книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

5. Решение системы алгебраических уравнений. Как уже было

сказано выше, с помощью определенной нумерации узлов эле­ ментов можно получать матрицы специальной ленточной структуры. При этом на первый план выступает не число совместно решаемых уравнений (хотя и оно существенно), а ширина ленты (имеется в виду только симметричная ее часть).

Важнейшей особенностью ленточной структуры матриц является то, что при решении системы уравнений в оперативной памяти может храниться не вся матрица коэффициентов, а только ее часть. Тем са­ мым число уравнений, решаемых совместно на машинах с той же опе­ ративной памятью, может быть увеличено до 5000—8000. Более того, имеющиеся программы позволяют решать системы с еще большим чис­ лом уравнений; главным ограничением является накопление ошибок от округления при числе уравнений более нескольких тысяч. В опи­ сываемом варианте программы [11] для решения систем линейных алгебраических уравнений принят метод исключения Гаусса в про­ стейшей форме (другой вариант использует схему Халецкого). Как показано в работе [77], метод Гаусса обеспечивает хорошую точность при сравнительно малых затратах машинного времени.

Количественные ограничения для всей программы в целом зави­ сят в большой мере от ограничений, накладываемых на программу решения системы; основные ограничения для программы решения системы уравнений следующие:

1. Максимальная ширина ленты Н = 60 (по схеме Гаусса) и Н — 115 (по схеме Халецкого).

2. Максимальный порядок системы зависит от ширины ленты и от длины магнитной ленты в одном ленто-протяжном механизме. При максимальной длине магнитной ленты в одном ленто-протяжном механизме (на 63 зоны) получим

Использование других «магнитофонов» практически снимает огра­

строк в зонах зависит от ширины ленты и размера массива, отведен­ ного в МОЗУ для расположения элементов системы уравнений.

Особенности решения систем линейных алгебраических уравнений ленточного типа описаны в § 23—24 этой главы.

6. Вычисление внутренних узловых усилий (напряжений). В ре

зультате решения системы уравнений будут получены обобщенные

119

перемещения (углы поворотов и линейные смещения), которые свя­ заны с внутренними узловыми усилиями в общем случае соотношением

где {R}1— вектор узловых внутренних усилий /-го элемента; [/Л* —

В случае двухмерных и объемных элементов с помощью матрицы напряжений желательно сразу находить напряжения в элементах пластинки или оболочки.

Получить усилия по уравнению (19.1) легко с помощью матрицы индексов. Элементы матрицы индексов указывают, какие перемеще­ ния нужно выбрать из общего вектора обобщенных перемещений и перемножить на соответствующую матрицу усилий для элемента.

Таким образом, применение метода конечных элементов в сочета­ нии с матрицей индексов позволяет решать самые разнообразные за­ дачи строительной механики и теории упругости при произвольных граничных условиях. Существенным является универсальность та­ кого подхода в сочетании с простотой алгоритма, что позволяет решать системы произвольного вида при минимальной затрате машинного времени, малый объем исходных данных и простота комплексной авто­ матизации всего хода решения задач.

7. Подготовка исходной информации. Исходная информация для

программы по МКЭ 111] независимо от типа конструкции включает

(напряжений), если все результаты не могут быть размещены в опе­ ративной памяти ЭВМ. Для большинства задач эта матрица форми­ руется автоматически внутри ЭВМ.

Порядок и примеры по подготовке исходной информации опи­ саны в работе [11], поэтому мы их здесь не повторяем. Отметим лишь некоторые характерные особенности:

1)исходная информация мала по объему и задается в естествен­ ном и привычном для инженера виде;

2)параметры повторяющихся элементов не задаются, указы­ вается лишь, что все эти величины уже описаны ранее;

3)чем больше элементов в конструкции с различными параме­

трами (чем сложнее конструкция), тем больший объем занимает исходная информация, и наоборот;

120

Таблица 111.4

Блок-схема программы МКЭ

121

И

В таблице римскими цифрами обозначены следующие укруп- 1енные блоки:

/ — блок ввода, печати, хранения и переработки исходной инфор­ мации; I I — блок формирования системы алгебраических уравне­ ний для всей конструкции; I I I — блок решения системы уравнений; IV ■— блок вычисления внутренних усилий (напряжений); V — блок печати результатов расчета.

§ 20

Использование матрицы индексов для автоматического формирования системы уравнений и проблема получения ленты минимальной ширины

Известно, что коэффициенты системы уравнений метода конечных элементов в форме метода перемещений представляют собой сумму реакций в рассматриваемом узле по направлению соответствующего неизвестного. Суммируемые реакции представляют собой коэффи­ циенты соответствующих матриц жесткостей для отдельных эле­ ментов.

Каждый коэффициент в матрице жесткости для конечного эле­ мента IК ]/ находится на пересечении i-й строки и /-го столбца. Число строк равно числу столбцов и равно порядку этой матрицы г.

Соответственно, каждый коэффициент общей матрицы жесткости [К] находится на пересечении s-й строки и l-то столбца. В общем случае порядок общей матрицы жесткости равен п X п, где п — общее число неизвестных узловых перемещений.

Задача формирования общей матрицы жесткости для конструкции в описанных обозначениях может быть сформулирована таким образом:

а) требуется найти значения индексов (адреса) i и / в каждой

щих суммированию и их просуммировать;

в) найти соответствие между индексами i и /, с одной стороны, и индексами s и /, с другой стороны.

Тем самым найдется место в матрице жесткости всей конструкции, куда и должна быть послана полученная сумма, т. е. коэффициент общей системы уравнений для определения основных неизвестных.

Иначе говоря, требуется сопоставлять обобщенные перемещения с перемещениями для конечного элемента.

Для того чтобы иметь возможность проводить такое сопоставле­ ние в машине, требуется информация о топологии конструкции, о взаимосвязи ее элементов, о кинематических граничных и внутриконтурных условиях задачи, причем вся эта информация должна быть строго формализована. Именно такую информацию о кон­ струкции в полном объеме несет матрица индексов [Г].

Еще раз вернемся к построению матрицы индексов и на простом примере (рис. III, 7, а) детально проследим формирование системы уравнений с помощью этой матрицы.

124

Заданная конструкция расчленяется на дискретные элементы (рис. III.7, б), для которых получены соответствующие матрицы жесткости (рис. III.7, в). В узлах вводятся неизвестные узловые перемещения. Далее, из отдельных дискретных элементов собирается заданная основная система (идеализированная схема конструкции).

Выбор в качестве основных неизвестных перемещений и углов поворота узлов приводит к тождественному удовлетворению условий неразрывности конструкций в узловых точках (римские цифры на рис. III.7, д). Ряд неизвестных (1, 2, 3, 11 и Ш) определяются кинематическими условиями закрепления соответствующих узлов

125

ииз числа неизвестных должны быть исключены. Затем произво­ дится перенумерация основных неизвестных и нумерация элементов

впроизвольном порядке (цифры в кружках на рис. III.7, д). На ос­ новании этой нумерации составляется таблица соответствий начала

иконца элементов (рис. II 1.7, е). Далее на основании этой таблицы

в)

Как видно, матрица индексов представляет собой построчную последовательность неизвестных, характеризующих каждый эле­ мент конструкции. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 выше двойной черты — суть индексы i и /. Числовая последовательность матрицы индек­ сов — суть индексы s и I.

Получение матрицы индексов, показано на рис. III.7 столь

матизации формирования матрицы индексов для произвольной кон­ струкции). В действительности же матрица индексов строится сразу в один прием, как это показано на рис. II 1.8.

Задача автоматического формирования общей матрицы жесткости для всей конструкции с помощью матрицы индексов решается следующим образом. Анализируются строки матрицы индексов. Для первого элемента из этой матрицы выбирается первое число (нули пропускаются); номер этого числа есть индекс s (для рис. III.7

126

возможны следующие значения s = 1, 2, . . ., б). Далее для этой же строки снова выбирается первое число; номер этого числа есть индекс I (I — 1, 2, . . ., б). При каком-то фиксированном значении индекса s, индекс I пробегает все значения, которые встретятся в пер­ вой строке {I = 1, 2, 3, 4, 5, б). Таким образом отыскиваются места в общей матрице жесткости.

Каждому индексу s и I ставятся в соответствие значения индек­ сов i и По значениям i и j отыскиваются необходимые коэффициенты из матриц жесткостей для отдельных элементов, которые затем пере­ сылаются на определенные места поля, заранее подготовленного под матрицу [/С], где и суммируются с ранее найденными.

На рис. III.9 показана процедура формирования элемента k-(r> общей матрицы жесткости для балки-стенки. Как видно из рисунка, для формирования этого коэффициента надо просуммировать четыре различных коэффициента, найденных из матриц жесткостей для конечных элементов.

С помощью строк индексов, также показанных на рисунке,

где цифрами сверху указан номер элемента, из матрицы жесткости которого берутся соответствующие коэффициенты. При этом индексы имеют следующие значения:

s = 7; I = 7;

Перебирая таким образом все строки матрицы индексов, машина формирует всю систему уравнений. Следует заметить, что эти коэф­ фициенты получаются не последовательно один за другим и даже не сразу в одной строке общей матрицы жесткости. Здесь все зависит от числовой последовательности в матрице индексов. Так, например, проанализировав первую строку матрицы индексов (рис. III.8), машина сформирует частично коэффициенты общей матрицы жест­ кости к1л\ k2t2\ /г5,б; &6G; &7 7; &8>8; &12; &17; khB и полностью коэф­ фициенты klb; kie.

Ниже описан основной блок процедуры автоматического формиро­ вания общей матрицы жесткости для всей конструкции на языке

«Алгол-60»

Об о з н а ч е н и я

Т[I : М, 1 : R] — двухмерный массив матрицы индексов; MGE [I : R, I : /?] — двухмерный массив матрицы жесткости для

конечного элемента;

MGK [1 : N X Н] — одномерный массив общей матрицы жест­ кости для всей конструкции;

М — общее число элементов в конструкции; N — общее число неизвестных в системе;

127

© й >

3*1

2

л

$ I Jiff \ п в \и \О Ш ПСтрока индексов

Рис. III.9. Процедура формирования элемента /г7,7 общей матрицы жесткости для балки-стенки.

не описана. Обычно для конкретного транслятора она является стандартной процедурой.