книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

элемента в целом (рис. 1.11, б). Порядок матрицы податливости равен 3.

4. Прямоугольный плоский элемент пластины при рассмотрен плоской задачи (рис. 1.12). При использовании МП общее число узловых усилий равно 8 (рис. 1.12, а). Порядок матрицы жесткости равен 8. В МС три из восьми узловых усилий исключаются с по­ мощью уравнений равновесия элемента как жесткого тела (рис. 1.12, б). Порядок матрицы податливости равен 5.

Рис. 1.10. Элемент пространственного стержня, работающего в условиях растяжения-сжатия, кручения и изгиба в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

5. Тетраэдр (рис. 1.13). Конечный элемент такой формы исполь­ зуется при решении объемной задачи теории упругости. Порядок матрицы жесткости равен 12, порядок матрицы податливости — 6.

6. Плоский треугольный элемент в задачах изгиба жестких пла­

При использовании МС три реактивных усилия (показаны пунк­ тиром на рис. Т.14, б) исключаются с помощью уравнений равнове­ сия. Порядок для матрицы податливости будет равен 6.

7. Плоский прямоугольный элемент в задачах изгиба жестких пластин (рис. 1.15). Порядок матрицы жесткости элемента будет

напряженном состоянии (рис. 1.16). Оболочка вращения может быть идеализирована совокупностью конических, тороидальных или с дей­ ствительной меридиональной кривизной элементов.

При использовании МП в каждом из торцевых сечений такого элемента будут действовать по три реактивных силы и одному

21

Рис. 1.11. Треугольный эле­ мент пластинки, работающей в условиях плоского напряжен­ ного состояния (плоской дефор­ мации).

Рис. 1.12. Прямоугольный элемент пластинки при рассмотрении плоской задачи теории упругости.

Рис. 1.13. Конечный элемент в форме тетраэдра для решения объемной задачи теории упругости.

Рис. 1.14. Плоский треугольный элемент в задачах изгиба жестких пластин.

22

Рис. 1.15. Плоский прямоугольный элемент в задачах изгиба жестких пластин.

Рис. 1.16. Конический элемент тонкой оболочки вращения при осесимметричном напряженном со­ стоянии.

Рис. 1.17. Кольцевой элемент треугольного сечения при осесимметрич­ ном напряженном состоянии тел вращения.

Рис. 1.18. Треугольный плоский элемент для идеализации произволь­ ных оболочек.

23

изгибающему моменту. Порядок матрицы жесткости будет равен 8, матрицы податливости — 6.

9. Кольцевой элемент с треугольным сечением при осесимметрич­ ном напряженном состоянии тела вращения. Любое тело вращения может быть идеализировано совокупностью кольцевых элементов с треугольным сечением (рис. 1.17). При использовании МП в каж­ дой вершине треугольного сечения вводятся по две реактивных силы. Порядок матрицы жесткости равен 6.

Для исключения перемещений элемента как жесткого тела доста­ точно закрепить одну из вершин сечения от перемещений, параллель­ ных оси тела.

Порядок матрицы податливости будет равен 5.

10. Конечный треугольный элемент произвольной оболочки.

Любая оболочка может быть заменена совокупностью плоских, сферических или с двоякой кривизной треугольных в плане (или близких к этому) конечных элементов.

Рассмотрим для простоты плоский треугольный элемент (рис. 1.18). В каждой вершине такого элемента следует ввести по меньшей мере три силы и два изгибающих момента. Две из упомя­ нутых сил лежат в срединной плоскости элемента, а третья направ­ лена перпендикулярно этой плоскости.

Общее число реактивных усилий взаимодействия рассматривае­ мого элемента со смежными элементами оболочки равно 15. Таким образом, порядок матрицы жесткости элемента будет равен 15, порядок матрицы податливости — 9.

§ 4

Метод перемещений

Общая матрица жесткости конструкции. В предыдущем пара­ графе были изложены способы определения матрицы жесткости конечного элемента, которая устанавливает связь между узловыми усилиями и узловыми перемещениями элемента.

Перейдем теперь к рассмотрению поведения идеализированной конструкции, состоящей из совокупности конечных элементов, скрепленных между собой в узловых точках. Наличие матриц жест­ кости для отдельных элементов позволяет заменить исходную кон­ струкцию с бесконечным числом степеней свободы дискретной мо­ делью с конечным числом степеней свободы.

Как уже было сказано, в методе перемещений в качестве основ­ ных неизвестных выбираются узловые перемещения.

Наша ближайшая задача — определить для этой дискретной модели ее матрицу жесткости. Эта матрица, как будет показано п.:же, выражается через матрицы жесткости отдельны^ элементов кон­ струкции и устанавливает связь между узловыми перемещениями дискретной модели и внешней нагрузкой исходной конструкции. Располагая выражением для общей матрицы, по заданным значе­ ниям внешней нагрузки мы без особогп труда сможем найти узловые

24

перемещения. Если далее воспользоваться формулой (3.4), то по значениям узловых перемещений элемента можно определить его напряженное состояние:

Напряженное же состояние рассматриваемой конструкции склады­ вается из напряженных состояний в каждом из ее конечных элемен­

тов.

Переходим к выводу выражения для общей матрицы жесткости

Объединим уравнения (4.2), выписанные для каждого из конеч­

Уравнение (4.3) устанавливает связь между внутренними узло­ выми усилиями {£?) и узловыми перемещениями \q\ рассматривае­

и соответствующий этим перемещениям вектор узловых внешних сил

|P j(s) = ... р(*>). (4.6)

Здесь i равно числу неизвестных узловых перемещений в s-м узле. Тогда выражение

будет вектором узловых перемещений для всей конструкции в общей системе координат, а зависимость

—вектором внешней узловой нагрузки для всей конструкции. Для любой конкретной конструкции путем непосредственного

рассмотрения векторов {q\ и {(?} нетрудно установить связь между

25

их отдельными элементами, а 'следовательно, и между указанными векторами:

С целью лучшего пояснения матрицы [Я] выпишем в развер­ нутом виде уравнение (4.9) для плоской рамы, изображенной на рис. 1.19 [в пустых клетках предполагаются нулевые элементы]:

Для составления уравнения равновесия конструкций в целом воспользуемся принципом возможных перемещений, согласно кото­ рому приращение работы внешних сил, действующих на конструк­ цию, на ее возможном перемещении равно изменению потенциальной энергии:

Приращение работы внешних узловых сил 8й7 определится по фор­ муле

26

Приращение потенциальной энергии конструкции бУ равно работе внутренних узловых усилий на соответствующих им возможных перемещениях

— общая матрица жесткости для всей конструкции в общей системе координат.

Уравнение (4.17) есть матричное уравнение равновесия метода конечных элементов в общей системе координат. Заметим, что при выводе этого уравнения система предполагалась совершенно сво­ бодной, т. е. не закрепленной в пространстве. Поэтому каждое узло­

вое перемещение в составе {<7} будет зависеть от неопределенных значений перемещения конструкции как абсолютно твердого тела.

Из вышеизложенного ясно, что полученные уравнения равнове­ сия (4.17) будут содержать в общем случае шесть уравнений равно­ весия, соответствующих шести степеням свободы движения кон: струкции как абсолютно твердого тела. Это приводит к тому, что

матрица жесткости всей конструкции [К 1 будет особенной; ее ранг будет меньше ее порядка на число степеней свободы системы как твердого тела.

Для исключения в векторе {9} перемещений конструкции как абсолютно твердого тела необходимо ввести определенное число

27

кинематических закреплений в отдельных ее узлах по некоторым из обобщенных узловых координат.

В общем случае объемной конструкции число таких закреплений, которые позволят аннулировать поступательные и вращательные движения (вдоль и вокруг каждой из осей координат) системы как твердого тела, будет равно шести. В случае же, например, плоской рамы, изображенной на рис. 1.19, достаточно ввести три кинемати­ ческие связи qx = q2 = q10 = 0, чтобы полностью исключить ее перемещения как твердого тела.

Исключив из матрицы [/?] строки и столбцы, соответствующие узловым перемещениям, на которые накладываются кинематические

связи, получим некоторую неособенную матрицу жесткости [/(*]. Последняя операция есть не что иное, как удовлетворение кинемати­ ческим граничным условиям закрепления конструкции. При этом уравнение равновесия (4.17) перепишется в виде

где индекс «*» означает, что из соответствующей матрицы исключены члены, связанные с наличием у конструкции перемещений как абсолютно твердого тела. Исключение соответствующих строк и

столбцов из матрицы [/(] в ЭВМ является довольно трудоемкой операцией, так как связано с изменением объема всех матриц и перекомпоновкой соответствующих массивов в оперативной памяти машины. Заметим, что в дальнейшем индекс «*» в уравнении (4.19) для упрощения записи будем опускать.

достигать очень больших величин. Например, пространственная стержневая конструкция среднего объема, состоящая из 80 элемен­ тов и 30 узлов, дает матрицу [Н ] размером 960 X 180, и только для раз­ мещения одной этой матрицы требуется около 20 тысяч ячеек памяти.

Значительно более простой прием для автоматического формиро­ вания общей матрицы жесткости системы, а также для одновремен­ ного учета к-ийематических граничных условий и т. п., связанный с использованием так называемой матрицы индексов и реализован­ ный в универсальной программе МКЭ [11], будет описан ниже в третьей главе.

Матрица преобразования координат. Выше, при выводе общей матрицы жесткости, предполагалось, что матрицы жесткости всех конечных элементов получены в общей системе координат.

В § 3 были приведены способы нахождения матриц жесткости для конечного элемента, ориентированного в произвольной системе коор­ динат. Таким образом, используя методы § 3,. мы могли бы получить матрицы жесткости конечных элементов для случая, когда местная система координат совпадает с общей. Однако в практических рас­ четах, как правило, используются уже готовые, полученные ранее матрицы жесткости для отдельных типовых элементов конструкции,

28

И может оказаться, что местная система координат, для которой и была найдена матрица жесткости элемента, не совпадает с общей системой координат для конструкции.

Покажем, каким образом с помощью использования матриц пере­ хода от одной координатной системы к другой можно получить выра­ жение для матрицы жесткости конечного элемента в новой системе координат.

Пусть оси xyz — местные оси конечного элемента, и именно для

Введем для элемента новые оси координат x'y'z'. В новой системе

Далее предположим, что нам известна матрица преобразования

Записать в общем виде выражение для матрицы преобразования [Т] сложно. Подробное описание процедуры получения этой ма­ трицы для некоторых типовых элементов будет приведено ниже в соответствующих главах книги.

Так как направления узловых усилий совпадают с направлениями соответствующих узловых перемещений, то легко понять, что связь между узловыми усилиями в старой и новой системах координат

разрешая полученное при этом уравнение относительно матрицы \R'\, находим

Действительно, работа, произведенная внутренними силами на действительных перемещениях в любой системе координат, постоянна. Тогда

* В целях упрощения записи в дальнейших выкладках индекс m будет опущен.

29

— матрица жесткости конечного элемента в системе координат x'y'z'. Формулой (4.30) можно воспользоваться для определения ма­ трицы жесткости конечного элемента при переходе от местной си­

стемы координат к общей системе.

§ 5

Метод сил

Анализ метода конечных элементов в форме метода сил мы начнем с уравнения связи между узловыми силами и перемещениями г-го элемента (3.1):

Для определения неизвестных узловых усилий нам нужно будет составлять уравнения совместности перемещений в узловых точках. Входящие в эти уравнения компоненты узловых перемещений сле­ дует выражать через узловые усилия.

В § 3 уже отмечалось, что использование для этих целей зави­ симости (5.1) невозможно, так как матрица жесткости [£],■ является матрицей особенной.

Налагая на конечный элемент определенное число кинематиче­ ских связей, которые ликвидируют его перемещения как абсолютно твердого тела, мы уменьшаем число уравнений (5.1) на число степеней

30