются из вестными дифференциальными операторами.
На основании закона Гука
где [£е] — матрица связи между компонентами деформаций и напряжений.
Полная энергия деформации элемента запишется в виде
У = ± \ [ о \ г {*]йУ, |
(43.7) |
v |
|
здесь интегрирование ведется по всему объему элемента. Воспользовавшись далее зависимостями (43.6), (43.5) и (43.4),
выражение (43.7) можно привести к виду
У = |
|
{*), |
(43.8) |
где |
* |
\ |
|
[Я«] = J |
ИГ [DflEE} [£>] [Ъ] dV |
(43.9) |
— матрица жесткости кольцевого элемента оболочки относительно обобщенных координат {а}.
Непосредственно из (43.4) имеем
здесь
( 4 3 . 1 1 ) *
Тогда
К ] = [ С « Т [Ясс] [ C - ' l |
( 4 3 . 1 2 ) |
— матрица жесткости относительно узловых обобщенных пере мещений \q\.
И все же при расчете оболочек вращения в качестве основных неизвестных удобнее принимать не компоненты вектора \q\, т. е.
4
перемещения узловых окружностей в местной системе координат, а перемещения точек тех же узловых окружностей в общей системе
координат: |
(А) |
= |
{Дf щ Ai[3iA?voЛ2Р2) (рис. |
VII.4). |
Из непосредственного рассмотрения рис. VII.4 нетрудно найти |
связь между |
j^[ |
и |
)А(: |
|
|
|
|
{Д} = [ С ?1 !<?}, |
( 4 3 . 1 3 ) |
* Здесь и в других аналогичных матрицах в пустых клетках стоят нули.
где
— |
|
sin fly |
— cos fly |
|
1 |
cos fly |
sin Ay |
| |
1 |
(43.14) |
|
sin fl2 |
|
—cos fly |
|
|
1 |
|
cos fly |
sin Ay |
|
|
1 |
_ |
|
__ |
Отсюда матрица жесткости элемента оболочки по отношению к пере мещениям {А)
[ ' < * ] = [ С » “ ‘ ] т K I M . ( 4 3 . 1 5 )
Для определения неизвестных узловых перемещений {Д} со ставляются уравнения равновесия узловых окружностей под дей ствием реактивных усилий со стороны сопрягаемых элементов и узловой внешней нагрузки. При этом обобщенные узловые реактив ные усилия считаются положительными, если они совершают поло жительную работу на соответствующем обобщенном перемещении. Положительные направления реактивных узловых усилий приве дены на рис. VI 1.4, б.
В матричной форме система уравнений равновесия узловых
окружностей запишется |
в виде |
|
|
[tf] 1Д} = {^}- |
(43.16) |
Здесь |
|
|
|
[/<] = |
[Я]т |Ks\ [Я], |
(43.17) |
где |
|
|
|
k eJ = |
f № |
[Я]2, . .., [K]mJ |
(43.18) |
— квазидиагональная матрица, составленная из матриц жесткости всех элементов, входящих в состав оболочки; [Я] — матрица связи между узловыми перемещениями элементов'
{ Д ) = |
( { А } 1 { А Ь . . . |
{ А Ц . . . |
{ А 1 « } |
