книги из ГПНТБ / Петров В.В. Приборные сервомеханизмы летательных аппаратов. Динамика сервомеханизмов при наличии сухого трения и запаздывания
.pdfРассмотрим уравнения движения чувствительных элементов при перемещении их в прямой или обратной цепи усиления сигнала в повороте при отработке сиг нала обратной связи (примеры систем см. в 3.9).
1. Ч у в с т в и т е л ь н ы й э л е м е н т с с у х и м т р е н и е м
при п е р е м е щ е н и и [25]
|
Движение чувствительного |
элемента |
описывается |
|
уравнением |
|
|
|
|
|
П |
|
|
(3.1) |
|
|
|
|
|
где |
т — приведенная |
масса |
движущихся частей, |
|
|
включая жесткий центр чувствительного эле |
|||
|
мента; |
|
|
|
|
W — координата положения тяги; |
чувствитель |
||
|
FT— тяговое усилие, развиваемое |
|||
|
ным элементом; |
|
чувствительно |
|
|
Fynp — упругая сила |
сопротивления |
||
|
го элемента; |
|
|
|
Fo. Тр — сила сухого трения. При этом
где рь — давление, воспринимаемое чувствительным |
||
элементом; |
чувствительного |
эле |
S4.a— эффективная площадь |
||
мента; |
|
|
Щ — координата положения жесткого центра чув |
||
ствительного элемента |
в ненапряженном |
со |
стоянии; Сч.а— коэффициент жесткости чувствительного эле
мента; |
|
|
|
f — коэффициент трения. |
|
||
Уравнение (3.1) с учетом |
(3.2) при пренебрежении |
||
массы движущихся частей имеет вид |
|
||
- Сц.э(W - |
- |
/ Д А - sign W = 0 . |
(3.3) |
40
Поделив (3. 3) на S4.a, получим
РъС2 [W - WJ - f p ksign Г = О, |
(3.4) |
где
С Ч .э
с а
' S ч .э
Для установившегося состояния из уравнения (3. 1) получим
Pky~C<i {Wу— |
= 0, |
(3.5) |
где Phy и Wy — установившиеся |
значения |
давления и |
перемещения тяги чувствительного элемента. |
|
Рис. 3 .2 . Характеристика чувствительного элемента (безынерционного) с сухим трением
Учитывая, что AW= W — Wy\ Aph—ph — pky, |
вычи |
|||||
тая (3. 5) из (3. 4), получим |
|
|
|
|
||
|
bPh- C 2{ W - W y) - f Pks\gnW =0. |
(3.6) |
||||
Поделив члены уравнения (3. 6) на pnWH, где |
ра и |
|||||
— некоторые |
номинальные |
значения давления и |
||||
перемещения, получим |
|
|
|
|
||
|
АP k |
C 2A W |
f P k |
sign\r = |
0. |
(3.7) |
|
P„WK PnWH |
|||||
|
P a W а |
|
|
|
||
Затем введя относительные отклонения |
|
|
||||
Wvv nl.lY tl о- |
AW |
w. *.4.9=— |
|
w |
■sign WB |
|
|
; (sign |
|
||||
|
|
Pa |
' |
|
|
|
получим ' |
|
|
|
|
|
|
w n |
|
CW а |
f P k |
signU7Bblx.4.3 = =0. |
(3.8) |
|
|
|
Pa |
P a |
|
|
|
Окончательно уравнение чувствительного элемента с учетом сухого трения (рис. 3. 2) будет
^ , x , I.3 = ^Bx,,.3-Y sig n U 7 №X , 9; Г ВЬ]Х.Ч.Э=5 0. (3.9)
41
При наличии остановок можем записать
^ Ч, = |
І^Пь,х,,.э-^вх.ч,І< |
^пь,х.чэ= 0, (3.9а) |
где е"— |
— сила сухого трения чувствительного |
|
Сч.Э |
выраженная в единицах |
|
|
элемента, |
перемещения
2. Ч у в с т в и т е л ьн ы й э л е м е н т с с у х им т р е ни е м
при в р а щ е н и и
Сухое трение проявляется не только при перемеще нии, но и при вращении чувствительного элемента в об ратной связи. Для вращающихся частей чувствительно го элемента с учетом сухого трения уравнение движения имеет вид
м т ~ м с.^. sign а0= / а 0, |
|
(3. 10) |
где Мдв — движущий момент, поворачивающий |
чувст |
|
вительный элемент в обратной связи; |
к чув |
|
Мс. тр — момент сухого трения, приведенный |
||
ствительному элементу; |
частей; |
|
J — момент инерции вращающихся |
||
ао — угол поворота чувствительного |
элемента в |
|
обратной связи. |
|
|
Без учета сил инерции уравнение работ, затрачивае мых на преодоление сил сопротивлений, для малых уг лов может быть записано
^лв(?о~ “o)-^c,rpYoSignao = 0, |
(3. И) |
||
где <ро — угол отработки обратной связи; |
|
||
Уо — угол поворота шарнира |
крепления тяги чувст |
||
вительного элемента; |
шарнира |
крепления |
|
Мс. тр=/йші7тр (dm — диаметр |
|||
тяг). |
|
|
|
Введем относительные величины: |
|
||
а = - |
Ѵо |
м,с .т р |
(3. 12) |
|
Мя |
||
Yo.H |
fYo.K |
|
42
где Yo. и — некоторое номинальное значение угла пово рота шарнира крепления тяги чувствительно го элемента;
еп — сила сухого трения, проявляющаяся при вра щении чувствительного элемента.
Теперь уравнение движения примет вид |
|
|
||
а = <р----— sign а, а: |
|
(3.13) |
||
При наличии остановок |
(а=0) |
чувствительного |
эле |
|
мента это уравнение будет |
|
|
|
|
ср= |а — ср]<(-^-; |
а — 0. |
(3.13а) |
||
3. У с т р о й с т в о с р а в и е н и я |
|
|
||
В компенсационных |
системах, приведенных |
на |
рис. 3. 1 ,а, б, в, г, чувствительный элемент, находящий ся в обратной связи, служит для уменьшения рассогла сования на входе системы. Рассогласование системы мо жет быть выражено через тяговые усилия, развиваемые
чувствительными элементами прямой |
цепи усиления |
сигнала и обратной связи (см. рис. 3.3, а и б): |
|
ДF — F kl — F^s\n а, |
(3.14) |
где А/7 — усилие рассогласования системы; |
|
Fki — тяговое усилие, развиваемое |
чувствительным |
элементом прямой цепи усиления сигнала;. |
|
Fkz — тяговое усилие, развиваемое |
чувствительным |
элементом обратной связи; |
|
а— угол поворота чувствительного элемента об ратной связи.
Положению равновесия системы соответствует равен ство AF=0.
Уравнение рассогласований (3. 14) может быть выра жено через перемещения чувствительных элементов, для чего следует разделить члены уравнения (3. 14) на коэф-
43
фициент жесткости чувствительного элемента Сч. э1. Пос ле преобразований получим
& w = |
\ v ИЫХ.Ч.ЭІ - ^ в |
ы х . . э s in а |
(3. 15) |
||
где |
ДF |
|
|
|
|
д W - |
w |
ПЫХ.Ч.9І |
— |
|
|
|
|
||||
|
|
W |
С ч.Э 1 ’ |
|
|
|
С ч .э і ’ |
|
|
||
IS |
Сч.э2 |
. w |
|
FU2 . |
|
A i |
С ч.ЭІ |
lV^ ВЫХ.Ч.Э2 |
^ ч.э2 |
|
|
|
’ |
|
|
Сч.а2 — коэффициент жесткости чувствительного эле мента обратной связи; ЦРБЬІХ. ч. эі и №вых. ч. э2 — переме
щения чувствительных элементов (жестких центров).
4 3 1 |
Ч Э 1 |
а) |
S) |
Рис. 3 .3 . Конструкция |
устройства (элемента) сравнения серво |
|
механизма |
Согласно уравнениям (3. 14) и (3. 9) уравнение рас согласования можно выразить через перемещения чувст вительных элементов. Если движения жестких центров чувствительных элементов направлены в противополож ные направления, то
№ |
= ( ^вх.ч.31 - |
4 8ІёП ^вых.ч.эг) - |
|
- |
( У „ Х , , . Э 2 + Y |
Sign \ ^ вых.ч.э2) Sjn а , |
(3. 1 6 ) |
при №„Ь1Х.ч.э15£0; №Вых.ч.э2< 0 ; /Сі = 1.
44
Уравнение (3. 16) молено переписать в виде |
|
||||
|
|
|
А^ = ^ их ,,,1 - ^ (,.ч.з2^па + Д, |
(3. 17) |
|
где |
Д = |
- |
sign 1^вых ч.э1 - |
sign и/пЬ|Х.,,э2= |
|
= |
- |
■— [Ли sign WnM 43l + |
^ ft2sign tt7nb,x..I92] sin а. |
(3. 18) |
Условие компенсации сил сухого трения при пере мещении чувствительных элементов есть равенство Д= 0. С учетом (3. 14) оно имеет место при
Sign ^ » ы х „ .,1 = - SIR1 ^„ы *.ч.э2, |
(3 . 19) |
т. е., для компенсации скорости перемещения жесткого центра чувствительных элементов прямой цепи усиления сигнала и обратной связи должны быть равны между собой и иметь разный знак.
Если движения жестких центров чувствительных элементов происходят в одном направлении, то уравне ние (3. 16) имеет следующий вид
b W = ( w M'4M |
2 sign W„ых.ч.эі) + |
|
|
+ |
(^вх.ч.э2 |
2 sign 1Гвыхч.э2 sin а) |
|
При \І7ВЫХ4.31^0, 1^вых„.э2^°. |
(3.20) |
||
или аналогично (3.17) |
|
|
|
А — |
sign Н^вЫх.ч.9і— Y"Sign 1Г/ВЫХ, . Э2 sin и. |
|
|
Компенсации погрешностей в этом случае не происхо |
|||
дит, так как |
|
|
|
|
sig n r Bblx-4.3l= s ig n # Bblx,4 32. |
(3.21) |
Графически условия выполнения (3.19) и (3.21) ил люстрируются рис. 3. 4.
Таким образом, в рассматриваемых системах компен сация сил сухого трения, возникающих при перемещении, имеет место при движении чувствительных элементов' в противоположных направлениях, Для выполнения усло вия (3.19) приборы для измерения давлений необходи-
45
мо конструировать таким образом, чтобы при измене нии давлений, воспринимаемых чувствительными эле ментами, скорости движения их жестких центров были противоположного знака. Так, если
|
Л^ч.эі |
• |
\У/ |
( P i + |
Р І ) 5 ч.э2 |
|
(3. 22) |
|
Н ^ Ч . Э І |
> ™вх.ч.э£“ |
WкСч.э2 |
|
|
||
|
w„c |
|
|
|
|
|
|
то условие |
(3. 19) будет |
выполняться. |
Если |
положить |
|||
pl = q, p%=p |
( q — динамическое давление встречного по- |
||||||
■ ’ |
|
|
|
тока воздуха, |
р — ста |
||
|
|
|
|
тическое давление), то |
|||
|
|
|
|
с увеличением скорости |
|||
|
|
|
|
полета |
летательного |
||
|
|
|
|
аппарата скорости дви |
|||
|
|
|
|
жения жестких центров |
|||
|
|
|
|
чувствительных |
эле |
||
|
|
|
|
ментов |
(в определен |
||
|
|
|
|
ном диапазоне |
измере |
||
|
|
|
|
ния) будут подчиняться |
|||
Рис. 3 .4 . График движения |
чувст |
закону |
(3.19) |
|
и будет |
||
вительных элементов |
|
иметь место |
компенса |
||||
|
|
|
|
ция сил сухого |
трения |
при перемещении. В системе могут быть использованы и другие зависимости, аналогичные (3.22), для обеспече ния условий компенсации сил сухого трения.
Уравнение (3. 16) с учетом уравнений |
(3. 13) и (3. 19) |
|||||
будет |
|
|
|
|
|
|
дW = W, |
^ в х . ч . э г |
(?- ε 2 |
signa |
, a |
: 0; |
(3.23) |
ВХ.Ч.ЭІ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ДW = 1^вх.ч.э1- |
Wm.4.3i sin <p, |
|
|
|
|
Последнее уравнение при a = 0 описывает движение системы при наличии застоев, вызываемых силами су хого трения.
4. У р а в н е н и е д в и ж е н и я с и с т е м ы с у ч е т о м з а п а з д ы в а н и я
Рассмотрим составляющие, из которых складывается величина запаздывания системы.
Учитывая индуктивность электродвигателя, получим уравнение движения системы в следующем виде:
[Lp3 -\-Трг -\-Rp) <р= — k Ф (а). |
(3.24) |
46
Так как уравнение (3. 24) можно рассматривать как уравнение второго порядка с запаздыванием, то имеем
{ T p b + R p ) ср=-£Ф(а), |
(3.25) |
где сг = ст(£ — тэгш) (тзап — время запаздывания). |
|
Уравнение (3. 25) можно записать в виде |
|
(7>я + /?/0<Р= £ФД°), |
(3.26) |
где |
|
Фт(а)=Ф((а)(г_Тзаи)). |
(3.27) |
В системе будет запаздывание, вызываемое чувстви тельными элементами, масса и скорость движения которых в первом приближении не учитывалась. Величину этого запаздывания можно определить, считая чувстви тельный элемент апериоди ческим звеном с запаздыва-
Рис. 3 .5 . Характеристика чув ствительного элемента
нием [25]. Уравнение чувствительного элемента в общем виде будет
( W |
+ TlP+ 1) і^ вых.ч.9 = |
4о- 'П х.ч, |
- |
ѵ2 :sign ѴГВЬІХ.Ч.Э, |
|||||||||
где |
|
|
|
7 \ = — |
|
|
|
|
|
|
|
(3. 28) |
|
Т’22= |
— ; |
; |
sn= |
2І £ ^ ч . э |
|
|
|
||||||
|
|
|
С ч .э |
|
Сч.э |
|
|
Сч.э |
|
|
|
||
|
При условии Т і ^ Т 2 постоянная |
времени (рис. |
3.5) |
||||||||||
имеет вид |
|
|
2r22 |
|
|
, |
|
|
27V |
|
|
||
T |
'J'* |
I jv / __ ____ |
|
|
|
|
. |
(3.29) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
T x — / Т -P — 4 7 V |
' |
Ту + / |
т{2 — 47V |
|
|
||||
|
Для точки перегиба имеем |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
W. |
|
|
|
|
Т ' |
+ |
Т" |
~ |
|
(3. 30) |
|
|
|
|
|
|
|
-----------е |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Л |
0 |
_ЛГ' — |
|
|
ОЫХ.Ч.Э.П |
|
|
|
|
'р 41 |
" пых.ч.э.л |
Г х ____ |
|
|
|
(3. 31) |
||||||
|
Т' |
|
|
|
|
Т* |
т" |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47
Касательная в точке перегиба отсекает на прямой ^ і л ч э = ^ отрезок, равный сумме постоянных времени Т= Т' + Т". Время запаздывания будет соответствовать отрезку времени t, отсекаемому прямой, проходящей че рез точку перегиба ТРвых.ч.э.п; ^ и Т0ЧКУ ^ ыхчэ — К'\
t n = T ' - \ - T " .
Уравнение движения системы с учетом времени запаз дывания, отнесенного к переключению релейной функ ции, имеет вид (3. 25) .
При наличии управляющего сигнала на входе следя щей системы, изменяющегося по закону синуса, чувстви тельный элемент системы, являющийся апериодическим звеном, перед релейным элементом вызовет изменение фазы выходного сигнала (20]. При наличии в предельном случае скачка на входе апериодического звена и . если постоянная времени апериодического звена меньше ме ханической постоянной всего периода, сигнал на выходе можно считать сдвинутым относительно входного на постоянную времени этого звена [20] и сдвиг учитывать введением запаздывания в переключении релейного эле мента.
5.У р а в и е н и е д в и ж е н и я
при у ч е т е с л у ч а й н ы х в о з м у щ е н и й , д е й с т в у ю щ и х на с и с т е м у
При действии на систему /у случайных возмущений (/=1, 2,..., п), имеющих нормальные законы распреде
ления, аргумент нелинейной функции Ф(<?) будет иметь вид
п
Н - S / w . |
, (3' 3?) |
}-1
причем
(3.33)
где nij — математическое ожидание и Fj° — центрирован ная случайная функция /-го возмущения.
На основе уравнений (2. 19) — (2.22), (2.23), (2.25) с учетом уравнения безынерционного передаточно-мно
жительного механизма (а=Кп. ма) |
уравнения движения |
рассматриваемых систем имеют вид |
|
{ т ; л - Rp)<?=- № { * ) ■ , |
(3. 34) |
48
Если |
положить, что |
в |
системах |
рассматриваемого |
||||||||
класса |
|
имеют |
место |
зависимости |
^ в х . ч .э і = / ( < 7 ) |
и |
||||||
№вх. ч.э.2 |
= f ( q + p ) |
вида |
(3.22) и исследуются свободные |
|||||||||
колебания, то уравнения |
(3.34) |
можно |
представить |
в |
||||||||
виде (Дс.тр = 0, |
см. |
2.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(Т/>2 + Rp)<?— —/гфт(о); |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
О |
/C asin g — — signaj; a^O ; |
(3. 35) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/С« sin cp; |
|
|
|
a = |
0, |
|
|
||
где К л= К йшЫ Я^эф.ч.эг |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
C4MWK ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
j , |
^пргя (гіЛ » + |
2гк/?м + |
R mR H + |
/?м2) 4- 2г KR m + R mR M2 |
|
|||||||
|
|
п |
СыСе ( г к/?ш -(- г к/?м 4- RmRbi + |
R^) . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
CKRmRu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г -(-1 |
при о > о е; |
|
|
|
|||
|
|
|
Ф(0)= |
| |
0 |
при |
a < a s; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
( — 1 |
при |
a < a e; |
|
|
|
||
|
|
|
Фт(а) = |
Ф{(а)(^-Тзап)). |
|
|
|
|
||||
Изображенные на рис. 3. 1 структурные схемы имеют |
||||||||||||
следующие уравнения движения. |
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
|
Система |
с жесткой обратной |
связью |
(см. рис. |
|||||||
3. \ ,а). |
Считая, что изменение ф происходит в небольших |
|||||||||||
пределах, можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
sin (<р— ^ |- signetJ = |
/Cs (< р --у -sign a) . |
(3.36) |
При свободных колебаниях, учитывая (3.36),
(7>2 4- Rp) tp= —/гФх (а);
О=: • |
АГЛср— — sign«) |
приа^О; |
(3. 37) |
||
V |
2 |
/ |
|
|
|
|
K-tf |
|
|
при а —О, |
|
где к — коэффициент редуктора: Ki=KsKa..-
49