книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций
.pdfпри учете физической и геометрической нелинейности перестает быть линейной, так как значение матрицы жесткости [/<* ] находится в зависимости от узловых перемещений.
Располагая значением матрицы жесткости [/<* ]г для t-ro эле мента, по формуле (4.18) можно построить общую матрицу жестко
сти [/(*] для всей конструкции. При этом основное матричное уравнение (4.17) для определения неизвестных узловых перемещений
перепишется в |
виде |
|
[Г ] |
[q] = \Р]. |
(7.8) |
Значение матрицы [К* ] зависит не только от геометрических парамет ров конструкции, но и от ее иапря- женно-деформированного состояния, выражаемого через узловые перемеще ния. Именно это обстоятельство и при водит к тому, что решение системы (7.8) может быть получено лишь с помощью итерационных методов. Остановимся на некоторых наиболее употребитель ных из них.
Метод последовательных приближе ний. Суть этого метода состоит в том,
Рис. 1.24. Процедура метода по следовательных приближений при решении нелинейных задач.
что общая матрица |
[К* ] |
на каждом |
|
|
этапе решения системы |
(7.8) определяется через узловые пере |
|||
мещения, полученные на |
предыдущем |
этапе: |
|
|
|
[ ^ ( (?(s-l)) ] ((?(s)} = |
(pj) |
(7.9) |
|
где s — номер этапа |
приближения. |
|
которых |
|
На 1-м этапе (s = |
1) значения узловых перемещений, от |
|||
зависят отдельные элементы матрицы жесткости IK* 1, следует поло жить равными нулю. Последнее приводит к тому, что все члены, связанные с учетом геометрической или физической нелинейности,
обращаются в нуль, и мы получаем обычную упругую матрицу [Л(]. Процесс последовательных решений уравнения (7.9), с процеду
рой уточнения значения матрицы жесткости [К* ] на каждом этапе продолжается до тех пор, пока разница между результатами реше ния, полученными на данном и предыдущем этапах приближения не будет достаточно малой (рис. 1.24).
Описанный выше процесс последовательных приближений при всей своей простоте обладает тем существенным недостатком, что при сильной нелинейности оказывается слабо сходящимся, а иногда и расходящимся.
Метод упругих решений. Этот метод приводит к определенному уменьшению общей трудоемкости вычислительных операций по сравнению с предыдущим методом. Он основан на выделении из
41
матрицы жесткости системы |
[К*] |
ее упругой составляющей |
[/<]: |
Г ] |
= [к] + |
[ * и |
(7.10) |
где второй член в правой части полностью связан с наличием нели нейности в рассматриваемой конструкции.
Принимая далее во внимание зависимость (7.10), уравнение (7.8) можно переписать в следующем виде:
|
|
|/< Ш = |
И |
- I X L i ? ) - |
а - 11) |
||||||
|
|
К решению |
матричного |
уравнения |
|||||||
|
|
(7.11) можно применить процедуру по |
|||||||||
|
|
следовательных |
приближений согласно |
||||||||
|
|
следующему алгоритму: |
|
|
|
||||||
|
|
|
И |
|?(s)} = |
|
(P (s_1)), |
|
(7.12) |
|||
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|я “-1,}= |
\р ] - |
[ - |
W |
1’)].. |
1Ц( S — 1 ) 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.13) |
|
|
|
Таким |
образом, |
па |
каждом |
этапе |
|||||
|
\i j последовательных |
приближений |
нам |
||||||||
Рис. 1.25. Процедура метода |
приходится |
решать |
систему |
линейных |
|||||||
алгебраических |
уравнений (7.12) |
с по |
|||||||||
упругих решении. |
|
||||||||||
|
|
стоянными |
коэффициентами |
в правых |
|||||||
частях, значения которых [см. выражение (7.13)] |
уточняются с по |
||||||||||
мощью результатов, полученных в предыдущем |
этапе. Процедура |
||||||||||
метода показана на рис. 1.25. |
|
|
|
|
|
|
для удоб |
||||
Шаговый метод нагружения. Введем в уравнение (7.8) |
|||||||||||
ства дальнейших рассуждений параметр нагрузки X, изменяющийся |
|||||||||||
в пределах от 0 до |
1. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ Г Ш 1 = М Я - |
|
|
|
|
|
(7.14) |
||||
Разобьем весь интервал изменения X на ряд отдельных участков: 0, |
|||||||||||
Х1г X2, . . ., Xt = 1. |
|
|
и s + |
1-го шага нагружения: |
|||||||
Запишем уравнение (7.14) для s-ro |
|||||||||||
|
[tf(s)] f t (s))= A .,H > |
|
|
|
|
|
(7-15) |
||||
|
[/C(s+1)] \~qis+l)} = X S+1{P\. |
|
|
|
|
(7.16) |
|||||
Рассматривая матрицу жесткости [К ] в качестве сложной функ ции узловых перемещений и раскладывая .значение этой матрицы в ряд Тейлора, можно, в частности, получить выражение
=.[*<■>] + V |
д[Х] |
(s-И) |
(7.17) |
ддк |
dqil |
||
к —1 |
!=П<5>) |
|
|
|
|
42
где
' dq(Ks+l) = ?<s+1) - ?'s), ( « = 1 , 2 ......... |
л) |
(7.18) |
или, в матричной форме,
№ + " ) = № +1)\ - [ Г ' \ - |
(7-19) |
Вычитая из уравнения (7.16) уравнение (7.15) и принимая во внимание разложение (7.17) и обозначение (7.19), можно найти
\K{S)] {0*+". |
dq«+l) |
(7.20) |
Второй член в левой части последнего уравнения можно преобра зовать к следующему виду:
^ |
+ l ) q)S |
|
dqК(s-И) |
|
[dq[s+l)) = |
£ dkiKdqK |
-(.) \dq?+"} = |
|
|
к = 1 |
|
= [A7C(S)] \dqis+l)}, |
(7.21) |
|
|
где [AK(s) 1— матрица, |
элементы кото |
|
|
рой определяются по формуле |
|
|
|
А^’=Zj^T^s)- (7‘22)
К =1 '
Щк
Здесь —=— есть значение частной про- d'?/ _ _
взводной от элемента kiK матрицы [ТС] по узловой координате qj при {q] =
С учетом результата (7.22) уравне ние (7.20) можно переписать так:
Рис. 1.26. Процедура шагового метода нагружения.
[K{S)+ A K {S)] ( ^ (s+1)) = ( K +1- K ) { P l |
(7.23) |
С помощью зависимости (7.23) последовательно переходя от нуле вой ступени нагружения (s = 0) к первой (s = 1), от первой ко
43
второй (s = 2)_и т. д., легко получить значение вектора узловых перемещений |^( при интересующем нас значении %t = 1.
Матрицы [M(s) 1и [A/(<s) ] определяются однозначно через вектор
{<?(s)}. Заметим, что значение \q] на каждой ступени нагружения согласно зависимости (7.19) определяется по формуле
| ?<S+D} = {?(*>} + \dq(s+1)}.
Последовательность операций шагового метода легко прослежи вается из рис. 1.26.
|
|
|
|
§ 8 |
|
Общая схема использования |
метода |
конечных |
элементов |
|
|
к |
расчету конструкций |
|
Основные этапы МКЭ в форме метода перемещений |
(рис. 1.27) |
|||
состоят в следующем: |
которая должна |
включать: |
||
1. |
Задание исходной информации, |
|||
а) |
расположение узловых точек в |
общей |
системе координат; |
|
б) взаимное расположение конечных элементов (топологию кон струкции). Более детально об этом будет сказано в гл. III;
в) значения геометрических и жесткостных параметров каждого из элементов конструкции.
2.Определение положения узловых точек элементов в местной системе координат.
3.Нахождение матрицы жесткости для элемента в местной си стеме координат [/(],-.
4.Вычисление направляющих косинусов для каждого элемента
иматрицы преобразования перемещений элемента из местной си
стемы координат в общую [Т ]г.
5. Определение матрицы жесткости элемента в общей системе
координат [Я'Ф = [Т 1НЯЫТ],-.
6. Нахождение общей матрицы жесткости для всей конструкции
[ R l
7. Наложение на конструкцию определенного числа связей, исключающих ее перемещения как абсолютно жесткого тела. По следнее приводит к получению некоторой урезанной общей матрицы
жесткости [Я*].
8. Приведение поверхностных и объемных сил к эквивалентным
узловым силам \Pv\i |
и \Pv\t- |
узловых сил в каждом i-u узле |
|
9. |
Вычисление суммарных |
||
р(П = |
pH) + pH) + |
р п)ш |
_ |
10.Определение обратной матрицы [/С*]-1.
11.Нахождение узловых перемещений конструкции
ft} = [**]■' P I-
12. Определение узловых перемещений и напряженного состоя ния для конечного элемента.
44
1. Исходная информация о конструкции
Рис. 1.27. Общая блок-схема расчета конструкций по методу конечных элементов.
45
§ 9
Связь метода конечных элементов и метода Ритца
Попытаемся установить связь между методом конечных элементов и методом Рнтца [60, 67, 155]. Попутно выясним, в чем состоит специфика метода конечных элементов по сравнению с методом Ритца.
На основании принципа возможных перемещений для системы, находящейся в положении равновесия, должно быть справедливо следующее равенство:
J (ох 8гх -f сф бе,, + ----- 1- хиг бу,,*) dx dydz— J {X би -\- Y8v + |
|
|
v |
v |
(9.1) |
+ |
Z бw) dx dy dz — J (Xvби + Yv 8v + Zv 8w) dS = 0. |
|
Входящие в зависимость (9.1) обозначения уже встречались ранее. Используя матричную запись для компонентов перемещений, деформадий и напряжений, равенство
(9.1) можно переписать в виде
|
j |бе}т |а} |
dV — J |
{8U\T\X}dV — |
|||
|
к |
|
v |
|
|
|
|
— J \8Uy\S\d2 = Q, |
(9.2) |
||||
|
£ |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
i e l |
= |
\ехеу ' • •Yvzi» |
|
||
|
И |
= |
1< W -тм 1, |
|
||
Рис. 1.28. К составлению выражения |
\U\ = \uvw\, |
[X} = {XKZ}, |
||||
{S[=:{XvyvZv]. |
(9.3) |
|||||
для потенциальной энергии идеализи |
||||||
рованной пластинки. |
|
|
|
|
|
|
Разобьем мысленно весь объем рассматриваемого тела на конеч ные элементы (рис. 1.28). Каждый из элементов будет находиться под воздействием приложенной к нему внешней нагрузки и усилий взаимодействия со смежными элементами. Эти усилщ^ взаимодей ствия по характеру тождественны внешним поверхностям нагрузкам. Если тело в целом находится в равновесии, то и каждый его t-й эле мент при воздействии на него вышеупомянутых усилий также будет находиться в равновесии, и для него на основании принципа возмож ных перемещений можно выписать уравнение, аналогичное выра жению (9.2),
\\6e\1\u\cdV~ |
\\8 U \J \X \ c d V - |
|
vi |
vi |
|
- J {б£/Д |
J {8U\l{Sr}td2e = 0. |
(9.4) |
46
Индекс «£» указывает на связь величины с рассмотрением г-го конеч
ного элемента. |
|
площадь |
наружной поверхности |
||
При записи уравнения (9.4) |
|||||
/-го элемента |
2 (- была |
разделена |
на две |
части: |
2 ) — наружная |
поверхность |
элемента, |
которая |
одновременно |
является частью |
|
наружной поверхности рассматриваемого тела в целом; 2 (- — часть наружной поверхности элемента, образовавшаяся при рассечении тела на конечные элементы. В соответствии с этим в выражении (9.4) через {S'); обозначена поверхностная нагрузка, действующая на тело и приходящаяся на часть поверхности t-ro элемента 2 -, а через
— усилия взаимодействия со стороны примыкающих к рас сматриваемому £-му элементу смежных элементов.
Просуммируем выражение (9.4) по всём i конечным элементам тела:
2. |
|
т |
J {6 С /} П * И У - |
|
J {беЩсгU d V - £ |
|
|||
t= |
И |
1'= 1vi |
|
|
- 2 |
J W M S '} ; |
d 2 ' - 2 |
J \W\}\S"}cd2" = 0. |
(9.5) |
Легко видеть, что первые три члена в левой части выражения. (9.5) в точности равны соответствующим членам в зависимости (9.2). Таким образом, разделение целого тела на конечные элементы с по следующим составлением уравнений вида (9.4), а затем уравнения (9.5) приводит к появлению в его левой части дополнительного члена (он подчеркнут сплошной линией). Легко показать, что для сплош ного тела, внутри которого выполняются условия равновесия и сплошности, этот член обращается в нуль. В самом деле, для любого участка линии раздела двух смежных элементов (например, вдоль линии АВ на рис. 1.28) в последнем члене левой части уравнения (9.5) будут присутствовать два следующих члена:
\ (Х[1) 8и(1) + |
бн(1)) ds + J (Xi2) би(2) + У<2) би(2)) ds, (9.6) |
л |
в |
где через X[l\ Y vl\( |
бм(1), би(1) обозначены соответственно проекции |
усилий и вариации перемещений вдоль линии контура АВ, принад лежащей г-му конечному элементу (г = 1; 2).
При выполнении всех условий сплошности и равновесия внутри объема целого тела
Х ^ = Х ^ , . . ., би(1) = би(2), ..
это приводит к тому, что члены в уравнении (9.6) взаимно уничто жаются. В результате четвертый член в левой части (9.5) обра щается в нуль.
47
При использовании метода конечных элементов, основанного на определенной аппроксимации напряженно-деформированного со стояния или компонентов перемещений по объему конечного эле мента, как правило, некоторые из компонентов перемещения или напряжения на границах раздела двух смежных элементов терпят разрыв. В результате четвертый член в выражении (9.4), появле ние которого связано с представлением рассматриваемого тела в виде совокупности конечных элементов, оказывается не равным нулю, а напряженное состояние элемента, определяемое с помощью (9.4),— отличным от истинного напряженного состояния.
Особое внимание следует обращать на условие совместности перемещений. При наличии разрывов в перемещениях (или углах поворота для задач изгиба пластин) нельзя быть уверенным в том, что увеличение числа конечных элементов приведет к уменьшению четвертого члена в зависимости (9.5) т. е., к получению точного реше ния. При несоблюдении условий неразрывности вдоль линий стыкова ния смежных элементов может оказаться, что увеличение числа конеч ных элементов приведет к тому, что решение асимптотически будет приближаться к какому-то значению, но отличному от точного.
При нарушении вдоль линий стыковки элементов лишь силовых условий уменьшение размеров конечных элементов всегда ведет к уменьшению погрешности решения.
Вернемся вновь к уравнению (9.5) и покажем, что из него может быть получено основное матричное уравнение метода конечных элементов (4.17).
В этом уравнении каждый t-й член первой суммы представляет собою вариацию потенциальной энергии {'-го элемента 6]Л, опреде ляемую по формуле (4.13), а каждый i-й член в последующих суммах соответственно равен приращению работы объемных сил, заданных поверхностных и поверхностных сил взаимодействия на возможном перемещении t-ro элемента.
Используя выражение (4.13) для бУ,-, а также формулы приведения
объемных и |
поверхностных |
сил |
к узловым |
[(6.4) |
и (6.5)], |
можно |
|
переписать |
выражение (9.4) |
в следующем виде: |
|
|
|||
|
т |
|
|
т |
|
|
|
|
2 [ m i т |
\qu - |
2 m i |
= |
о. |
а д |
|
|
i=i |
|
|
t—i |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
{/>*}< = |
m |
+ |
+ |
|
|
(9-8) |
Здесь \Pv\i, {Ps'}i и \Pz"\i суть векторы узловых усилий, эквивалентных соответственно действию на i-й конечный элемент объемных { и поверхностных {S'}£ и {S")f сил.
Если далее воспользоваться обозначениями (4.4), то уравнение (9.7) можно привести к виду
т ч к е\ м - т ц р \ = о . |
(9.9) |
4
Воспользовавшись зависимостью (4.8) между вектором узловых перемещений всей конструкции в местной системе координат \q\
и вектором узловых перемещений в общей системе координат {<7}
|
|
|
{?} = [#]{?}, |
(9.10) |
|||
уравнение (9.9) перепишем так: |
|
|
|||||
|
|
|
{б?}т [ / / т * п я ] м - |
|
|||
|
|
|
- \ 8 д \ г [Н Г{Р\= 0. |
(9.11) |
|||
Откуда |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
[ * Ш - { ? } |
= 0, |
(9.12) |
|
|
||
где [К ] |
= IHY |
\Kg\ |
[Н] — общая |
|
|
||
матрица |
жесткости |
конструкции |
|
|
|||
в общей |
системе |
координат; |
|
|
|
||
|
\Р} = 1Н)Т{Р} |
(9.13) |
|
|
|||
— вектор узловых усилий для всей |
|
|
|||||
конструкции в общей системе коор |
|
|
|||||
динат. |
|
|
|
|
Рис. 1.29. Совокупность конечных |
||
Уравнение (9.12) есть уравнение |
|||||||
элементов, |
сходящихся в i-fi узло |
||||||
метода конечных элементов при вы |
|
вой точке. |
|||||
боре в качестве неизвестных узло |
|
и доказывает общ |
|||||
вых перемещений [см. |
выражение (4.17)], что |
||||||
ность вариационного |
метода |
Ритца |
и метода конечных элементов. |
||||
Специфическим для метода конечных элементов является лишь выбор координатных функций: здесь изменение любого из узловых перемещений сказывается на изменении поля перещений лишь по объему сходящихся в этом узле конечных элементов. На рис. 1.29 для плоской задачи изображена совокупность конечных элементов, сходящихся в t'-м узле. Легко понять, что смещение i-го узла вызы вает смещение по всей области, занятой примыкающими к этому узлу элементами.
Для метода же Ритца изменение любой из координатных функций вызывает изменение перемещений по всему объему конструкции.
4 В. А . Постноп |
49 |
о
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
За последнее время благодаря применению ЭВМ интерес к стерж невым системам возрос, и не только с точки зрения расчета чисто стержневых систем, но и в связи с открывшимися возможностями решения континуальных объектов и массивных тел на основе их идеализации стержневыми моделями. Кроме того, такой распростра ненный класс задач, как осесимметричные оболочки вращения, описываются функциями одной переменной, а следовательно, сво дятся к одномерным задачам путем замены их соответствующей стержневой моделью.
В работах Дж. Аргироса |
[5], |
Р. |
Клафа |
[23, |
100], М. Н: Длу- |
|
гача [18], А. В. Александрова [3], |
А. |
Хренникова |
[90] идр. |
приве |
||
дены различные стержневые |
модели |
для решения |
плоской |
задачи |
||
теории упругости, изгиба пластин |
и оболочек |
некоторых видов. |
||||
А. П. Филин [84] рассмотрел непосредственную замену оболочки стержневой моделью, исходя пз чисто физических соображений, причем им показано, что стержневая система в пределе может перейти в оболочку. А. Р. Ржаницын [63 ] вывел стержневую модель для решения пространственной задачи теории упругости. Строгое обо снование выбора стержневой модели при расчете пластин и оболочек дано в работах Л. А. Розина [65].
Таким образом, дискретные стержневые модели позволяют при ближенно описать поведение континуальных упругих систем (пла стин, оболочек, объемных тел и т. д.).
Внастоящее время имеется довольно много численных алгоритмов
ипрограмм для анализа стержневых систем. Все они, однако, имеют много существенных ограничений как в отношении объема расчетной схемы, так и в отношении класса решаемой задачи. Универсальный алгоритм и программа метода конечных элементов [11 ] для расчета упругих систем (в том числе и стержневых) являются, на наш взгляд, наиболее эффективным способом решения задач прочности упругих систем с помощью ЭВМ.
Метод конечных элементов не вносит принципиально новых прие мов в анализ стержневых систем по сравнению с классическим мето дом перемещений, однако наличие готовых программ существенно
50