книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

определяется заданием шести компонентов узловых перемещений. Это позволяет предположить закон изменения компонентов переме­ щений для произвольной точки конечного элемента в виде

160

Исключая теперь с помощью зависимости (25.15) вектор {е} из правой части (25.18), получаем выражение, позволяющее опреде­ лить напряжения в элементе по известным значениям его узловых перемещений:

В методе конечных элементов матрицу [£] обычно называют матри­ цей напряжений. Выпишем значение этой матрицы:

(25.22)

здесь

Q

=— V1V2)-

Переходим теперь непосредственно к получению матрицы жест­ кости [/С]. Для ее определения можно воспользоваться формулой

(3.8):

В случае треугольного элемента принятые нами зависимости (25.2) для компонентов перемещений приводят к тому, что элементы матриц [D] и [Д], стоящих под знаком интеграла в правой части зависимости (25.23), не содержат переменных координат х, у. По­ этому выражение (25.23) можно упростить и привести к виду

162

элементов дает удовлетворительную точность при весьма скромном числе конечных элементов (некоторые примеры будут приведены ниже в § 28, 29).

Дальнейшее повышение точности расчетов с помощью плоских треугольных элементов требует задания линейного закона изменения компонентов напряжений в пределах элемента, т. е. использования для функций перемещений и и о полиномов 2-го порядка. Это при­ водит к увеличению числа обобщенных координат, подлежащих определению. Для их нахождения требуется либо задание дополни­ тельной информации о значениях производных компонентов переме­ щений в угловых точках элемента, либо задание значений компонен-

Рис. IV.2. Треугольный элемент пластинки с ше­ стью узловыми точками.

тов перемещений в некоторых дополнительных узловых точках по полю конечного элемента. Последний способ более естественен и по­ этому получил большее распространение [67, 109, 155].

Треугольный элемент с шестью узловыми точками. Рассмотрим треугольный элемент, в котором кроме естественных трех узлов введены еще три дополнительные узлбвые точки в серединах каждой из его сторон (рис. IV.2).

В этом случае возможно применение полного квадратичного

Применение полиномов типа (25.26) обеспечивает линейное измене­ ние всех компонентов деформаций и напряжений в пределах эле­ мента.

Поскольку изменение и и v вдоль любой стороны является пара­ болическим, а три значения для и'и v в трех узловых точках граней однозначно определяют параболу, то непрерывность перемещений вдоль граней соседних элементов будет автоматически обеспечена.

Выражение для узловых перемещений \q\ вновь выпишем в соот­ ветствии с (25.7):

I<7l = 1В] {а],

где

164

Исключив с помощью (25.9) вектор {а}, запишем вектор дефор­ маций в следующем виде

, Напряжения по закону Гука определяются по формуле

Тогда выражение для матрицы жесткости (12 X 12) определяется по аналогии с предыдущим в форме (3.8):

Так как матрица [В ] не зависит от переменных х и у, то ее можно вынести за знак интеграла и произвести интегрирование в замкну­ том виде. Однако удобнее вычислять коэффициенты матрицы жест­ кости с помощью ЭВМ путем численного интегрирования.

Возможен и другой путь вычисления коэффициентов МЖ в при­ ближенной форме. Для этого в матрицу (25.30) вместо переменных х и у вводятся средние значения координат шести узловых точек:

166

Полученная таким образом матрица [Da ] не зависит от параметров интегрирования, и выражение для матрицы жесткости принимает следующий явный вид:

(25.34)

где р — площадь треугольника; h — толщина элемента.

Заметим, что этот прием противоречит основному предположе­ нию о линейном законе распределения напряжений и деформаций внутри конечного элемента. Однако на практике оказывается, что

X

Рис. IV.3. К составлению уравнения равновесия для i узла: а — общая сум­ марная реакция узла; б — разложение общей реакции на реактивные узло­

вые силы, сходящиеся в £-м узле для 3-х конечных элементов.

числовые коэффициенты в зависимости (25.34) мало отличаются от коэффициентов в выражении (25.33), но вычисляются значительно проще.

В целом треугольные элементы с шестью узловыми точками тре­ буют более мощных ЭВМ, так как программы становятся более длин­ ными.

Вряд ли можно утверждать, что использование этих элементов более эффективно, чем элементов с тремя узлами, но при более мел­ ком делении области на конечные элементы.

Уравнения равновесия узлов. Для определения основных неиз­ вестных (перемещения узловых точек) необходимо составить уравне­ ния равновесия для каждого узла.

Пусть конструкция загружена сосредоточенными узловыми внеш­ ними силами {£} = \Р гР 2. . ,РГ . ,Рп\, где п — число узлов в идеализированной схеме конструкции.

Сила, Ph приложенная в t-м узле, может быть разложена по направлениям осей х и у.

167

При равновесии i-го узла внешняя сила Р( уравновешена суммой реакций от элементов, сходящихся в этом узле (рис. IV.3):

в t'-м узле.

Введение общей системы кобрдинат для узловых перемещений позволяет переписать систему уравнений равновесия (25.35) в виде

здесь [/С 1— общая матрица жесткости пластины в общей системе координат;

{<?! = \u1v1u2v2 . . . uLvc . . . unvn\

— вектор узловых перемещений в общей системе коортинат (п —

число узловых точек); \Р\ — вектор узловых внешних нагрузок. Непосредственно из выражения (25.36) получаем

По найденным узловым перемещениям с помощью матрицы напря­ жений можем определить компоненты напряжения в каждом эле­ менте, а следовательно, и в конструкции в целом.

§ 26

Матрица жесткости для прямоугольного плоского элемента

Прямоугольный элемент с линейным законом изменения компо­ нентов напряжения. Прямоугольный элемент (рис. IV.4) с верши­ нами 1, 2, 3, 4 загружен узловыми усилиями

можно было бы идти путем, который использовался ранее для тре­ угольного элемента. Однако этот путь, хотя принципиально и воз­

168

можен, но ставит нас в затруднительное положение при выборе вы­ ражений для компонентов перемещений, если мы хотим удовлетво­ рить уравнениям равновесия внутри элемента. Проще исходить из задания закона изменения напряженного состояния по площади ко­

нечного элемента [5, 52].

Так как общие выражения для компонентов напряжений прямо­ угольного элемента должны включить пять произвольных парамет­ ров, то вполне естественно предположить о линейном характере изме­

Напряженное состояние элемента, выражаемое зависимостью (26.1) , удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия и условиям совместности деформаций внутри объема элемента.

Компоненты деформации |е}, если воспользоваться зависимостью (26.1) и законом Гука (25.18), можно выразить через {а}:

в которых компоненты деформаций определяются с помощью (26.4), после несложных выкладок можно получить следующие выражения для компонентов перемещений точек элемента:

169