книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

Здесь

где Ш ']( — матрица масс /-го конечного элемента в общей системе координат, а структура [Н] аналогична (4.9а).

При рассмотрении свободных колебаний

!?(/)} = О, {?(/)} = 1?) sin Я/,

и уравнение (16.11) перепишется в виде

Приравняв определитель системы (16.14) к нулю, получим уравние для определения частот свободных колебаний X:

Для определения значений Xt (i = 1 , 2 , . . . , п) из уравнения (16.15) может быть рекомендован один из наиболее эффективных приемов, изложенных ниже (см. § 41).

3.Подстановка в формулы (16.5) аппроксимирующих полином

( ш + т О - ( а + г а " ) “ ( - П б - Н “г

Для учета инерции вращения выражение для кинетической энер­ гии элемента стержня (16.2) следует дополнить членом, Учитываю­ щим эту поправку:

а

l ‘v 'i (x )Y dx>

где / вр ■— момент инерции массы стержня.

100

Тогда матрица масс для инерции вращения с учетом сдвига прини­ мает такой вид (продольные колебания не учитываются):

Симметрично

4. Для учета жесткости упругого основания матрицу жесткос конечного элемента [/С3 следует дополнить матрицей жесткости упругого основания [С], элементы которой определяются зависи­ мостью

Например, матрица жесткости для элемента, лежащего на упру­

—

(16.19)

101

Для иллюстрации точности получаемых решений приведем не­ сколько числовых примеров с использованием полученных выше матриц масс.

Рис. 11.34. Конечный эле­ мент балки на упругом основании при изгибе.

Для учета переменной массы т (х) разобьем всю длину балки на четыре участка,

и в пределах каждого участка будем считать массу постоянной и равной соответствую­ щему среднему значению.

А

fj

Рис. 11.35. Колебания балки на двух опорах с массой, распределенной

Результаты расчета представлены в таблII.7.

Таблица П.7

Результаты расчета свободно опертой балки с массой, распределенной по закону треугольника

я1 '] T l L

102

Как видно, применение матрицы масс по уравнению (16.6) дает в Данном случае весьма высокую точность.

Пример 2. С помощью полученной выше матрицы масс (16.7) найдем первые три собственные частоты продольных колебаний для консоли постоянного сечения с равномерно распределенной массой (рис. 11.36).

в)

L

Л

Рис. 11.36. К определению свободных частот продольных колебаний для консоли (а); расчетная схема по МК.Э (б).

Разбиваем стержень на три участка и, используя МКЭ, составляем уравнения типа (16.5). Корни определителя этой системы уравнений оказываются равными

E F ,

Кг = 1,589 ~ ~^/Г-т ’

EF

Рис. 11.38. Расчетная схема рамы при последовательном уточнении частот свободных колебаний.

Первое приближение соответствует первоначальной расчетной схеме (рис. 11.38, а); количество узловых расчетных точек — 2, количество неизвестных —3

(продольные деформации не учитываются, поэтому верхние узловые точки будут перемещаться на одну и ту же величину q3). Второе приближение (рис. 11.38, 6)

характеризуется тремя узловыми точками и пятью неизвестными. Третье и четвертое

103

приближения имеют соответственно 4 узла и 7 неизвестных и 5 узлов и 9 неизвестных

(рис. 11.38, в, г).

Для первого приближения равенство нулю определителя системы уравнении

(16.15) дает

| К — Х.аМ | = О,

где

§ 17

Устойчивость стержневых систем

Запишем выражение для потенциальной энергии при изгибе приз­ матического элемента стержня с учетом влияния осевой сжимающей силы Т:

104

— элементы матрицы жесткости [/<1элемента стержня при его работе на изгиб [см. выражение (10.12)];

— элементы новой матрицы [5], которую в дальнейшем будем назы­ вать матрицей устойчивости [86]:

6

После введения в рассмотрение вектора узловых перемещений элемента стержня \q\ = \q1<72<73<74[ и с учетом содержания матрицы жесткости [К\ и матрицы устойчивости [S], нетрудно переписать выражение (17.2) для потенциальной энергии элемента стержня в сле­ дующей комплексной форме

Отсюда связь между узловыми усилиями элемента стержня {7?} и его узловыми перемещениями {<7} запишется в виде

Заметим, что как в векторе узловых перемещений, так и в векторе уз­ ловых усилий нумерация отдельных элементов и их положительные направления соответствуют приведенным на рис. II.4.

105

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЦВМ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В этой главе будут описаны основные проблемы использования электронных вычислительных машин (ЭВМ) при решении задач строи­ тельной механики и теории упругости по методу конечных элементов.

Специфика электронных вычислительных машин, связанная, с од­ ной стороны, с большими скоростями, а с другой,— с ограниченной оперативной памятью, накладывает определенные условия на методы и алгоритмы для анализа упругих систем.

Метод конечных элементов в данном случае заслуживает большого внимания, и прежде всего в силу своей универсальности. Кроме того, этот метод удовлетворяет специфике ЭВМ, связанной с дискретностью счета.

§ 18

Некоторые основные проблемы, связанные с машинным счетом задач строительной механики

Одной из важнейших задач, возникающих при расчете конструк­ ций по методу конечных элементов на ЭВМ, является проблема авто­ матического формирования в машине коэффициентов системы алгеб­ раических уравнений для всей конструкции. Без решения этой про­ блемы немыслимо решение задач по МКЭ с помощью ЭВМ.

Действительно, идеализированная схема конструкции состоит из большого числа конечных элементов, соединенных в узлах связями. Число неизвестных в узле, в зависимости от класса решаемой задачи, равно от одного до шести или более. Поэтому общее число неизвест­ ных становится достаточно большим (от нескольких сотен до несколь­ ких тысяч уравнений). При этом число коэффициентов общей системы уравнений, в зависимости от ширины ленты, будет порядка 105—107.

Отсюда ясно, что формирование общей матрицы жесткости должно быть автоматизировано. При этом весьма существенен способ автома­ тизации, так как от него зависят вид, сложность и объем исходной информации, а также затраты машинного времени, т. е. все те усло­

вия, которые являются основными критериями эффективности ис­ пользования ЭВМ.

107

тривиальной. Действительно, при ручном счете инженер не задумы­ вается над проблемой формализации идеализированной схемы кон­ струкции, так как перед ним имеется чертеж основной системы с про­ нумерованными узлами, элементами и неизвестными в узлах. Он не старается формализовать топологию конструкции, смоделировать связь одного элемента с другим, описать влияние одного неизвест­ ного на другое, а также граничные условия задачи. Это инженеру не требуется, так как чертеж основной системы снимает все эти вопросы.

Другое дело, когда задача считается на ЭВМ.

Мы не можем зафиксировать в памяти машины (как это мы делаем на листе бумаги) основную систему конструкции *, а обойтись без нее или хотя бы без минимально необходимой информации о ней мы также пока не можем. Поэтому встает вопрос о моделировании основ­ ной системы конструкции. Эта проблема достаточно сложна и может быть математически решена с помощью теории графов.

В литературе описан целый ряд приемов для автоматического фор­ мирования системы уравнений. В работе [62] используется способ специально закодированных координатных линий, которые образуют сетку. Конструкция проектируется на эту сетку, и с помощью коор­ динат узлов сетки описывается основная система. Основным недостат­ ком этого способа является сложность, трудоемкость и большой объем исходной информации. В работе [72] используется прием непосред­ ственного суммирования коэффициентов для отдельных элементов, однако эти коэффициенты предварительно должны быть в общем слу­ чае подсчитаны вручную и только для частных случаев (например, для несмещающихся рам) задача решается автоматически.

В целом ряде работ [24, 49, 81 ] используется сеточно-топологи­ ческая формулировка решения задачи на основе теории графов. Это направление является достаточно перспективным, так как кроме решения основной задачи оно позволяет получить оптимальный граф конструкции для получения ленты минимальной ширины.

К этому направлению непосредственно примыкает математиче­ ская теория электрических сетей [73, 139], использующая аналогию между расчетом электрических сетей и распределением потока напря­ жений в упругих системах.

Недостатками этих приемов являются необходимость предвари­ тельного отыскания графа конструкций и построение матрицы инциденций.

Наиболее распространенным способом формирования общей ма­ трицы жесткости для конструкции является способ Дж. Аргироса [5 ], привлекающий своей простотой. Искомая матрица жесткости

* В последнее время в печати появились сообщения о возможности ввода гра­ фической информации в машину с помощью специального «карандаша» на фото­ экране. Однако до возможности его практического использования еще достаточно далеко.

108