Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

11.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3518 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

« i x

^ 2X

« З Х

« V

« З У

R i y

где

- C m

- —

С о »

---------------------- C m

---------------- C m

— D

— и

п щ

/П Т |

П Щ

m T j

—

C m

—

С » о

—

и 2

-------------------------C

m r \

т т ]

m r j

—

C m

----------------------h C m

—

п щ

t ]

—

C m

—

— D

и *

п щ

E J i

1— V j T l

В т

—

В т

—

А т

- \— —

A m

-------------

---------- —

----------------

V l

шГ-С

А т

—

, С

- В

---------- —

V 2

А т

А --------------

----------—

А т

+ ~

V t

( 2 6 .8 )

Е.

а -

Л _

2 + V]t|

’

Л = E i ’

G ’

Л ~

В =

1— V?T]

^ а—vjT)+ 1

Vja

VjT)

+ 1

( 2 6 .9 )

4а

’

4а

’ М ~

4а

*л

аУ1 ах3

а!Н

I. т

v ^ n - 2		— v 2r) + 2
	Т\|	Т)
-	v 2	v 2
		v 2
-	VgT)	v 2ri
-	V 2	v 2
- ( i - v 2n ) m		- 1 — v 2ri
	а	а

v2^

2 - v ^

mC1- ^ )

	9					v2m
-	v 2ii	— v 2m	— v 9m			v2m	v 2m
-	v 2	( v 2 ri — 2 ) m	—	2		9	— ( v 2» l - 2 ) m
-	v 2	( v 2 ri — 2 ) m	—	V 9 туя		VgTj/n	— ( v 2» l - 2 ) m
- 2	+ v \| n	- v 2m	-	v 2m		v 9m	v 9m
	T1	- v 2m	-	v 2m		v 9m	v 9m
	T1
		— v 2T)m	( v 2i l - 2 )		m		9
	v 2	— v 2T)m	( v 2i l - 2 )		m	— ( v 2 n _ 2 ) m	vjjiyn
	v 2					— ( v 2 n _ 2 ) m	vjjiyn
1	2	— 1 - v \| r \|	i	2		1 — v 2r)	l - v ^ n
1 — v 2^		— 1 - v \| r \|	1	V2T1		1 — v 2r)	l - v ^ n
a		а		а		a	а

( 2 6 .1 0 )

_ Ег	m =	а	Л =	ЁА.
G ’	m =	Т>	Л =	Ei ’

Новые параметры а в, а 7, а 8 определяют перемещения элемента

как абсолютно твердого тела. Элементы матрицы		[Л ] находятся
непосредственно из зависимостей (26.6).
Связь между вектором узловых усилий \R\ и вектором узловых
перемещений \q\ =	определяем	зависимостью
(25.1).	для получения матрицы жест
При наличии зависимостей (26.6)

кости прямоугольного элемента можно воспользоваться способом, с помощью которого выше была найдена матрица жесткости треуголь ного элемента. Это даст нам право, опустив все промежуточные вы кладки, привести лишь оконча тельное выражение для искомой матрицы жесткости прямоуголь ного элемента, изображенного

	на	рис. IV.4. Гем. формулу
	(26.8)].		без	промежуточных
		Также
	выкладок, выпишем окончатель
	ные выражения для определе
	ния компонентов				напряжений
	по известным значениям узло
	вых перемещений [см. формулу
	(26.10)].		Характер		изменения
Рис. IV.5. Линейный закон распределе	компонентов			напряжений по
	полю прямоугольного элемента
ния нормальных напряжений для прямо	и	обозначения, используемые
угольного элемента при решении плос
кой задачи.	в	формуле (26.10),			приведены
	на	рис. IV.5.

Прямоугольный элемент с линейным законом изменения компо нентов перемещений вдоль контура. Простейшие выражения для ком понентов перемещений прямоугольного элемента (см. рис. IV.4), содержащие 8 неопределенных параметров и приводящие к линей ному закону изменения компонентов перемещения могут быть вы писаны в виде

и = ахх + а2у + а Зху + а 4, v = аьх + а 6г/ + с/^ху + ав.

(26.11)

Воспользуемся этими выражениями для определения компонентов узловых перемещений:

t li — & 1Х 1 -| - 1Х.2У1 "I- C l^ X ^ i “ f- C64 ,

Vi	= а.0х± + айуг +	ауХ1Ух + сс8,		(26.12)
и2	=агх2 + а2у2 +	а3х2у2+	а 4,	(26.12)
у4 =	а 5* 4 + а „#4 +	а 7х4г/4 +	а 8.

Из решения системы (26.12) можно выразить неизвестные пара метры а г через узловые перемещения. Исключая в уравнениях

172

(26.12) с помощью найденных зависимостей параметры а г, можем получить [139]:

и = (1 - 1 ) 0 -		УЬ .)%+! 0 -
+ 1 1 “. + (0			- 1 ) Т	(26.13)
V — ^ 1 - 1 ) 0 -		У
		ь Ь + 1 0 -
1 х У			- 1 )
-	------ Т- vi
'	а Ь	’ + (0

При рассмотрении выражений (26.13) можно увидеть, что компо ненты и и v вдоль любой кромки прямоугольного контура изме няются по линейному закону, который однозначно определяется перемещениями узловых точек рассматриваемой кромки. Например, перемещение и для кромки 2—3 согласно первой зависимости (26.13)

«2_з — и (х = а, у) = (1 —

м2+ - у “в-

Используя зависимости Коши и найденные выше выражения для компонентов перемещений (26.13), можно определить компоненты деформаций:

		-Ч-ц1 /-Т)		V	-V	0	0	0	0	и,
		-Ч-ц1 /-Т)		V	-V	0	0	0	0	щ
										Щ
IеЬ		0	0	0	0	-п(Н)		Im.		U<i
IеЬ		0	0	0	0	-п(Н)		Im.		о,
										;(26 П )
	Уха	-т.П-1) -In.		i,m	Щ1-1) -n-m		7-7)			«2
	Уха							7)	-v	“л
								7)	-v	“л
										о.

где

т —

или, в матричной форме,

[е } = [£]{?}.

(26.15)

Подстановка выражений (26.15) в зависимости закона Гука (25.18) для ортотропного материала позволяет определить связь между компонентами напряжений {а} и узловыми перемещениями {q\:

М = [£] [<7}.

(26.16)

которая в развернутой форме записывается в виде (26.17). Располагая значениями матриц [D] и [£], с помощью зависи

мостей (3.8) можно определить значение матрицы жесткости [К1, а следовательно, выписать в окончательной форме связь между узловыми усилиями \R\ и узловыми перемещениями {^} [(26.18)].

173

-Сх

— <1 — n)

1 —Л

— Л

Л1А

— £ m v 2

fi/nv2

(1 — £)

— V .

(1 -

T|)

v 2 (1 - л)

v , ^

— \-2л

ъ '

- % —

V 2

— — m (1 — £)

вГ*

V i

— а , ш

— l)

— a, ipi

O i l m

OiW (1 — s )

— a ,

(1 —

T1)

a , (1 -

r|)

Д1Л

a ,V

где

V ,«	'4 = 4 - = m =
a>= £ 7 (] Vl^).

—

R i x

_____ ] _

C im

Ci/n

— D

— H

з т Ь + c , m

3mrj

‘

6mл

бшц

C ,m

5--------- b C [W

C|/n

— H

—D

Я-----------C|W

б т л

З т л

6/72Л

^ з х

5--------- b C j m

1 ,

C j m

~ D

— H

— 3 m r f n

3/пл

^ iX

^----------г

C i m

—H

- D

E ,h

З т л

- 4 - 0

C l

_ ™_

С±_

R iy

3 + m

3 "Г 2m

C i

R VJ

3 ^

"2m

R 3у

С и м м е т р и ч н о

m _j_ _£i_

C i

R *y

m ,

C i

СЛ З д е с ь C i	1—v( T1	E,		Vja—VjT) + 1	, H= -	- V j a - v \|ti + 1	E ,
СЛ З д е с ь C i	3 a	E	D =	4 a	, H= -	4 a	G

«1 "1

II2

«4

Vl Г

v 2

V A

( 2 6 . 1 7 )

lln

«3

l>3

( 2 6 . 1 8 )

Четырехугольный элемент в полярных координатах. Для пластин с круговыми границами и круглыми отверстиями удобно получить матрицу жесткости для прямоугольного плоского элемента в поляр ных координатах в форме сектора (рис. IV.6) .

Форма такого элемента может быть описана двумя параметрами

а = - й - ,	р = 02_ 0									(26.19)
Г 2
Принимая компоненты перемещений в форме (26.11), решая
систему типа (26.12) и исключая		параметры а,.,					получаем			связь
	между \U\|				и \q\		в форме (26.13):
				\Щ = 1С]{<71
	или,		в развернутом виде,
			и	•	■■— а			02— 0
			и		1—а			Д5
					1—а			Д5
				Г/Гу— 1					1
				а —		1			г
				а —		1
			4 r/ri —1				0 — 0j «я -
			1 а —			1		Р	3 ‘Г
			1 а —			1		Р
		,	'•/''l — о			0- 0!				(26.20)
Рис. IV.6. Конечный элемент плас		+		1 —	а		Р	М4-		(26.20)
тины в полярной системе координат.		Аналогичное				выражение				записы
Выпишем теперь выражения		вается		и для V.			деформаций {е):
Выпишем теперь выражения	для компонентов						деформаций {е):
6г			ди
6г			TF
е) =■ ео		и .	1	dv						(26.21)
е) =■ ео										(26.21)
Угв	1	ди		v .		dv
Угв	г	00		г		дг

Подставив в (26.21) значения и и v по зависимости (26.20), получим вектор деформаций {е}, выраженный через узловые перемещения в форме

	{(?} = LD] \q\.		(26.22)
Располагая матрицами [D] и \Ее] (25.19),		можно получить ма
трицу жесткости [Д]	в виде выражения (26.18)	и матрицу напряже
ний [£] в виде (26.17).
Опустив промежуточные выкладки, приведем выражения для
матрицы жесткости	элемента, имеющего форму сектора (рис. IV.6):
	Г=0а
[К} = \ \ hlD\T[Ee][D]rdrdQ.			(26.23)
	г , 0,

176

В случае задачи о плоском напряженном состоянии для пластины постоянной толщины, выполняя интегрирование, получаем матрицу жесткости [/С] в явном виде*:

	*11	^12		*13	*14	*15		^lli	*17	*18
		* 2 2		*2 3	^2-1	^25		*20	^27	^28
					*34	^35		* з о	*37	*33
					*44	*45		*40		*48
1К1 =										(26.24)
						*55		*50	*57	*5 8
		Симметрично						*06	*67	*08
									*77	*78
				j						*8 8
				j
Коэффициенты в выражении (26.24) определяются следующими
формулами **:
I	Р Г а + 1			Q	/ 1 — За			а 2 1 п а \
/г. = А” = 6			T ~ 2v+ \ 2 j ^ l ) + ( ^ T r ) х
			( 2	+ ^ ) ;
&12--	78	--	; < i + v ) ( ^ = i					(2аа 2 1п а	\ I
h — h — Р Га + 1 \|_ С “ + + 1 .								а In а		X
Kls ~	~	Т [ Т = Т +			V"2= 2a			(а — I)2		X
Kls ~	~	Т [ Т = Т +			V"2= 2a			(а — I)2
		Х ( 2 + ^			р ^ )	]	;			X
/г,5— k:,r — ---- IL-			а +	1 ,	/ а-т 1			а In а		X
								а In а
		12	а — 1 +		V 2 — 2а		1	(а — I)2
		X (2		6(1 —V)
		X (2

* Р а д ж у И, С . , Р а о А . К. Матрицы жесткости элементов в форме сектора. — «Ракетная техника и космонавтика», 1969, № 1.

** Заметим, что здесь, как и выше в случае треугольного элемента, удобно

получать МЖ в машине путем численного интегрирования или в приближенной форме по зависимости (25.34).

12 В. А. Постнов

177

* J G ----- * 4 7 -----

1 — З а	.	а 2 1 п а
/ С „ = М 2 а — 2	'	( а — I ) 2

6 (1— у)

Р2

1 — З а

, 2 а 2 1 п а

(3 — v) -|—1 — 3v

* 1 8 —

* 2 7 — “ g~

—

1 ( а — I ) 3

___

1 —

З а

а 2

In а

( 1 —

v ) ( i a 2

«22 —

« 8 8

—

2 р ( а

)

I р ( а

—

I ) 2

6 ( а

—

I ) 2

’

*0М

2 а

I п а

■* 5 8

—

(а — 1)г )(1

v ) + l

- 3 v

(2 *-]- I

uа in1п иа

(1 — v ) а р I n а

---------_|-------------------

* 2 4

* 6 8

2 р ( а — Г) ^

р (1 — а ) 2

6 ( 1 — а ) 2

= ~ k - 1 |Y a + 1

2 a 1 n a

j (3 — v) — 1 — v

R 3a‘

L \ 1 — a

( a - 1)

(26.25)

___A

+ 1

I n a

a p

i n

— v);

«26 —

«48 —

2 p (1 — a )

( a

—

l ) 2 ~

—

a ) rU

*00— a 2 p I n a (1 — v )

1 — 3 a

a 2 I n a

1 2 ( 1 — a ) 2

2 P ( a — 1)

P ( a — l ) 2 ’

—

4 a

I n

'г 34

—

-----* 5 6

'—

g"~

(1 -

a ) 2 ) ^

V \

’

*ЯЯ -- *55 --

—

3 a

( a'—" У1)'

(

)

2 ( a

—

1 )

k - J l

«35- 12

* 3 6 — * 4 5 —

*jil	*no
■Hi	«60

a	+	1	2v
			2v
			ь
1 — З а .			I n a	6 ( 1 — v )	) +
2 ( a — 1 )	'	( a — l ) 2		P 2	) +
2 ( a — 1 )	'	( a — l ) 2		P 2
+ a	-		+ 2v
1 — 3 a		, 2 In a \ , 0		, . 0		1
Б— T + T ^ r ) ( 3 - v ) + 3 v - l
1 — 3 a			I n a	P (1 — v ) 1 n a _
2 P ( a — 1) _I			P ( a — l ) 2 +	f6 i (faa — lП) 2 ’

u ___	P (1	— v ) I n a	I n a	— 3 a
Й 4° —	1 2	( a — l ) 2	p ( a — l ) 2	2 P ( a — 1) ’

^ = - * - = т [ ( т ^ + ^ п ? ) ( 1 + ’ >+ 3' - 1]

178

Уравнения равновесия узловых точек конструкции записываются аналогично приведенному в предыдущем параграфе.

Оценка степени «совершенности» матриц жесткости. В гл. I были приведены шесть условий получения точного решения в МКЭ. Там же указывалось, что выбор в качестве основных неизвестных компонентов узловых перемещений приводит к автоматическому выполнению условия неразрывности перемещений в узловых точ ках (4-е условие). Третье условие удовлетворяется при составлении уравнений равновесия узловых точек в методе перемещений. Сте пень же выполнения оставшихся четырех условий полностью зави сит от принятого закона изменения по объему конечного элемента компонентов перемещений или напряжений.

При выводе матрицы жесткости треугольного элемента мы исхо дим из предположения о линейном законе изменения компонентов перемещения внутри элемента [см. формулы (25.2)]. Такое предпо ложение приводит к тождественному удовлетворению дифференци альных уравнений равновесия (1-е условие), условий сплошности внутри элемента (2-е условие) и кинематических граничных условий вдоль кромок элемента (6-е условие).

Условие 5 не соблюдается: при переходе из одного элемента в дру гой через линию разреза компоненты напряжений терпят разрыв. Невыполнение этого условия является основным источником неточ ности решения плоской задачи с помощью МКЭ при идеализации исходной конструкции совокупностью треугольных конечных эле ментов. Величина этой погрешности может быть снижена путем уменьшения размеров конечных элементов.

При использовании в МКЭ матрицы жесткости для прямоуголь ного элемента в форме (26.8) нарушаются силовые и кинематические условия стыковки смежных элементов (условия 5 и 6); остальные четыре условия выполняются.

Использование же для прямоугольного элемента матрицы жест кости в форме (26.17) приводит к нарушению уравнений равновесия внутри объема конечного элемента (условие 1) и силовых граничных условий (условие 5); остальные четыре условия соблюдаются.

Естественно поставить вопрос, какая из приведенных выше трех матриц оптимальней, т. е. дает при одном и том же числе узловых

точек наименьшую	разницу между результатами приближенного
и точного решений.	К сожалению, ответить на этот вопрос возможно

лишь при сопоставлении результатов числового расчета.

При использовании МКЭ небезынтересно знать, к какой оценке (сверху или снизу) приводит применение той или иной матрицы жест кости. При ответе на этот вопрос нужно исходить из следующего:

а) нарушение силовых условий при соблюдении кинематических всегда ведет к «ужесточению» рассматриваемой упругой системы, а следовательно, к меньшим расчетным значениям перемещений, компонентов деформаций и напряжений по сравнению с точными их значениями (оценка снизу);

б) нарушение кинематических условий может привести как к «ужесточению» упругой системы, так и наоборот — к ее «ослабле

12* 179

нию». При этом полученное по МКЭ приближенное решение в одном случае может давать оценку снизу, а в другом — оценку сверху.

Исходя из вышесказанного можно утверждать, что использова ние в числовых расчетах по МКЭ матрицы жесткости для треуголь ного элемента (25.25) и матрицы жесткости для прямоугольного элемента (26.17) всегда приводит к получению приближенного реше ния, дающего оценку снизу, так как при использовании этих матриц жесткости все условия неразрывности внутри объема каждого из конечных элементов и по линиям их стыковки тождественно выпол няются; нарушенными оказываются лишь уравнения равновесия внутри объема конечного элемента [для матрицы (26.17)] и по линиям стыковки элементов [147, 148].

Применение матрицы (26.8) связано с нарушением кинемати ческих условий стыковки элементов, поэтому полученное на основе использования этой матрицы жесткости решение может оказаться по сравнению с точным как заниженным, так и завышенным.

§ 27

Использование принципа виртуального изменения напряженного состояния для получения матрицы жесткости

При выводе матрицы жесткости (26.8) число произвольных пара метров, входящих в общие выражения компонентов напряжения, принималось равным числу обобщенных координат, связанных с из менением деформированного состояния тела. При этом нам приходи лось мириться с невыполнением кинематических и силовых граничных условий вдоль линий мысленных разрезов тела на конечные элементы.

Можно добиться некоторого уточнения матрицы жесткости, если увеличить число варьируемых параметров в формулах (26.6) с тем, чтобы приближенно удовлетворить условиям сплошности внутри элемента и условиям неразрывности перемещений вдоль линий стыкования смежных элементов. При этом выражение (26.1) должно быть выбрано таким образом, чтобы уравнения равновесия внутри объема элемента тождественно удовлетворялись.

Проиллюстрируем изложенный подход примером получения матрицы жесткости [/С] для прямоугольного элемента (рис. IV.4).

Зададимся выражениями для компонентов напряжения в виде

	(27.1)
или	(27.2)
[ст] = [А] {а}.	(27.2)

Естественно выбрать такой закон перемещений вдоль контура конечного элемента, который приводил бы к удовлетворению кине матических граничных условий на контуре конечного элемента:

180

	1
«12 (Х)	1	- ^а	л:
«12 (Х)	1	- ^а	а
«23 (У)		0
«34 (X)		0	0
«41 (г/)	‘ -	• f	0
	‘ -	• f
«12 (*)		0	0
«23 (X)		0	0
«34 W		0	0
«41( У)			0
«41( У)

0	0	0	о	:	0
У	0	0	0		0
ь

X	1 - - ^	0	0		0

аа

0	У	0	0	0
	ь
0	0	1 - 2 L	-V	0
		а	а
0	0	0		У
				ь
0	0	0	0	X
0	0	0	0	а
				а
0	0	0	0	0

0	«1
0	«г
0
0
	(27.3
0
0	V 2
1 - ^ а-	'3
У
ь

■

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3518 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ