книги из ГПНТБ / Петров В.В. Приборные сервомеханизмы летательных аппаратов. Динамика сервомеханизмов при наличии сухого трения и запаздывания
.pdfОпределим возможное |
число точек |
пересечения |
|||
F i(v)—av |
и |
F2 {u)=u2— bu — с. |
Так как |
Т'1(0 )= 0 и |
|
F2 {0) — C , |
то |
в точке пересечения |
(рис. 3.27): |
||
|
|
d F i (ѵ) у |
d F 2 |
(и) |
|
|
|
d v |
d u |
|
|
или с учетом значений параметров |
|
||||
|
|
4ß7\ —2т > |
2«. |
(3.260) |
Неравенство (3.260) выполняется при малых значе ниях и (4ß>2r) и не выполняется при больших значе-
Рис. 3 .26 . Взаимное располо- |
Рис. 3. 27. Взаимное расположение |
||
жение кривых точечных пре- |
кривых точечных преобразований , |
||
образований |
системы |
при |
системы при 2ß7i>T и 2ßTi<t |
ß r i > t |
и ßT<T |
|
|
ниях и. Следовательно, возможны две точки пересече
ния кривых. |
Амплитуда |
колебаний определяется из |
|
(3. 259) при и = ѵ —уа: |
|
|
|
|
у2 — у(Ь + а ) + с = 0. |
(3.261) |
|
Отсюда найдем |
|
|
|
. |
У а і , 2 = ~ ^ |
± у Л |
(3.262) |
С учетом значений параметров системы |
|
||
У л |
л ^ Ф і - * ± |
V 4 ^ i - 6 ß 7 > + T2. |
(3.263) |
120
Из уравнения (3.263) следует, что при 2ß7’1> r может быть две точки пересечения Fi(v) и Р2 (и). Условием
существования колебаний является также
4ß7V - 6р7\т + т2 > 0 . |
(3.264) |
При 2рГі<т возможна одна точка пересечения с ампли тудой колебаний
уа= 237\ - %+ V |
- 6ß7\t+ т2 |
(3. 265) |
при выполнении условия (3. 264) и
2ß7\ —X < 1/4р7\2-6 р Г 1т + т2 .
Максимальное значение ординаты г/Прсд траектории, проходящей по границе зоны нечувствительности систе мы со скоростной обратной связью, определяется по уравнению (3.251) для L3 и по уравнению (3.203) фа зовой траектории для листа, где ф(<т) = + 1, при началь
ных условиях л:0==а0-|~ у -; у0 —0:
откуда
Упрел—й — |
. |
(3.266) |
Критическое соотношение параметров определяется из условия
У а — У п р е д
или с учетом значений параметров системы
8а2 (Зс -J-2т2) — с2= 0 , |
(3.267) |
где с= 2р7\т — 2 t2-j-2e0; a = ß7\—т.
Аналогично определяется предельное значение скоро сти г/пред предельного устойчивого цикла, проходящего по
121
границе зоны нечувствительности, для системы с внут ренней обратной связью:
#пред= а — ]/а 2-|-с-|-т2 .
Критическое соотношение параметров можно опреде лить из уравнений (3. 203) и (3. 258):
а - |/ ' а а + с + -Ся= ^ Д + 1// ( 3 . 2 6 7 а )
где
а=2Р7’1; 6= 2(Р7’1- т ) ; с= 2р7’1т.
3.7. ВЛИЯНИЕ НА ДИНАМИКУ ПРИБОРНЫХ СЕРВОМЕХАНИЗМОВ АСИММЕТРИИ ХАРАКТЕРИСТИК СИЛЫ СУХОГО ТРЕНИЯ
ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА
И ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
При возникновении рассогласований на входе при борных следящих систем, построенных по принципу си ловой компенсации, силы сухого трения не постоянны по модулю [12— 16] (при включении правого и левого кон тактов реле). Объясняется это тем, что силы сухого тре ния в шарнире крепления тяг чувствительного элемента (см. 3. 4 и гл. IV) зависят от величины развиваемых чув ствительными элементами усилий, изменяющихся в до вольно широких пределах в зависимости от измеряемых давлений. Пусть при уменьшении сигнала на входе системы срабатывание реле происходило при силе тре ния, равной б2 = 2 £'о — е, а при увеличении сигнала (по
скольку усилие в тягах чувствительных элементов уве личилось)— при ві = 2£о + в.
Уравнение чувствительного элемента для уменьшаю
щегося сигнала |
|
|
а=ср— j-signa; |
а ^ О , |
(3.268) |
для увеличивающегося сигнала |
|
|
<х=<р— sign .a; |
a ^ O . |
(3.268а) |
122
Уравнения линий переключения реле согласно (3.51) и (3. 268)
(Li) |
х — |
Y |
! |
(Z3) |
х = а —^ |
; |
|
(Іг) |
|
|
(3. 269) |
X = - a- J L ; ' |
|||
(Li) |
х = |
— |
■ |
Эти уравнения с учетом значений сил сухого трения ег и еі примут вид
(Z.1) |
X — в |
В 0 |
— |
; |
|
( Ь 2) Х — а — |
£ 0 - | |
— |
; |
||
(L3) |
X = |
—а— Е0 ------------ |
(3. 270) |
||
|
|||||
(Li) |
х = |
— а - \ - Е 0А г — . |
Найдем прямое точечное преобразование линий пере ключения Li в L3 (Li,— yLi— >-L3) и обратное преобразо вание L3 в Li (L3— KL2— KL4), так как фазовый портрет не симметричный.
Преобразование Li в L3:
I |
|1+У а|е-^ = |1 -2 а + е - у 0Іе-®«-2"+2£„, |
(3.271) |
|
или в стандартной форме |
|
|
|
|
1 _ ѵ\ еѵ= 1 1 — bu -\-u\ e~“+% |
(3. 272) |
|
где v = |
— г/2; и = у й\ bu = 2c — E; |
c1 =2a — 2E0. |
|
Обратное преобразование L3 в L4 |
|
||
|
\Уі ~ l|e^ = |y8 + 2a+8 - |
1| е»=+2<г- 2Яо, |
(3. 273) |
или в стандартной форме |
|
|
|
|
\и' — 1| е“'= |— 1 |
— e-°'+c», |
(3.274) |
гдeji' = |
i)i-, ѵ ' = — уг\ b^ = 2o-f-s; c3 = 2 i — 2E0 |
|
123
Диаграммы точечных преобразований приведены на рис. 3. 28. Показано движение изображающей точки и последовательное преломление ее траектории на кривых
Fi (и)— >-Fi(v)— *-Fz(v')— yF2 (u') и так далее.
Области притяжения положений равновесия Ьи и отличны по величине. В системе при переменной силе су
Ft M,F,(u) |
|
хого трения по модулю возни |
|||||
|
кают |
многопетлевые |
движе |
||||
W i m ' ) |
|
||||||
|
ния. Характер |
движения еще |
|||||
|
|
более |
усложняется, |
если |
|||
|
|
учесть |
непостоянство силы су |
||||
|
|
хого трения при каждом пере |
|||||
|
|
ключении реле. |
|
||||
|
|
Условие |
|
существования |
|||
|
|
устойчивых |
колебаний |
(авто |
|||
|
|
колебаний) |
в |
системе |
опреде |
||
|
|
ляется |
из |
предположения, что |
|||
|
|
существует |
одна неподвижная |
||||
|
|
точка |
преобразований |
(3.272) |
|||
|
|
Рис. 3 .28 . Взаимное расположение |
|||||
|
|
кривых |
точечных |
преобразований си |
|||
|
|
стемы при учете |
асимметрии харак |
||||
|
|
теристики |
силы трения |
||||
и (3.274). Равенства и= ѵ= и' = ѵ' дают |
систему уравне |
||||||
ний преобразования Z,4 «в самое себя» |
|
|
|||||
|1 — т)| е1^= [ 1 — Ьи-\-ѵ \ е_г,+<:і; |
|
(3. 275) |
|||||
\ѵ— 11ev= I — 1 -f- #2 t — TI| e-“®+Cs |
|||||||
|
|||||||
Поскольку Ci = |
cz, TO |
|
|
|
|
|
|
/ |
1 — V |
1 — bu + v |
|
|
(3. 276) |
||
------- |
1 - hi + « |
|
|
||||
|
1 — V |
|
|
|
|||
Из (3. 276) следует, что колебания устойчивы при |
|||||||
|
|
Ьъ = Ьк. |
|
|
|
(3.277) |
Так как при смещенной характеристике силы сухого трения ЪіфЬ2, то установившиеся автоколебания в си стеме невозможны. Учет запаздывания при смещенной характеристике сил сухого трения не изменит характера движения, так как функции преобразования (3. 272) и
124
(3. 274) в этом случае имеют такой же вид, как и при отсутствии запаздывания.
При исследовании динамики систем с запаздыванием (см. гл. II и III) его величина при переключении реле принималась постоянной. Однако, поскольку запаздыва ние связано с установлением давления в камере прибо ра (см. 3. 1), которое может изменяться в широких пре делах, и процессы установления при различных началь ных условиях имеют разные постоянные времени, запаздывание в переключении реле не будет постоянной величиной.
Для рассмотрения движения системы с переменным запаздыванием будем считать, что запаздывание п при увеличении сигнала па входе системы отлично от запаз дывания T2 , которое будет иметь место при отработке
сигнала рассогласования обратной связью. Это значит, что при движении изображающей точки на фазовой по верхности со скоростью у > 0 запаздывание ті, а при ско рости у<С0 — запаздывание х%
Уравнения функций точечного преобразования линии
переключения |
«самое в себя», |
полученные из |
(3. 272) и |
||||
(3. 274), имеют вид |
[ 1 — bu-\-v\traiV+c'\ |
|
|||||
|
|1 — г>| eaiW= |
(3. 278) |
|||||
|
ITJ— 1| ea2t,= |
| — 1 4 |
-&2 -C—‘п|е_0аг,+Са, |
||||
|
|
||||||
где u = v = u ' —v'; а1 = |
еТі; a ^ = e x=; |
|
|||||
\ |
2a + eT' — 1 — T! |
, |
|
2a + eT=— 1— T2 |
|||
|
Du — ---------------------- ; |
è o ,= --------------------4 |
|||||
ci = |
2 [3 + e T‘ — 1 — t j — s]; |
c2 = 2 [ a - f e T=— 1 — T2 — s]. |
|||||
Уравнения |
(3. 278) |
можно переписать в виде |
|||||
|
1 — V |
1 — Ьи + V |
|
е —іс ііѴ + Ч а ъ Ѵ + С і— с3) |
(3_ 279) |
||
|
V — 1 |
— 1 + 62т — ѵ |
|||||
|
|
|
|
||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ѵ (ах —я2)—cx-j-c2— ln |
1 -~ьи + ѵ |
(3. 280) |
||||
|
|
|
|
|
|
1 —b2z + v |
|
Уравнения |
(3. 278) |
можно представить в виде |
|||||
|
|
gürtit/ |
1 — |
+ |
и |
' |
|
|
|
X 1 — У |
|
еСі; |
|
||
|
|
|
|
|
(3.281) |
||
|
|
g2айѵ__ |
1 — Й2т - + |
и |
|
||
|
|
|
|
1 — V
125
После преобразования (3.281) имеем |
|
|
|
|
||||
2а-]Ѵ — с 1 |
=1п |
1 - |
ьи + ѵ |
|
|
(3. 282) |
||
Ча^ѵ + с2 |
|
1 — *2т + ѵ |
|
|
|
|
||
Согласно (3.280) и (3.282) зависимость, связываю |
||||||||
щая величины запаздывания, будет следующей: |
|
|
||||||
Аѵ2 + Вѵ + С = 0, |
|
|
(3. 283) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
А —4ахаг— 4а22; В = 2а2с2 —2а2с1 — 2а1с2 -|- 2аа; |
|
|||||||
С = |
схс2 — с22 -j- сѵ |
|
|
|
|
|||
Из (3. 283) следует, что при переменной величине за |
||||||||
паздывания в переключении |
реле возможно установле |
|||||||
F, |
ние |
автоколебаний. |
Одна |
|||||
ко |
в действительности |
ха |
||||||
F2tv'),F2(u') |
рактер |
движений |
может |
|||||
|
быть сложнее (возможность |
|||||||
|
появления |
двух |
и |
более |
||||
|
предельных |
циклов, |
появ |
|||||
|
ление |
сложных |
областей |
|||||
|
|
сил |
сухого |
трения, |
несра |
|||
|
|
батывание |
реле при |
боль |
||||
|
ших |
величинах |
запаздыва |
|||||
|
|
ния, |
если, |
например, |
вы |
|||
|
и;ѵ |
полняется |
условие |
(3.88) |
||||
|
пт. д.). |
|
|
|
|
|
||
/йЛ 1,2 |
и... |
Функции |
последования |
|||||
|
точечных |
преобразований, |
||||||
|
|
если |
|
характеристика |
сил |
|||
|
Рнс. 3.29 . Взаимное расположение |
|||||||
|
кривых точечных |
преобразований |
си |
|||||
|
стемы при учете переменной величины |
|||||||
|
|
|
|
запаздывания |
|
|
сухого трения асимметрична, приведены на рис. 3.28. На диаграмме согласно (3.272) и (3.274) обозначено
^і(и)— ]1~ biz -\-u\ е-"+с>; /г1('ц)= |1— -nie1';
'/ч («')= («'— 1|е“'; ^ 2Ю = | — l+ ta t — ѵ'\е~ѵ'+с*
126
^Параметры системы а= 0,15; е= 0,1; £'0= 0,05;
£іт = 2а— s = 0,2; b2t —2<з-|-е= 0,4;
с = сг= с 2 = 2 а — 2 Е0 = 0 ,2 .
Видно, что при начальном отклонении системы возмож ны многопетлевые движения. При попадании изобража ющей точки в заштрихованные области, образуемые от резками притяжения положения равновесия bit или b2-, движения системы заканчиваются.
Функции последования точечных преобразований для переменного запаздывания в переключении реле приве дены на рис. 3. 29. На диаграмме обозначено
Fx (ѵ) = |
(1 — ѵ) e ^ ; Fx(и)= (1 - bH+ 1 1 |
1c*; |
|
F2{u') = { u ' - |
F%{ v ' ) = \ - v ' [ \ e - ^ v'+cK |
||
Параметры |
системы |
o= 0,l; e = 0 ,l. При y > 0 величина |
запаздывания Xi— 1,6, а при t/o<0 величина запаздыва ния Т 2 = 0 ,7 . Согласно выбранным параметрам системы и
величинам запаздываний |
и тг и (3. 278) имеем |
а1==5; а2 = 2; bi-L= 0,5; |
b2t — 0,25; с1= 2,8; с2= — 1,4. |
Из диаграммы точечных преобразований видно, что колебания имеют место и группируются относительно среднего значения уа ср=0,83.
Расчетным путем согласно (3. 283) при указанных вы ше параметрах определим уа= 0,83.
3. 8. ВЛИЯНИЕ НА ДИНАМИКУ ПРИБОРНЫХ
СЕРВОМЕХАНИЗМОВ СИЛ СУХОГО ТРЕНИЯ
ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ
Уравнения привода приборной следящей системы с учетом сил сухого трения в исполнительном электродви гателе (2.89) — (2. 92) приведены в 2.4 [12—16].
Влияние сил сухого трения исполнительного электро двигателя на динамику системы удобно оценить, если представить систему с коэффициентами, характеризую щими инерционность (Т) и демпфирование (R) перемен ными по модулю, но постоянными для каждого фазового листа фазовой поверхности. Рассматривая уравнение движения в безразмерных (относительных) величинах, можно оценить сдвиги листов фазового портрета, возни кающие при учете сил сухого трения исполнительного
127
электродвигателя, по сравнению со случаем, когда тре ние исполнительного электродвигателя не учитывалось. Фазовые траектории на листах приведены в (3.54).
Значения коэффициентов привода при скорости у > О следующие:
для листа, где Ф(о)= — 1, |
Тх~ —— ; Rx——— ; |
|
|
|
с— Д |
с — Д |
|
для листа, где Ф ( а ) = - ф 1 , |
Т 2 = — ^— ; |
R 2= ------ - |
(3.284) ' |
|
с + Д |
с + Д |
|
для листа, где Ф (а)==О, |
Т0—— ; |
R0 = — , |
|
|
А |
А |
|
где а = Jnra (rKRm+ 2rKRu- f R -R K+ R2J + 2гк/?ш+ R ^ ;
b—CuCe(RKRm-\-rKRM+ R J ^ + R l ) ;
с= С м/?шЯм£/0;
Д= ^с.тр[/-.(гк/?ш+ 2гк/?и+А «) + 2гк/?ш+ а д н].
При скорости движения у <.О коэффициенты привода изменяются следующим образом:
для листа, где Ф(сг) = + 1, Т і и R l ; для листа, где Ф(а) = —1, Т 2 и R 2; для листа, где Ф (а) =0, Т 0 и R 0.
Ha фазовом листе, где Ф (а )= 0 , при у > 0 и у < 0 фа зовые траектории являются логарифмическими кривыми:
д:=1п У -Ь 1 |
— {У-Уо) + х* |
(3. 285) |
До + 1 |
|
|
X — — In |
д - 1 |
— (У — У о ) + х 0. |
(3. 285а) |
||||
|
Да — 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
С |
учетом |
значений |
Т Х> Т \ |
R X> R \ |
Г2< Г ; |
R 2 < R \ |
||
Г о > Г ; |
R o > R \ |
Т 0> Т і , |
R o > R i |
можно |
оценить |
сдвиги |
||
листов (см. рис. 3. 30). |
|
|
|
|
|
|
||
Для системы с учетом сил сухого трения в чувстви |
||||||||
тельном элементе согласно уравнениям |
(3.45) при ß= 0 |
|||||||
сдвиги |
листов |
определятся следующими выражениями: |
и для |
системы без |
учета |
:л сухого трения в чувстви- |
тельном элементе согласно |
>.82) |
||
a |
а е 1 R ,2 |
№ |
|
|
К М 1 Т і |
т |
|
a — °2
°3
к м |
( Я о2 |
т |
V П |
||
|
( КіЬ |
т |
к м |
\. Т 2 |
.)
;
Определим точечное |
пре |
|
|
||||
образование Z. 4 «самое в се |
|
|
|||||
бя» |
или |
в силу |
симметрии |
|
|
||
фазовой |
поверхности |
L4 в |
|
|
|||
L3 |
Начальные условия |
вы |
Рис. 3. 30. Фазовый портрет си |
||||
браны |
на линии |
переклю |
|||||
стемы, при учете трения элек |
|||||||
чения L4: |
|
|
|||||
|
|
|
тродвигателя |
||||
|
|
А |
|
|
|
у 0j . |
|
|
Переключение релейной функции с 0 на 1 происходит |
||||||
в точке |
|
|
|
|
|
||
|
|
^ |
л:і ==0<Н—J --|-82; |
Уі^ • |
|||
Конечные координаты |
|
|
|
||||
|
|
С ^рс2 = з0 ^- + 8^ |
, |
где бі, б2 определяются по (3.286), а уравнениями фа зовых траекторий для листов, где ф (а )= 0 и ф(а) = + 1, являются (3.285).
Согласно (3. 285) и принятым обозначениям началь ных и конечных условий функция точечного преобразо вания имеет вид
4 1 + ^ |- У 2 = 1'Фи + 1|- # 0 + 2з0- £0 -2 8 1, (3.287)
или в стандартной форме |
|
|
|1 —т)| e*=^|l |
е~"+с, |
(3.288) |
где ѵ = —у2; u= yQ\ с = 2 а 0 — e0 + 2öi.; а0= -2 _ ; |
е0= — . |
|
|
1 + Y |
1 + Y |
5 |
3400 |
129 |