книги из ГПНТБ / Петров В.В. Приборные сервомеханизмы летательных аппаратов. Динамика сервомеханизмов при наличии сухого трения и запаздывания
.pdfнятся, но не выйдут за пределы этой области качествен ного состояния. Следовательно, достаточным условием существования колебаний без срывов является нахожде ние параметров исследуемой системы <в пределах, опре деляющихся неравенствами:
я\ |
1 И Л И Ха2< Х а < Х а ь |
(5. 28) |
Для случая (4=0, исходя из условия допустимой по грешности системы, необходимо выбрать наименьший возможный предельный устойчивый цикл:
(5.291
х а min — ? (с >Е>
где ст, е, т — параметры системы, характеризующие на личие минимально возможного предельного устойчивого цикла. В этом случае в установившемся режиме систе мы .Гц— Д), т. е. скорость, отнесенная к полезному сиг налу системы, является достаточно малой величиной. Минимально возможными предельными циклами, опи сывающими область разброса колебаний, будут являть ся те, которые определены из условия нахождения ми нимально возможных предельных отклонений по скоро сти, отнесенных к действующим возмущениям, т. е.
(5. 30) На рис. 5. 5, а приведены области колебаний системы,
имеющие место при xni= b + d без наложенных |
на них |
|||||
флуктуаций при уровне помех 0,002 мм/с для |
случаев, |
|||||
когда запаздывание т = 0 , |
т=0,2, т = 0,3 и |
т=0,5, |
и на |
|||
рис. |
5. 5, б |
сплошными |
линиями — при |
уровне |
помех |
|
0,011 |
мм/с |
и пунктиром — при уровне помех 0,004 мм/с |
||||
I для |
случаев, когда запаздывание т = 0 , т=0,3, |
т=0,5 и |
т=0,8. Границы этих областей определяются уравнения ми (5. 25), которые можно записать в виде:
|
l — d — b |
e-ad— ,c—1ab |
(5.31) |
||
|
1 |
+ d |
|
|
|
С учетом параметров системы |
(5.31) имеет вид |
||||
( 1 d ) e |
2 а |
(е |
1 ) |
т e 9 exr f+ 2 j__ |
1 |
|
( l + r f ) e 'c |
|
|
eE |
Сверху области колебаний с наложеннымина них флуктуациями ограничены кривыми критических соотно-
211
шеиий параметров системы, определенных для свобод ных колебаний из (5.23) при и = ѵ = Ь . Выше кривых —
области устойчивости, показанные косой штриховкой.
Рис. 5. 5. Области колебаний |
системы с наложением и без наложе |
ния |
флуктуаций |
Области устойчивых колебаний без наложенных на них флуктуаций лежат ниже областей колебаний с флуктуа циями (не заштрихованные).
Б. Неустановившиеся движения *
Неустановившееся движение системы описывается уравнением (5. 22) в новых переменных
z - \ - z = — Ф { z ) ~ d, |
(5.33) |
где
2=Ф і(а, е, X, ß, i) +п(х, х) +f(x, х)\
d~\f(x, х) +.п(х, х)]р-,
d — характеризует уровень действующих на систему воз мущений по первой и второй производным в пределах:
* Рассматриваются только сигналы, ограниченные по модулю.
212
Уравнение (5. 33) дает следующие уравнения инте гральных кривых:
dy,
- у = — Ф{г) — а} \
dt
(5.34)
dz
dt •-у-
Интеграл уравнений (5. 34) представляет собой урав нение фазовых траекторий на листах:
2= [Ф (*) + ^]ІП |
У + |
Фі (■?) + |
d j |
~ { y - y 0)+Zo- |
(5.35) |
||||||
Уо + |
(z) + |
dj |
|||||||||
При |
Ф (г)=-)-1; |
0 |
и |
— 1 |
выражение |
(5.35) |
прини |
||||
мает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = { l + d j ) l n |
|
У ~Ь 1 + |
dj |
— {y— yo ) + z 0; |
(5.36) |
|||||
|
|
'Уо + |
1 + |
d j |
|||||||
|
z —dj ln |
'У + dj |
—i y - y 0) - r z o^ |
(5.37) |
|||||||
|
Уо + d j |
||||||||||
|
-.{dj— 1) ln |
У. + |
dj |
|
1 |
- ( y - y 0)—z 0. |
(5.38) |
||||
|
|
|
|
|
Уо + |
d j — |
|
|
|
||
Точечное |
преобразование |
|
линий |
переключения |
|||||||
«самое в себя» будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
\ѵ + ^ Г ^ е те= |1 + |
d j - u \ 1+dJeaa+c, |
(5.39) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с = £ + |
2ает + |
2а - |
d} ln \2dj\ - |
(1 - |
d}) ln 11 — 2rfy|; [j =1,2). |
Из уравнения (5. 39) для конкретных параметров си стемы можно определить значение предельной амплиту ды колебаний по скорости и = у = х аПред оптимальной в смысле устойчивости. В новых переменных (z, і) центр колебаний смещается вдоль оси z, однако это не вызо вет изменения устойчивости, если параметры системы, соответствующие смещенному состоянию, не выйдут за пределы области качественного состояния. Используя уравнение (5.23), можно найти параметры системы, со ответствующие значению предельной амплитуды коле баний, как это было сделано для случая установивших ся движений.
213
5.3. ПРИМЕР РАСЧЕТА СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ СЛУЧАЙНЫХ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Нелинейная система с сухим трением в чувствитель ном элементе [17] приведена на рис. 3. 12, а. Условием равновесия является равенство проекций сил, развивае мых чувствительными элементами (см. 3.3). При ком пенсации сил сухого трения в системе симметричной от
носительно оси у и |
при уі= уз, У2 = У 4 , еі — е3, е2=в.і, |
уравнения движения |
системы имеют вид (3. 136) и |
(3. 137). Аргумент релейной функции с учетом случай
ных возмущений |
определяется выражением |
|
|
= |
[Кі(2/>1+ / 1+ / а) sin ах- |
|
|
|
- ^ 3 ( 2A2 + / 3 + /4 ) sin азЬ |
(5 .40). |
|
где |
AW — перемещение |
шарнира |
креп |
|
ления тяг чувствительных эле |
||
|
ментов; |
|
|
« S |
* $ |
|
|
К х~ ~ ъ~ ; /С3= |
—1— — коэффициенты, зависящие от |
||
(-'Ч.ЭІ |
Сц.эЗ |
чувствительных |
|
|
параметров |
||
|
элементов; ри р%— давления, |
воспринимаемые чувствительными элементами; fj — слу чайные возмущения в виде флуктуаций давлений (/ =
=1, 2, 3, 4), /<п. м — коэффициент усиления. ■ Для установившегося режима без помех
|
&№п==Кп^ [ К х2рх$\\л ах— К 32р3sin и3]. |
(5.41) |
|||
Изменение аргумента |
релейной |
функции Ф |
согласно |
||
уравнению (5. 40) будет |
|
|
|
||
AWf = |
К„,ы[Kx{ f 1+ / 2) sin ах- /<3( / з + / 4) sin а3]. (5.42) |
||||
Предельные |
случаи |
погрешности могут |
быть при |
||
п |
я |
|
я |
л |
|
a i = U |
и а з = — |
или при ах= — |
и а3= 0 . |
|
Уровень возмущений определяется флуктуациями статического давления, поступающего в полость чувст вительных элементов, т. е. fj=*Aр, так как р і = р , р г =
— q + p , где р — статическое и q — динамическое давле ния. Максимальное перемещение жесткого центра шар
2 1 4
нира крепления тяг чувствительных элементов, отнесен ного к действующему возмущению, будет
*n ,a *= ± |
/С„.м = 2 ); |
/™х=Дртах = 0,021 КГС/СМ2 = 2 -ІО3 Н/м2.
При К з = 0,022
д-тах— 4-0,021 ■0,022= + 0,002 мм.
Флуктуация по скорости
Ддіпах_-^тах_| + 0,021 IJ2LL—2- 103-^ - ;
или в единицах перемещения чувствительного элемента
составит согласно (3.40) х™а* ~ 0,002 |
. |
Для системы при значениях параметров в безразмер ных величинах
7 = М О -3; /?= 0,88-10“2; у = 2; а= 3-10~8
имеем x'™x = d + b = 0,002I< + 0,082 ~ 0,1,
где К = - —= 8 ,8 — переводный коэффициент к безраз-
К
мерным величинам по скорости, b— отрезок притяжения
положения равновесия определяется согласно (5. 25).
|
Выберем |
параметры |
ко |
FM.FlV) |
|
|||||
лебательной |
системы, |
ус |
|
|
||||||
тойчивой к случайным |
воз |
|
|
|||||||
мущениям. |
|
Так |
как |
зона |
|
|
||||
нечувствительности по |
кон |
|
|
|||||||
структивным |
соображениям |
|
|
|||||||
задана и равна |
|
2a=6-10~2, |
|
|
||||||
то |
необходимо |
|
определить |
|
|
|||||
величину силы |
сухого |
тре |
|
|
||||||
ния, при которой поле раз |
|
|
||||||||
броса |
колебаний |
будет |
на |
|
|
|||||
именьшим и |
колебания |
бу |
|
|
||||||
дут |
без |
флуктуаций. |
Со |
|
|
|||||
гласно |
(5.25) |
имеем |
при |
Рис. 5 .6 . Кривые |
точечных пре |
|||||
± f= d l + bl |
(при d2= 0) урав |
|||||||||
образований при |
наличии слу |
|||||||||
нение |
кривой |
оптимальных |
чайных возмущений |
215
параметров, |
определяющих наименьшее поле |
разброса |
|
колебаний (5.31). |
а = 1 (т= 0) имеем |
||
При <7=0,0176 (<7=0,002 мм/с), |
|||
зависимость |
о = /(е ) (см. рис. 5. 5, а). Согласно этой за |
||
висимости и расчетным формулам |
при о = 3 |
-1 0 -2 для |
обеспечения минимума поля разброса колебаний следу ет выбрать е = 1 • 10~2.
При учете запаздывания, например т=0,3 сила сухо го трения должна быть порядка е—2- ІО-2.
Погрешность системы от помех по отношению к не чувствительности системы будет
■•100%
2<°+Т
0,0176
17,6%,
2 (0 ,0 3 + 0,02)
т. е. погрешность системы при выбранных параметрах увеличится на 17,6% от погрешности системы, не испыты вающей воздействие помех.
Кривые точечных преобразований для различных об ластей колебаний при уровне возмущений, равном d =
= 0,002 |
приведены на рис. 5. 6. В первом случае ко- |
|
С |
лебания существуют на границе области существования пересечения F i ( v ) и F 2(u) колебаний-— кривая 1, постро
енная при а=0,03, е=0,01. Во втором случае пересече ния колебания без флуктуаций — кривая 2, построенная при о=0,185, е=0,1, и в третьем случае пересечения — кривая 3, построенная при о = 0,15, е= 0,1. Запаздывание т = 0 и кривая F i ( v ) — общая для всех случаев.
та
ЯГ .
ч
\о
го
Е-1
Схемы и характеристики нелинейных приборных сервом еханизм ов
,н
й) *
чта(Ü
оо
н X IS таS’ о ю s н «и ч о
ч О) о
оm а.
Ь5
Оо
нл
ш н |
к |
|
С |
о |
(J |
о |
|
|
|
|
+
• Ö
с |
.. |
Ы ) |
|
I! |
|
с/3
+? -
• н “ ' Г 1 О |
+ |
о |
||
|
|
ѴЛ |
! £ |
II |
Ѳ |
|
• Ö |
в * |
'0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
II |
|
|
■ & |
L |
|
|
|
|
ч» |
"1 |
|
|
|
X ) |
|
|
|
ѵ |
1 |
|
ч |
|
зэхнэкэіге іѵончі/ох
- H S l O H Ä h а к э и н э й х
ічихХэ Э ЭІЯН1ГВНОВЯОНѴО
СО
При наличии в системе одночастотных автоколебаний с ростом величины сухого трения е система устойчива.
217
|
|
|
|
|
|
Продолжение |
|
|
|
|
Характеристи- |
|
Степень устойчи |
|
|
О. О, |
|
Структурная |
ка упрапляе- |
|
,Фазовый портрет“ |
||
Тип |
Ура оненип движения |
вости положения |
|||||
а о |
схема |
мых элемен |
|||||
S с |
|
|
тов |
|
равновесия |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
X + X = |
|
|
|
СО |
См. п. 3 (при гиб |
|
4 |
|
кой обратной |
связи |
|
2 |
Y=0) |
|
|
Т > О |
|
|
|
<D |
|
|
|
*={ |
|
|
|
X |
|
|
|
О |
|
|
|
f- |
|
|
|
S |
|
|
|
ш |
|
|
|
ш |
|
|
|
D* |
|
|
|
2 |
|
|
5 |
О) |
См. п. |
3 |
S' |
|||
|
S |
|
|
|
О) |
|
|
|
а, |
|
|
|
н |
|
См. п. 2 |
|
2 |
|
|
|
s |
|
|
|
К |
|
|
о
о
2
5
то
и
6 2 См. п. 4
О
|
р: |
Оч |
|
|
|
|
|
é |
С |
|
|
|
|
7 |
S |
н |
|
См. рис. |
3. 1 |
|
о |
<1) |
к |
||||
|
d. |
|
|
|
||
|
£ін |
га |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
X |
2 |
со |
|
|
|
|
си |
3 |
|
|
|
|
|
>-> |
в* |
er |
|
|
|
|
и |
|
со |
|
|
|
|
и |
s |
га |
|
|
|
|
С |
|
|
См. п. |
||
|
|
о |
га |
|
|
|
|
Л |
.а |
со |
|
|
|
|
S |
с? |
1 |
|
|
|
|
сс |
О) |
0. |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
S |
5 |
|
См. рис. 3 .1 (при |
||
|
и |
га |
||||
|
га |
|
гибкой |
обратной |
||
|
|
|
|
связи |
- ( = 0 ; |
Г > 0 ) |
Ö і
|ф ^ х —— sign а + Т х
ja SÈÜО
|ф (X -г Т х ) ;
Іа = О
X + X =
Ф — ^-sign а + у х
â s О
Ф ( х + у х ) ;
а = О
|
|
X |
+ |
X |
— |
|
|
|
|
Ф |
|
|
sie n â |
+ |
7’jc j |
; |
|
|
а ==: 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф ( X |
+ |
Т х ); |
|
|
|
|
|
|
а = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
+ |
X |
= |
|
|
|
|
фт ( j c - J |
s'gn â |
+ |
y x j |
; |
|||
= |
— ■ a s O |
|
|
|
|
|
|
|
|
Фт ( * + Y ^ ); |
|
|
|
||||
|
u = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
+ |
X |
— |
|
|
|
|
(фт ^ |
- j s i g |
n â |
+ |
7 -x j; |
|||
= |
— jaâÈ-: 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|ФТ ( х + |
Т х ) ; |
|
|
|
|||
|
(а = |
0 |
|
|
|
|
|
|
Автоколебатель |
См. п. 3 |
(линии пе |
|
реключения |
смещены |
||
ность |
увеличивает |
влево в плоскости |
|
ся с |
ростом е* |
д г > 0 ) |
|
|
|
Область устойчи вости. Автоколеба ния или устойчи вость в системе при
е < гкр =
Автоколебатель ность увеличивает ся с ростом S*
То |
же, но при |
См. п. 5 |
(линии |
пе |
||
Е < Екр = |
реключения |
смещены |
||||
влево |
в |
плоскости |
||||
|
|
|||||
= In --------------- — 2 а |
у > 0). |
С |
ростом |
т |
||
наклон |
линий увеличи |
|||||
|
2 о |
вается |
вправо |
|
||
1 |
— — |
|
1 — Т
Автоколебатель- |
См. п. 3 |
(линии пе |
ность увеличивает реключения |
смещены |
|
ся с ростом £ и т |
вправо в плоскости |
У > 0 )
То же |
См. п. 4 или 7 |
* При наличии в системе одночастотиых автоколебаний с ростом величины сухого трения е система устойчива.
о
t(
о
mOiо
<■>
>»5 Ш £§§
EHQ,
<uО
н 2 О «
Ю
c
Область устойчи вости. Автоколеба ния или устойчи вость при |
Е < Екр = |
і , — 1 “ 1 -f-T—2л a " Г |
+ Т — 2a. |
Автоколебатель ность увеличивает ся с ростом е и т* |
+
* Ö
|
& |
ч |
^ |
СЯ |
|
” Ь |
іо 1 |
? - |
|
:ч |
і |
- |
1 |
V |
о |
|
-V |
л\ |
|
•ѳ* |
II |
|
Ѳ |
- ä |
|
-Ö |
|
|
— |
v |
~ |
- ^ |
— ^ |
|
|
1 |
|
|
|
Q*
E
V
ß
•Ч
4-
=4
<U£ О с * m
CL)
_ 3 *
г S ffl
<Drj
ЕГ C
2 m
ч
а a <uca a-к
+ |
S |
ff |
> , |
|
t |
s |
JQ |
||
О Ü |
4 |
|||
N fl) |
f- |
|
||
CN CN |
|
0 О |
||
|
-г >•> га |
|
||
|
g |
Ю P |
||
+ |
g o ° g |
|||
й |
И |
К |
n |
|
|
л |
о |
s: |
|
|
, , Ч н er |
|||
|
U |
о |
o |
s |
|
|
s! га о |
||
|
|
и |
и |
H |
■ Ч |
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
■ а |
•Ч |
|
|
|
с |
ь, |
|
|
|
Ъл |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
ІЧ
s^S |
<N |
|
|
g ig s |
В |
|
|
C3>* |
S |
|
|
E « 2 |
о |
|
|
X * Ä |
|
|
|
xs |
со |
|
|
о |
|
|
|
f“ Ci |
|
|
|
* X |
Он- |
|
|
Xи |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
о |
|
|
|
иинваічѴевивЕ ииыіігвіі ndu |
і |
эхнэмэігг |
|
гсончкэшаюяЛь а ічэпнасі.і. шіхХэ |
э |
эічи'п'вмэвмоМі'о |
'don <2Ji |
|
|
|
При наличии в системе одночастотных автоколебаний с ростом величины сухого трения е система устойчива.
danoH
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алексеев А. С. Двухпозиционный регулятор температуры с зоной опережения. Сборник памяти А. А. Андронова. М., АН СССР,
1955. |
с. 45— 77. |
А. А., |
Витт |
А. А., Хайкин С. Э. Теория |
колеба |
|
2. |
Андронов |
|||||
ний. М., Физматгиз, |
1954, с. |
912. |
|
|||
3. |
Андронов |
А. |
А., |
Баутин Н. Н., Горелик Г. С. Теория |
непря |
мого регулирования при учете кулоновского трения в чувствитель ном элементе.— «Автоматика и телемеханика», 1946, т. V II, № 1,
с.7— 15.
4.Андронов А. А., Майер А. Г. Задача Вышиеградского в тео
рии прямого регулирования. — «Автоматика и телемеханика», 1947,
№5, с. 314—355.
5.Андреев В. П., Собинин Ю. А. Основы электропривода. М .%
Машгиз, 1956, с. 288.
6 . Вышнеградский И. А. О регуляторах прямого действия. — «Записки Русского технического общества», вып. 4, 1877, с. 718—770.
7. Горская Н. С., Крутова И. Н., Рутковский В. Ю. Динамика
нелинейных сервомеханизмов. М., АН |
СССР, |
1959, |
с. 312. |
|
||||||
8 . Ишлинский А. Ю., |
Крагельский |
И. В. О |
скачках |
при тре |
||||||
нии. •— Ж ТФ , |
'1944, т. 14, |
вып. 4— 5, |
с. |
18— 39. |
|
|
|
|||
9. Кайдановский Н. Л . |
Хайкин |
С. |
Э. |
Механические |
релакса |
|||||
ционные |
колебания. — Ж ТФ , |
1933, т. |
3, вып. 1, с. 78—96. |
|
|
|||||
10. |
Корнилов Ю. Г. О |
влиянии |
нечувствительности |
регулятора |
||||||
, па динамику |
непрямого |
регулирования. — «Автоматика |
и |
телеме |
||||||
ханика», |
1950, |
№ '1, с. 39—58. |
|
|
|
|
|
|
11.Крагельский И. В., Щедров В. С. Развитие науки о трении. Сухое трение. М., АН СССР, 1956, с. 233.
12.Марчуков Б. А., Суворов Б. В., Бушуев В. А. Оценка пара
метров функции |
постепенных отказов при коррелированных отсче |
т а х .— «Вопросы |
радиоэлектроники», серия РТ, вып. I, 1972 |
с.61— 70.
13.Марчуков Б. А. Динамика релейных приборных следящих систем с сухим трением и запаздыванием при случайных возмуще
ниях.— «Известия вузов СССР. Приборостроение», 1967, т. X, № 6 ,
с.53—59.
14.Марчуков Б. А. Динамика простейших САР и следящих систем с сухим трением в чувствительном элементе с учетом запаз дывания. — В кн.: Автоматическое управление и вычислительная тех ника. Под ред. В. В. Солодовпнкова. М., «Машиностроение», вып. 9, 1968, с. 315—330.
221