книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

Все основные операции могут быть выполнены за три шага по уравнениям (23.1) и (23.2).

Ш а г 1. Нахождение треугольной ленточной матрицы [G], так чтобы произведение ее на транспонированную матрицу [G1T

дало исходную матрицу коэффициентов [/(]. Переписав снова уравнение (23.2), получим

Для примера возьмем ленточную симметричную матрицу [/(] порядка 5x5 и Я = 3, тогда подробная запись уравнения (23.4) будет иметь следующий вид:

Элементы матрицы [G1т определяются построчно (используется правило умножения двух матриц) слева направо в следующем порядке:

а) находится главный элемент Gll первой строки:

б) определяются побочные элементы первой строки:

в) вычисляются диагональные элементы [G](7 при £ > 1 как корни квадратные из разности соответствующих диагональных эле­ ментов ku и суммы квадратов всех заранее вычисленных элементов [G], стоящих выше в столбце над этим диагональным элементом:

Если на этом этапе подкоренное выражение получается отрица­ тельным, то это значит, что исходная матрица вырожденная. Следует отметить, что отрицательное число в формуле (23.8) может быть следствием неустойчивости конструкции в целом.

Вырожденная или отрицательно-определенная матрица может быть также следствием неправильного выбора расчетной схемы кон­

150

в) одномерным массивом длиной (В—1) для преобразования эл ментов столбца правых частей по уравнению (23.10).

Эти три массива занимают (В3 + В — 1)/2 ячеек памяти, тогда как решение системы уравнений по методу Гаусса в описанном выше варианте требует сохранения (В -f- 1) X (В — 1) = (В3— 1) ячеек памяти ЭВМ, т. е. почти в два раза больше, чем в варианте метода Халецкого.

Ниже приводится Алгол-программа решения системы алгебраи­ ческих уравнений для ленточной симметричной матрицы по методу Халецкого с автоматической разбивкой на части.

О б о з н а ч е н и я

N — общее количество неизвестных; В — ширина ленты;

Р— количество столбцов нагрузочных членов системы уравнений;

А— начало на магнитной ленте для записи (чтения) очередной порции коэффи­

циентов системы;

div — стандартная процедура целочисленного деления;

tape —■стандартная процедура записи на маг­ нитную ленту;

input — стандартная процедура ввода числовой информации с перфоленты.

152

Band Matrix Solution by the Cholesski Method

begin integer N, В, P, B\, 52, 53, GP, F, KP, T, R, N4, I, S, A, Al;

input (1, N, B, P); Al : = 33408 + N X P; B\ : = В — Y, B2 : =

_Q _ 2*

153

£2 : end Конец обратного хода

end Конец программы;

154

§ 24

Ошибки округления и итерационное уточнение решения системы уравнений

Несмотря на то что ошибки округления в методе исключения по Гауссу для хорошо масштабированной матрицы очень малы [79, 85], иногда возникает необходимость получить более высокую точность, оценить погрешность и, если потребуется, уточнить полученное решение.

Представление об ошибках округления необходимо потому, что мы будем иметь дело с числом уравнений, превышающим 1000. При этом число операций над числами с плавающей запятой (число сложений, вычитаний, умножений и делений) измеряется уже десят­ ками и сотнями миллионов.

Разрядная сетка для размещения чисел в машине ограничена. Поэтому в каждой элементарной арифметической операции про­ исходит ошибка при округлении.

Вместе с тем важно отметить, что ошибки округления получаются с разными знаками. В силу этого нельзя утверждать, что скорость накопления ошибок округления с увеличением числа уравнений имеет постоянную тенденцию к пропорциональному возрастанию. Однако ясно и то, что при больших системах уравнений эти ошибки могут накапливаться. Поэтому их анализ является чрезвычайно важной задачей.

Поскольку эти вопросы достаточно сложны, мы ограничимся некоторыми важными частными случаями, в какой-то мере проливаю­ щими свет на поставленные вопросы.

Прежде всего укажем, что используемый в расчетах упругих систем метод конечных элементов при правильной нумерации узлов всегда дает симметричную ленточную матрицу коэффициентов. При этом матрица является положительно-определенной, невы­ рожденной и в большинстве случаев хорошо обусловленной, а си­

чение решения системы уравнений, становится очевидным, что если матрица системы уравнений имеет хотя бы одно собственное значение, равное нулю, то система не имеет решения. Практически огромные трудности возникают и в том случае, если хотя бы одно собственное значение матрицы оказывается очень малым. При этом система урав­ нений будет иметь неустойчивое решение, или, как говорят, окажется плохо обусловленной. Для плохо обусловленных матриц ошибки округления при исключении по Гауссу иногда могут дать совершенно неправильный результат.

В работе Уилкинсона [79] показано, что при выборе главного элемента максимальным по абсолютной величине в столбце матрицы ошибки округления резко уменьшаются.

Однако при перестановке столбцов нарушается симметрия мат­ рицы. Для сохранения симметрии требуется одновременно пере-

155

ставлять и строки, а эта операция занимает много машинного вре­ мени. В этой же работе Уилкинсон доказал, что если матрица сим­ метрична и положительно определена, то перестановки можно опу­ стить бе§ серьезного увеличения ошибок округления.

хорошо обусловленной по отношению к задаче решения системы уравнений, если же (cond [Л ]) относительно велико, то матрица [Л ] является плохо обусловленной по отношению к той же задаче.

Для некоторых матриц можно судить о их плохой обусловленности

ное значение матрицы [Л ]. Однако, с учетом того, что число обусло­ вленности матрицы [Л] (cond [Л]) = Я,„А1) может случиться, что матрица [Л] хорошо обусловлена, хотя ее определитель мал.

Получение чисел обусловленности — весьма трудоемкая задача из-за громадного числа арифметических операций и для больших матриц практически невыполнимо. Для матриц с относительно малым порядком был произведен анализ чисел обусловленности, показав­ ший, что метод конечных элементов дает, как правило, хорошо обусловленные матрицы.

Говоря об ошибках округления при решении системы уравнений по Гауссу, мы зададимся целью не столько найти верхнюю границу возможной ошибки округления (это также сложная задача; к реше­

вила для организации вычислений в машине, которые свели бы эту ошибку к минимуму.

Одной из наиболее общих операций с матрицами является на­ копление суммы произведений, т. е. скалярного произведения двух

П

векторов типа 2 {а,}т \ Ь{]. При перемножении двух матриц эту

операцию требуется производить /г2 раз. Значительное уменьшение ошибок округления может быть достигнуто за счет увеличения раз­ рядкой сетки ячейки.

При обычном анализе округлений умножение в системе с плаваю­

Однако тут возникает трудность такого характера, что умножение'- с плавающей запятой не является ассоциативной операцией. Более того, сложение и вычитание в системе с плавающей запятой «(а + Ь)у> и «(а — Ь)» не ассоциативны. При этом закон дистрибутивности также не выполняется. Поэтому обычный анализ округлений в данном

-156

случае не может быть использован и требуется построить очень слож­ ный анализ округлений, предложенный в [79].

При исключении по Гауссу ошибки округления уменьшаются, если каждый раз проводить перестановку строк и столбцов с тем, чтобы деление происходило на элемент с наибольшим абсолютным значением. Однако это значительно усложняет программу и увели­ чивает время счета. Кроме того, метод конечных элементов дает, как правило, такую систему уравнений, в которой на главной диа­ гонали стоят наибольшие по абсолютному значению коэффициенты.

Отметим еще такую деталь. Так как система уравнений у нас сим­ метричная, то при прямом ходе используется только симметричная часть ленты и промежуточные коэффициенты для экономии ячеек памяти не сохраняются. Например, для матрицы 3-го порядка новый

коэффициент а33, переработанный прямым ходом, вычисляется так'-

«33 = «33 (« 1 3 /« 1 1 + « 2 з /« 2 2 ) ‘

Как было сказано, диагональные коэффициенты агХт 2 2 &33

^ " *

большйе по абсолютной величине, поэтому важно в данном случае сначала выполнить деление, а затем умножение в последовательности

( « 1 з / « 1 1 « 1 3 ~f~ « 2 3 ^ « 2 2 « 2 з )>

что, во-первых, исключит переполнение разрядной сетки при выпол­ нении операции «(а13 X а13)» в случае очень больших значений типа (EJ), а во-вторых, уменьшит ошибку округления.

То же самое относится к процедуре над числами с плавающей запятой при обратном ходе.

Избежать вообще накопления погрешностей, к сожалению, не удается. Однако можно, пользуясь итерационными методами, уточ­ нить решение, полученное методом исключения по Гауссу. Решение при этом из-за погрешностей округления получается приближенным.

С другой стороны, итерационный метод может дать любую наперед заданную точность решения.

Вследствие этого вектор неизвестных, найденный с какой-то погрешностью методом исключения по Гауссу и принятый в качестве нулевого приближения, последующими итерациями может быть

которую принимаем за новую правую часть для отыскания вектора

157

Итерация продолжается до тех пор, пока элементы столбца {6(А:)} не станут меньше наперед заданного малого значения е. Окончатель­ ное решение имеет вид

W = {*(0)} + jj{ A * <o}.

При этом важно, чтобы вычисление невязок {&(Л>} выполнялось с бо­ лее высокой точностью, чем остальные операции.

Если рассмотреть норму ошибки || e j , то она на основании не­ равенства Коши—-Шварца—Буняковского выражается следующим неравенством:

l k J < I U - 1l ||6(0)||,

откуда видно, что ошибка округления будет уменьшаться с умень­ шением нормы I Ь(0) ||, так как норма || Л- 11| постоянна.

Это обстоятельство указывает на то, чтобы вектор невязки (6(0))

вычислялся более точно, чем {*(0)}, например с двойной точностью, ибо при вычислениях с плавающей запятой с обычной точностью

точность {6(0)} будет потеряна в случае вычитания чисел и получе­

ния малых разностей типа [6(ft)| —[Л] что существенно влияет на скорость сходимости итерационного уточнения решения. 1 Наконец, остановимся на особенностях вычисления определителя при вычислениях с плавающей запятой.

Необходимость вычисления определителя возникает довольно часто, например при решении задач динамики, устойчивости и дру­ гих.

Существует одна довольно неожиданная проблема, связанная с невозможностью получения произведения из п чисел из-за вероят­ ности переполнения разрядной сетки или появления машинного

(конечно, имеется возможность эти коэффициенты масштабировать),

анаибольшее число в машине «Минск-22» имеет порядок —1019.

Сувеличением номера i порядок коэффициентов ип заметно-'ени- жается, поэтому ясно, что во избежании переполнения следует

158