книги из ГПНТБ / Петров В.В. Приборные сервомеханизмы летательных аппаратов. Динамика сервомеханизмов при наличии сухого трения и запаздывания

можно получить уравнения движения системы в безраз­ мерных величинах

2.Система со скоростной обратной связью (см. рис.

3.1,6). При свободных колебаниях уравнения движения системы

(7’^ + /?/7)<р=-АФ,(І); о= /СішД^ + ^ . (3.42)

С учетом уравнения (3. 23)

АГп|<р— signaj-|-P«p при а^О ;

(3 .4 3 )

50

После введения новых переменных (3. 38) и (3. 39) с учетом (3.40) и (3.41) уравнения движения в безраз­ мерных величинах имеют вид

Фт(а) определяется уравнением (3.35).

3. Система со скоростной и жесткой внутренними об­ ратными связями (см. рис. 3.1,б). При свободных коле­ баниях уравнения движения:

(7 Ѵ -)-/? /7 )< р = — £Ф т (а); I

(3.45)

° —^IT.MÄ^ + P'P + YO.C?. і

где Фт (а) определяется уравнением (3.35). С учетом уравнения (3. 23):

(Тp2J[-R.p)y— — Йф (а);

- ( ЛГ^ср— ^-signaj-fß<p + Y0.c<Pпри â^ O ;

(3.46)

где ф — значение входной координаты, соответствующее моменту обращения скорости в нуль.

51

После введения переменных (3. 38) и (3. 39) с учетом (3.40) и (3.41) уравнения в безразмерных величинах имеют вид

X -(-л— ■— Фх (з);

X — ^-signa-)-ßrrv'-|-Yx при а ^ О ,

4. Система с нелинейными обратными связями (см. рис. 3.1, г, д). При свободных колебаниях система с не­ линейной внешней обратной связью имеет уравнения движения:

где X определяется из (3. 46), а Фт (о) — из (3. 35).

3.2. ВСЕВОЗМОЖНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМ.

ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ НА ТОЧНОСТЬ

Для исследования движения систем используется ме­ тод точечных преобразований. Движения исследуются без учета и с учетом запаздывания [12—16].

52

1. Динамика систем с жесткой обратной связью (рис. 3. 1)

Уравнение движения при свободных колебаниях в безразмерных величинах описывается уравнением (3. 41).

Рассмотрим случай, когда запаздывание не учиты­

вается. Прит = 0 Фт(о) = Ф(о). Будем рассматривать фа­ зовую плоскость в координатах х, у=х . Фазовая пло­ скость является двухмерной, симметричной относительно начала координат, с наложениями листов друг на друга. Сибтема (3.41) распадается на три линейных уравне­ ния, последовательно сменяющих друг друга:

Фазовая поверхность распадается на три листа, на каждом из которых справедливо одно из уравнений (3.50) с соответствующим

номером (/, II или III). Границы листов

[ L i)

(рис. 3. 6).

Могут быть различные случаи расположения листов в зависимости от величины сухого трения е и зоны не­ чувствительности а. При наиболее общем случае, когда

53

ектории. Границы листов, которыми служат линии пере­ ключения Li4-L/„ полностью определяются нелинейной функцией и структурой ее аргумента а. Вид линейной части уравнений (3.50) не влияет на границы листов.

Уравнение (3. 50) можно записать в виде

(3. 52)

dx

dt = У-

Тогда дифференциальное уравнение интегральных кри­ вых будет

Разделение переменных и интегрирование дает уравне­ ние фазовых траекторий на листах

-ко= — ° + - ~ ;

(3. 56)

Уо-

Фазовая траектория листа /, записываемой уравне­ нием (3. 55), проходящая через эту точку, пересечет пря­ мую Li при

54

Для определения функций соответствия преобразова­ ния Е+ необходимо найти связь между у і и у0 (см. рис. 3. 6 ):

Х і= — (Уі—Уо) + хо = —(i/i-^ /o )-° + Y ==a+ T ’

отсюда

Найдем далее S- . Из точки В(хь г/() фазовая траек­ тория идет по листу II и пересекает L3 в точке

С {х2, у2) :

(см. рис. 3 .9,а). Диапазон изменения и от и=Ь до и —1,

ѵ= —г/2 (о = —Уі), так как при Уо>0 через одно преоб­ разование E+S- получаем г/2 < 0), а по оси ординат —

Л ('о)= ( 1 — ѵ) е1';

(3.6 3)

F ,(a )= (l- 6 - fa ) е-к+с

55

Для определения возможного вида и взаиморасполо­ жения Fi(v) и F2(u) найдем их первые и вторые произ­ водные:

ция Fі(о)=0, а при V— »— оо функция Fi(v) может быть

то, очевидно, в соседней с ней точке пересечения выпол­ нялось бы неравенство

Очевидно, это неравенство справедливо в том слу­ чае, если

е2“—е2а-е< 0 ;

56

Следовательно, возможны две точки пересечения Fі(и) и F2(u). При ограничивающем условии и<.Ь изо­ бражающая точка движется в положение равновесия, поэтому в системе возможен только один устойчивый

предельный цикл. При других соотношениях сг и

ся и в системе также возможен один устойчивый пре­ дельный цикл. Поэтому, если потребовать, чтобы ампли­ туда возможных колебаний в системе была равна уа—Ь и найти соотношение параметров, при котором это ра­ венство выполняется, то можно определить единствен­ ное бифуркационное соотношение параметров, являю­ щееся критическим. Для его определения в уравнении (3.62) необходимо положить и= ѵ= Ь После преобразо­ ваний получим уравнение

В случае когда запаздывание учитывается, в качест­ ве координат фазовой поверхности как и в случае без учета запаздывания, координатами будут х, у= х . Пове­ дение системы рассматривается с помощью мңоголистных фазовых поверхностей. Наложение листов опреде­ ляется величиной сухого трения е в чувствительном эле­ менте, а также величиной запаздывания х в переключе-

57

МММ Фт(а). Предполагается, что при /^ 0 система нахо­

дилась в положении равновесия и, следовательно,

Движения в системе удобно рассматривать по отрезкам

фт(а)=0. Для рассматриваемого отрезка времени урав­

на фазовую поверхность (см. рис. 3.7), которую можно рассматривать как трехлистную с наложениями листов друг на друга и с областью переключений реле для осо­ бых начальных условий. Для определения уравнений

58

фазовых траекторий выражения (3.41) записываются в виде

^=0; x = x0-, у=Уо дает уравнение фазовых траекторий

Фазовыми траекториями на листах II и III (как и в случае г = 0 ) являются логарифмические кривые, асимп­ тотически приближающиеся к прямым

На листе I фазовые траектории идут согласно урав­

Для отыскания новых линий переключений найдем из

Возьмем начальные условия Хо, у0 на прямой Li и найдем новую границу листа L u . Из уравнения (3.81)

при Фт(з) = 0 следует:

•«х = г/и(1 —е-^) + хи;

(3.82)

Уъ=:=Уо^ "•

59