книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

Матрицей {7*},- определяются лишь «упругие» перемещения. Для определения полных перемещений необходимо к найденным упругим перемещениям добавить перемещения соответствующего

элемента как абсолютно твердого тела.

После определения вектора {R*\{ оставшаяся часть усилий взаи­ модействия определяется из соответствующих уравнений равновесия

Как уже говорилось, общее число неизвестных в методе сил, как правило, оказывается большим, чем в методе перемещений, хотя порядок матрицы податливости [К](- меньше порядка ма­ трицы жесткости [/С ]£- Поэтому в расчетной практике преимуще­ ственно используется метод перемещений.

Aj +Ai

R3Щ

е)

>IAS

Рис. 1.21. Элемент балки при изгибе с растяжением (а) и два варианта (б, в)

основной системы сил для получения матрицы податливости.

мом случае из одного элемента.

Для элемента балки, работающего на изгиб, имеется несколько возможностей выбора основной системы при выводе матрицы подат­ ливости. Две из них показаны на рис. 1.21, б и в.

Уравнение (5.1) для этого случая принимает вид

В случае принятия основной схемы сил согласно рис. 1.21, б, что соответствует работе балки как жестко заделанной консоли (qx = g2 = qs — 0), уравнение (5.3) запишется в следующем виде:

(5.7)

32

где [Л< — матрица податливости г'-го элемента балки при его кине­ матическом закреплении согласно рис. 1.21, б.

Принимая во внимание зависимость (5.7), а также кинематические

И , в матричной форме, для г-го элемента

(5.10)

Выбирая далее в качестве основной системы сил систему, изобра- ценную на рис. 1.21, в, получаем

4

ЛА. Постной

Связь между векторами {R\ и {R*\ запишется в виде

im

Естественно, что возможны и другие условия закрепления эле мента балки, при которых будем получать соответственно другие матрицы податливости.

Уравнения типа (5.8) и (5.10) можно записать для каждого эл1 мента конструкции. Тогда для всей конструкции, состоящей из г

Если теперь на конструкцию дополнительно действуют внешни силы \Р\, приведенные к узловому виду по направлениям вектор,; \q*\, то суммарные перемещения узловых точек конструкции буд\ равны

Введем в рассмотрение вектор лишних неизвестных {R| в обще;; системе координат. Из непосредственного рассмотрения вектор’'.

{R*} и \R] нетрудно установить связь между ними:

34

Замечая далее, что левая часть уравнения (5.18) представляет собою суммарные узловые перемещения в общей системе координат,

Пример. Все матричные операции метода сил, основанного на использовании уравнения (5.19), проиллюстрируем простым примером расчета балки, изображен­ ной на рис. 1.22.

Матрица податливости для элемента балки (рис. 1.23)

(4 = 1, 2, 3)

Квазидиагональная матрица податливости [Д] для всей неразрезной балки

Выражение для вектора (Я) и связь между Новыми усилиями балки {R* |

'_ —

Тогда общая матрица податливости конструкции

3G

решающими для окончательного выбора МП в качестве основного варианта, который мы ниже и принимаем на протяжении всей книги. Правильность такого выбора подтвердила практика многолетнего использования универсальной программы МКЭ в варианте МП [11 ].

§ 6

Приведение объемных и поверхностных сил, а также начальных деформаций к эквивалентным узловым внешним силам

При составлении уравнений равновесия узлов в методе переме­ щений предполагалось, что все внешние силы приложены в узлах.

Предположим теперь, что помимо узловых внешних сил на рас­ сматриваемый элемент действуют объемные силы интенсивностью

например, температурным воздействием.

Для определения эквивалентных узловых сил поступим следу­ ющим образом. Дадим перемещениям элемента {Н} = \и v w] малые

Второй интеграл в правой части выражения (6.1) берется по по­ верхности конечного элемента. Если далее учесть, что на основании

В полученном выражении коэффициенты, стоящие при вариациях узловых перемещений \8q\, и будут представлять матрицы искомых эквивалентных узловых усилий:

38

от действия поверхностных сил интенсивностью {Fv\

s

вследствие учета начальных деформаций {е0}

Таким образом, если на отдельные конечные элементы действуют внешние объемные и поверхностные силы и имеется начальное де­ формированное состояние, то при составлении уравнения равнове­ сия произвольного t-ro узла [t-e уравнение системы (4.17)] вместо узловой силы [Pj] следует ввести величину

В формуле (6.7) суммирование производится по всем элементам, сходящимся в /-м узле.

Заметим, что при учете начальных деформаций компоненты

Приведенный выше вывод выражений (6.4), (6.5) и (6.6) для эквивалентных узловых усилий был основан на равенстве работ, совершаемых действующей на элемент внешней нагрузкой и экви­ валентными ей узловыми усилиями на соответствующих возможных перемещениях.

Естественно, что точность замены внешних нагрузок эквивалент­ ными узловыми усилиями во многом зависит от того, насколько удачно выбранное выражение (3.2) для перемещений {17} отображает действительный характер перемещений по объему рассматриваемого конечного элемента.

§ 7

Учет геометрической и физической нелинейности при расчете конструкций

Два типа нелинейности встречаются при расчете конструкций. Первый тип связан с нелинейностью зависимости а = а (е), которой характеризуется материал конструкции в упруго-пластической обла­ сти или при учете изменения механических свойств материала во времени (ползучесть). Второй тип связан с геометрической нелиней­ ностью и имеет место, когда перемещения конструкции вызывают

39

значительные изменения ее геометрии, так что уравнения равно­ весия приходится составлять уже для деформированного состояния.

Методы расчета конструкций, изложенные выше для линейных систем, могут быть использованы и при учете геометрической и физи­ ческой нелинейности. Учет любого из этих двух типов нелинейности приводит к получению разрешающей системы уравнений, содержа­ щей нелинейные относительно определяемых основных неизвестных члены. Присутствие в уравнениях нелинейных членов не позволяет получить их решение в замкнутом виде, подобно тому, как это имело место при расчете линейных систем. Здесь приходится использовать различные процедуры последовательных приближений.

При учете физической нелинейности связь между вектором на­ пряжений {а} и вектором деформаций {е} можно представить в виде

где значение матрицы [ЕЁ] будет некоторой функцией подлежащего определению деформированного состояния {е[, которое, как изве­ стно, в методе конечных элементов является однозначной функцией узловых перемещений {17}. Последнее позволяет переписать зави­ симость (7.1) так:

В общем случае каждый элемент матрицы [Е (q) ] можно пред­ ставить в виде степенного полинома от компонентов вектора j^}.

Учет геометрической нелинейности приводит к тому, что зави­ симость (3.3) между {ej и \q\ перестает быть линейной:

Если теперь воспользоваться принципом возможных перемещений в форме зависимости (3.6) и учесть, что в рассматриваемом случае

где ID* ] — матрица, элементы которой определяются по формуле

dif — элемент матрицы [D], то для определения матрицы жесткости получим вместо (3.8) выражение вида

С вводом в рассмотрение матрицы [/(* ] зависимость между узло­ выми усилиями и узловыми перемещениями для г-го конечного эле­ мента

40