книги из ГПНТБ / Петров В.В. Приборные сервомеханизмы летательных аппаратов. Динамика сервомеханизмов при наличии сухого трения и запаздывания
.pdfдруг другу, а рамки с чувствительными элементами ЧЭЗ и ЧЭ4 — расходятся. При уменьшении сигнала на входе системы перемещения чувствительных элементов проис ходят в противоположных направлениях. Шарнир креп ления тяг чувствительных элементов выполнен свобод ным. С ним связаны две щетки, перемещающиеся по по тенциометрам П1 и П2, с которых снимаются сигналы по двум направлениям х и у. Коэффициенты усиления Кп. м 1 и Кп. м2 можно перестраивать, но в процессе ра
боты системы они остаются неизменными:
|
|
|
|
г г |
|
С — CL1} л |
г/- |
_ |
С |
CL\ |
||
|
|
|
|
^n.Ml |
a<i 5 |
*мі.м2 |
|
<Х\ |
> |
|||
где аь Ö2 — конструктивные размеры |
|
передаточио-мно- |
||||||||||
|
|
|
|
жительных механизмов |
(см. рис. 5. 1); |
|||||||
|
|
с — расстояние от шарнира крепления тяг чувст |
||||||||||
|
|
|
вительных элементов |
до |
потенциометров. |
|||||||
в |
Можно |
добиться, |
чтобы |
|
|
|
|
|
||||
системе |
осуществлялась |
|
|
|
|
|
||||||
компенсация |
помех |
(их |
ма |
|
|
|
|
|
||||
тематических |
ожиданий), ес |
|
|
|
|
|
||||||
ли |
изменить |
структурную |
|
|
|
|
|
|||||
схему |
системы |
в соответст |
|
|
|
|
|
|||||
вии- с пунктирными обозна |
|
|
|
|
|
|||||||
чениями, |
указанными |
на |
|
|
|
|
|
|||||
рис. '3.12,а, и применить для |
|
|
|
|
|
|||||||
съема |
сигналов |
описанную |
|
|
|
|
|
|||||
конструкцию |
|
устройства |
|
|
|
|
|
|||||
сравнения. |
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
|||||
если рассматриваются |
слу |
|
|
|
|
|
||||||
чайные |
возмущения, |
подчи |
Рис. |
5. 1. |
Схема устройства |
|||||||
няющиеся |
закону Гаусса, то |
сравнения |
с |
компенсацией сил |
||||||||
случайные |
функции |
fj |
(/= |
сухого трения и помех по сред |
||||||||
= 1; 2; |
3; |
4) |
можно |
приве |
|
нему значению |
||||||
сти |
к одной, |
плотность |
рас |
|
|
|
|
|
пределения которой будет также подчинена закону Га усса. Тогда случайные величины X и У можно рассмат ривать как прямоугольные декартовые координаты слу чайной точки на плоскость, радиус-вектор которой отно сительно начала координат представляет собой двух мерный случайный вектор с составляющими X и У. Можно найти закон распределения одной случайной ве личины X при условии, что другая случайная величина У принимает значение, заключенное в данных пределах
201
Уі <У< у2. Условно функция распределения случайной величины X относительно события y i < Y < y 2 (рис. 5.2) имеет вид [26]:
F (х/уг, у2)—Р {X < |
х/уг < |
Y < |
у г). |
(5. 2) |
|||
Уравнение (5. 2) можно записать в виде |
|
|
|
||||
|
р |
( |
Х < Х |
) |
|
|
|
F (х/У1, Уъ) |
|
\Уі |
< 1/2/ |
|
|
|
|
р (мі < у < м2 ) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
Совместное выполнение |
неравенств |
у ^ У ^ У г |
и |
||||
Х^іх соответствует попаданию |
случайной точки |
(X, |
У) |
Рис. 5. 2. Функция распределе ния случайной величины
в бесконечную половину |
полосы, |
изображенную |
на |
|
рис. 5. 2. Тогда имеем |
|
|
|
|
|
|
Xf/a |
|
|
Р ( Х < * |
) = |
\ \ f 1{x, |
y)dxdy\ |
(5.3) |
< у < Ы |
— ooJ yJx |
|
|
|
P(t/1< K < y 2) = j A(y)dy. |
(5.4) |
|||
|
|
У1 |
|
|
Согласно уравнениям (5. 3) и (5. 4) имеем |
|
|||
|
X |
Уз |
|
|
|
J d x . \ f i ( x , y ) d \ y |
|
||
р (х/Уі> Уг)= |
' |
y-f ' --------------- • |
(5.5) |
|
|
|
J /2 (й) d y |
|
|
|
|
yi |
|
|
Дифференцируя (5. 5) по х, найдем условную плот ность вероятности случайной величины X при условии,
202
что случайная величина У принимает значения, заклю ченные в пределах у ± ^ У ^ у 2 ’-
У2
j' f |
{X, у) dy |
|
f і*ІУі> Уг ) = —Уй-------------- |
• |
(5- 6) |
j’ / 2 Ш dy
У1
Условный закон распределения случайной величины X относительно случайной величины У согласно (5.5) и (5.6) будет
/ |
(х/у)— |
/ ( Х ’Ю- . |
(5.7) |
У 1 |
' |
/ 2 (У) |
' |
Аналогично |
|
|
|
|
МУІх) = - 1 £ й - . |
(5.8) |
|
|
|
/ 1 (.X) |
|
В общем случае плотность вероятности двухмерного нормально распределенного случайного вектора (X, У) выражается следующей формулой:
/ ( * , » > = / ^ |
|
— С2 |
|
|
|
|
|
_____ L2 . e - C „ ( A - - a ) ’ - 2 C ,2( A - - a )((/- é ) - C aa ( t f - i ) a |
|||||||
' |
л |
|
|
|
|
|
(5.9) |
которое имеет смысл при СпС23 — С^2)> 0. |
|
||||||
|
|
||||||
Аналогично имеем,что |
|
|
|
|
|
||
|
|
С11С2 2 — |
|
|
Сц Саа—С^2 |
|
|
/ 1 |
|
|
|
------ |
, |
(5.10) |
|
|
-------------е |
С: |
|||||
|
|
С 223t |
|
|
|
|
|
где математическое |
ожидание |
и дисперсия |
случайной |
||||
величины X определяется формулами: |
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
2 2 |
|
|
т х = |
а \ |
D . = |
|
|
С |
|
|
|
с „с 22- с 22 |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
CUC22 - C 22 |
|
1ѴС”- СГа (у-*)’ |
|
||
/а (У) |
|
Cuit |
|
|
с,, |
, |
(5.11)- |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а величины У следующими формулами: |
|
|
|||||
|
f |
І-Л_ 1 |
. — |
Cll |
|
|
|
mu— b; Dy— — |
11 |
|
|
||||
|
|
2 |
СцС22 —Cj2 |
|
|
203
Выражения для условных математических ожиданий имеют следующий вид:
М \ X / Y ] = x , = a - ^ ( у- Ь) ; |
(5. 12) |
Он |
|
М [Г/Х]=у„ = Ь— ^ - ( х - а ) , |
(5- 13) |
<■>22 |
|
где
р__Р у
2 ' DXDU- K *
1 |
Кху ■ |
С12 ■ |
|
DxDy-Kly
В выражениях (5. 12) и (5. 13) корреляционный мо мент Кху и дисперсии Dx и Dy постоянны и могут быть вычислены или определены экспериментально; хп и уп измерены при помощи потенциометров П1 и П2 (см. рис. 5. 1) так что
(5. 14)
U ni = K %{mx + X°).\
Из уравнений (5. 12) и (5. 13) следует, что если из вестна величина уц или хп, то могут быть соответствен но определены M{XjY] или М[УД]. Тогда из уравнений (5. 13) и (5. 14) при Къ.ыУПу = Ки. и 2іпх
AUn= U nl- U n^ |
K BMl(o+ y o ) - K aMiX^ |
(5. 15) |
Из выражения (5. 15) |
следует, что при определенном |
|
значении передаточных чисел системы К п . мі и К ц . ы |
г ма |
|
тематические ожидания |
случайных возмущений |
могут |
быть скомпенсированы, причем не только для стационар ного, но и не стационарного процесса.
Если положить, что из-за действующих на систему флуктуаций давлений (5.1), силы сухого трения по мо дулю имеют разброс относительно среднегозначения, то можно записать
e /( o = e ,( o - W ( o , |
(5Л6; |
|
где еj ( t ) — среднее значение |
силы сухого |
трения |
/-го чувствительного элемента; |
Ej°(t)— рассеяние силы |
|
трения от среднего значения. |
|
|
204
Согласно уравнениям (3. 137) и (5. 16) движение си стемы с компенсацией сил сухого трения по среднему значению может быть описано следующей системой урав нений:
для перемещений по оси у
(Tp1Jr Rp)<o= — Фт(з); з —rij —т)2;
|
Еі (/) |
-I-/ с р > |
® + E- ^ - s i g n â a |
|||
К \ 1) Ф---- sign ал |
||||||
|
Е 3 ( П . |
|
|
I £ 4 ( 0 • |
||
- /С )3> <? — -y^sign а3 |
К[4) <РH--“ |
Sign а4 + |
||||
+ ег,°(/) |
при ау-^ 0 ; |
|
|
|
|
|
1?і + еА 0 |
ПРИ «/ = 0; |
|
|
|
[(5.17) |
|
для перемещений по оси х |
|
|
||||
|
|
|
||||
( |
|
-KW |
■ Бо(Г ) • . |
|
||
К W Т |
|
|
||||
|
<P+ -^ sig n а3 |
|||||
<р—-^ sign а2 -KW ср—і |
sign 04 + |
|||||
+ e/W |
при |
а;.^ 0 ; |
|
|
|
|
v%+ sA O |
при âj = |
Q, |
|
|
|
|
где приняты следующие обозначения: |
|
|
||||
?і = АГі?о1) ± |
^ ^ -sig n 8s1 (і); cpSI)=«p0, |
при <?0-= ®0і- = 0; |
||||
|
8*2 (О , |
|
|
|
при |
<р0= <р0/ ==0; |
|
sign8sz(f); сро°= ®0/ |
|||||
М О = К? \ (0 - |
|
(0 - |
К [ % (0 + К [ % (/); |
|||
8^7) = |
- KW^R) - |
K W ^ ) + KW^iiy, |
||||
sign a1=sign ay, |
|
|
|
|
|
K ± = K W + K W - K W - K W \ K i = K W + K W - K W - K W ;
/ер= Pk$Ч.Э j K„.wifjKs ', K s min -C K s K s ,
уч.э 3
(y = l,2,3,4); (£=1,2);
205
КІ-- |
л А . |
~ К н ыйУ]К С< |
К Ст1а< К с < К с шах’ |
||
С„ |
|||||
sm |
Y/ |
«Р |
еу’Con |
= |
K syjl<? + EJ]psignaj) ; |
sign aj |
|||||
cos |
YД |
<P+ |
~ p - sign i j | |
= ATcYy (д + ^ sign aJ : |
®ло= 2 |
-/(0 = 2 |
y=l |
/=1 |
Условием компенсации подобно тому, как это имело место для системы, рассмотренной в 3. 3, является сим метрия параметров чувствительных элементов относи
тельно оси у и равные скорости движения |
|
|
|||
к р = к р \ к [ ѵ = к р \ |
/a 3)= / q 4>). |
||||
При компенсации сил сухого |
трения |
уравнения |
(5.17) |
||
принимают вид |
|
|
|
|
|
{Т р" - j - R р) <р— — Ф -і(3)) |
3 — Ч і |
Чг’> |
|
||
^cp + ^ ^ -sig n S sT IÖ + s/fO ; |
âjSs. 0; |
|
|||
|
|
|
|
■ |
(5. 18) |
' К г ч + |
sign 8?T (Ä + |
(0 ; |
âj S |
0; |
|
% + £/( 0 ; |
“/= o . |
|
|
j |
|
Для системы, в которой при помощи устройства срав нения, изображенного на рис. 5. 1, помимо компенсации средних значений сил сухого трения осуществляется ком пенсация нескомпенсированных отклонений от средних значений сил трения. Согласно (5. 18) и (5. 14) можно записать
к « , л [ К І % І І)- |
К І Х (t) - |
[t)+ |
К І Х (/)] = |
||
-К1Ім2 |
|
|
+ |
|
(5.19) |
Используя |
(5.19), |
уравнение |
(5.15) можно |
представить |
|
в виде |
|
|
|
|
|
\ |
Чг—(А-] ^а1с? + £у°(0— |
(0 • |
(5. 20) |
206
При выполнении условий компенсации происходит некоторое ослабление полезного сигнала. Условия ком пенсации средних значений помех или условия компен сации средних значений остаточных сил сухого трения согласно (5.19) будут
К ХК [»)= К 2К["\ |
= К 2К™\ |
(5.21)
= к 2ц з)\ к хк [ ^ = к гк р .
5. 2. УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕБАНИЙ
ПРИ ДЕЙСТВИИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Исследование устойчивости колебаний сервомеханиз мов при учете случайных возмущений, выбор параметров их в зависимости от уровня случайных возмущений, соот ветствующих устойчивым движениям, удобно проводить, рассматривая их движения на фазовой поверхности. Этот метод является наглядным и простым [17].
Рассматриваемый класс сервомеханизмов описывает ся следующим обобщенным уравнением движения:
T x - { - R x = — k<S {Фх(а, г,Х, $,х)- \-п{х,х)-\-/(х, х)\,
(5. 22)
где Ф — нелинейная функция релейного типа; Фі — не линейная функция с зоной неоднозначности, вызываемой гистерезисами или силами сухого трения; а, е, х — пара метры системы, характеризующие нечувствительность реле, гистерезис или силы сухого трения и запаздывание в переключении реле; п(х, х) — полезный сигнал на вхо де системы; f(x, х) — функция, характеризующая адди тивное случайное возмущение с любым законом распре деления.
Функция f(x, х) может быть задана предельными от-
'клонениями по скорости и перемещению. Приведенные отклонения по скорости на входе системы с учетом от клонений по перемещению составят:
(5. 23)
где йпах, -Train — предельные значения отклонений систе мы по скорости с учетом случайных возмущений; і п — отклонение системы по скорости, отнесенное к полезному сигналу; і™ ах; — предельные значения отклонений
207
системы по скорости, отнесенные к действующим возму щениям.
Без учета случайных возмущений в системе имеют ме сто устойчивый предельный цикл и область устойчивых колебаний в пространстве параметров, если выдерживает ся определенное соотноше
ние параметров.
При наличии случайных возмущений могут иметь ме сто колебания с разбросом, определяемым отклонения ми Ду случайной величины от среднего значения и по лем разброса колебаний Д (рис. 5.3).
Для существования устой чивого предельного цикла необходимо, чтобы он не вы ходил за пределы области флуктуаций; налагаемые на предельный устойчивый цикл флуктуации будут возрас
тать по мере выхода цикла из области флуктуаций. Если размеры области флуктуаций превышают размеры само го предельного устойчивого цикла, определенного без учета случайных возмущений, то будут иметь место стоха стические движения. Для существования устойчивого предельного цикла без флуктуаций необходимо, чтобы он охватывал все возмущения, действующие на систему.
А. Установившиеся движения
Для рассматриваемого класса систем в установив шемся режиме работы возможно сформулировать и до казать следующие теоремы существования и устойчиво сти предельного цикла при учете внешних случайных возмущений [17]:
Т ео р ем а 1. В фазовом пространстве нелинейных си стем, относящихся к классу однокаскадных и имеющих в пространстве параметров области устойчивых колебаний, при наличии внешних случайных возмущений возможно область (или «трубку») разброса колебаний, определяе мую уровнем действующих возмущений, описать одним (или двумя) устойчивыми предельными циклами (если
208
уровень возмущений меньше амплитуды возможного цикла) и определить параметры системы, соответствую щие этим циклам.
Т ео р е м а 2. В фазовом пространстве нелинейных систем, относящихся к классу однокаскадных и имею щих в пространстве параметров области устойчивых ко лебаний, при наличии внешних случайных возмущений для существования устойчивого предельного цикла (от сутствия срывов, стохастических движений) достаточно, чтобы параметры исследуемой системы находились в пределах, определяемых из условия существования пре дельных устойчивых циклов по границам области (или «трубки») разброса колебаний.
Доказательство теоремы 1. Для класса систем, име ющих нелинейный аргумент релейной функции, обуслов ленный сухим трением (или гистерезисом) и запаздыва нием в переключении реле, функция последования точеч ного преобразования линий переключения «самое в себя» имеет вид
|
|1 — ѵ\ еаѵ = |
\и— К -[-11ес~аа |
(5.24) |
г р е ѵ = х а |
— амплитуда |
возможных колебаний |
по ско |
|
рости (и —ѵ)\ |
парамет |
|
a,bz, c — коэффициенты, характеризуемые |
|||
|
рами системы. |
|
|
Анализ |
(5. 24) показывает, что при т> 0 система име |
етодин предельный устойчивый цикл [при Fx(йх) > F2 (bz), а также и при т=0] или несколько предельных неустой
чивых и устойчивых циклов [при |
Д1(Йт)< [/72 (^т)]. |
|||
Из (5. 24) и (5. 23) |
следует |
|
||
где |
|
|
|
|
|
01т = |
2 а 1 4 |
- ( 1 —iß) (еТ| |
1 ) ' т і . |
|
--------------------------------- , |
|||
|
|
|
( 1 — Р) e’tl |
|
и |
_ |
2o2 + ( l - p ) ( e T* - l ) - t a |
||
|
т---------------------------------------- |
(1-Р) ет’
209
Анализ уравнений (5.25) показывает, что в системе при Р 1(Ьт;)^>Г^[ЬХ возможны два устойчивых предель ных цикла, определяемых уравнениями (5.25), описыва ющих «трубку» разброса колебаний, амплитуда кото рых по скорости составит
|
|
л-max - |
|
£іі ій); |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ля1 |
- |
|
|
|
|
|
|
(5. 26) |
||||
|
|
X’ |
|
:Ср(,Go , ^2, Aj)1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
■min. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
xal ■> xa2 ; |
xal > |
|
шах |
• |
'"'ln |
|
|
|
|
|
|
||
xa& Xf |
- |
.Xal . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Параметры системы (5.22) ауеуг, (/=1; 2), при кото |
||||||||||||||
рых |
возможно |
существование |
устойчивых |
предельных |
||||||||||
|
|
|
|
циклов с амплитудой |
коле |
|||||||||
|
|
|
|
баний можно определить |
из |
|||||||||
|
|
|
|
(5.26). |
|
При |
наличии |
не |
||||||
|
|
|
|
«трубки», |
а |
области |
раз |
|||||||
|
|
|
|
броса |
|
колебаний (d2 = 0) |
и |
|||||||
|
|
|
|
область описывается |
одним |
|||||||||
|
|
|
|
устойчивым |
|
предельным |
||||||||
|
|
|
|
циклом. |
|
|
|
|
теоре- |
|||||
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
|
|||||||
|
|
|
|
мы 2. |
|
Необходимым |
усло- |
|||||||
|
|
|
|
вием |
|
существования устой |
||||||||
|
|
|
|
чивого |
предельного |
цикла |
||||||||
|
|
|
|
на |
границе |
«трубки» |
раз |
|||||||
|
|
|
|
броса |
|
колебаний |
являются |
|||||||
|
|
|
|
равенства |
(рис. 5.4): |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ха2 — гіо, -Г ^2и |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5. 27) |
|
|
|
|
|
что следует из (5.25). |
Если |
|||||||||
|
|
|
|
образован |
устойчивый пре |
|||||||||
|
|
|
|
дельный |
ЦИКЛ |
.Tal или Ха2, |
||||||||
|
|
|
|
т. е. он существует вне обла |
||||||||||
|
|
|
|
сти |
или вне |
«трубки» |
раз |
|||||||
|
|
|
|
броса |
|
колебаний, |
то |
|
при |
|||||
|
|
|
|
всех |
возмущениях |
изобра |
||||||||
|
|
|
|
жающая точка |
стремится к |
|||||||||
|
|
|
|
значениям . .таі или .та 2 |
соот |
ветственно. Параметры системы, определяющие сущест вование граничных устойчивых циклов, будут находить ся в одной и той же области качественного состояния — области колебаний. При вырождении одного устойчивого предельного цикла в другой параметры системы изме-
210