книги из ГПНТБ / Аристов О.В. Основы стандартизации и контроль качества в радиоэлектронике учеб. пособие

ла, проведением многочисленных и громоздких экспериментальных определении п аналитических расчетов. Поэтому в таких случаях чаще всего используются числоівые характеристики случайных ве­ личин, получаемые на основании обработки определенного коли­ чества статистических данных и проверяют на согласие их с опре­ деленными теоретическими по гипотезированным законам распре­ деления.

Математическое ожидание М (X) .представляет собой среднее значение случайной величины в генеральной совокупности ее зна­ чений и определяется для дискретной случайной величины выра­ жением

Дисперсия D(X) определяет собой величину рассеивания зна­ чений случайной величины от математического ожидания для дис­ кретной случайной величины

1=1

Среднее квадратическое отклонение случайной величины равно квадратному корню из дисперсии:

Коэффициентом .вариации V называется отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Как видно из определения, коэффициент вариации показывает относительный разброс значений случайной величины. Для иллю­ страции данных формул определим основные параметры распре­ деления:

М(Х)=0-0,6561 + 1 -0,2916+2-0,0486+3-0,0036+4-0,0001 =0,4;

Д(Х)=0,6561 -(0—0,4)2+ 0,2916(1—0,4)2+ 0 ,0486 X

Х(2-0 ,4 )2+ 0 ,0036(3-0,4)2+0,0001(4—0,4)2^ 0 ,36;

о(Х) = І Л Щ = 0,6;

Согласно определению математического ожидания можно сде­

лать следующие выводы:

1) математическое ожидание имеет ту же размерность, что

изначения случайной величины;

2)математическое ожидание постоянной величины равно этой

постоянной, т. е. Л1(с) = с;

141

3) математическое ожидание суммы двух или нескольких слу­ чайных величин равно сумме математических ожиданий этих слу­ чайных величин, т. е-

М ( Х + у + . . . + w) = M(X) + M(y) + . . . -|-M(u>);

4) математическое ожидание произведения двух или .несколь­ ких независимых случайных величин равно произведению математичеоких ожиданий этих случайных величин, т. е.

5) математическое ожидание произведения случайной величи­ ны на постоянную равно произведению этой постоянной на мате­ матическое ожидание случайной величины, т. е.

М(сХ) = сМ(Х).

Перечислим свойства, которыми обладает дисперсия. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т. е.

D(c) = 0.

Дисперсия произведения случайной величины на постоянную равна произведению квадрата постоянной величины на дисперсию переменной, т. е.

D(cX)=c--D(X).

Рассмотрим законы распределения дискретных случайных ве­ личин, наиболее часто используемые при определении характерис­ тик надежности радиоэлектронных устройств. Таких распределе­ нии три.

Б и н о м и а л ь н о е р а сп р е д е л е и и е. Это распределение образуется в тех случаях, когда из партии на выбор берут изделие,

возращают в партию и т. д. Вероятность того, что из п испытан­ ных изделий будут работоспособными т изделий, тогда равна:

Биномиальное распределение имеет место при ряде независи­ мых испытаний, в каждом из которых вероятность появления собы-

142

тия неизменна .и равна р. Его употребляют при статистическом контроле, когда объем выборок .не превышает десятой части объе­ ма .всей партии. В частности, он справедлив для числа отказов, когда 'количество испытаний заранее фиксируется, для числа от­ казов за определенный промежуток времени и т- п. Отметим, что

миальное распределение является весьма сложным для вычисле­ ний. Выражение (12) с определенным приближением может быть преобразовано в более простое. Оно называется законом Пуассона

где а = пр.

Формулы, определяющие характеристики этого распределения,

Данному закону подчиняются многие случайные величины, кото­ рые подчиняются и биномиальному закону. Кроме того, закон Пуассона имеет самостоятельное применение в тех случаях, ког­ да вероятность появления событий в малом промежутке времени At пропорциональна времени t и они независимы. Этим распре­ делением пользуются при расчете нормативов приемочно-статисти­ ческого контроля, при определении .показателей надежности ра­ диоламп при малых р (а при /?>0,1 пользуются биномиальным распределением). По закону Пуассона раопределяются случайные числа отказов восстанавливаемых изделий (в частности, радио­ аппаратуры), что дает возможность более широко использовать это распределение в расчетах надежности восстанавливаемых из­

распределение используется в тех случаях, когда из партии берут изделие, определяют его работоспособность, после чего ооратно в партию его не возвращают, затем испытывают второе изделие, третье и т. д. При этом закон распределения, выражающий веро­ ятность того, что из и проконтролированных изделий раоотоспосооиыми будут т, запишется в виде формулы

143

проверяемое изделие — водное.

Гипергеометрическому распределению подчиняются, например, распределения числа отказавших изделий, если испытания про­ водились при бссповторных выборках. Причем при п=0,1 b гипергеометричеокое распределение приближается к биномиальному.

§ 25. Непрерывные случайные величины

Существуют случайные величины, .возможные значения которых не отделены друг от друга, а непрерывно заполняют некоторый промежуток, например, время исправной работы устройства, вели­ чина отклонения определенного размера изделия от заданного, время ремонта изделия: величина погрешности измерений и т. д.

Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называют непрерывными случай­ ными .величинами.

Значения непрерывных случайных величин невозможно пере­ числить, так как их бесконечное множество. Как способы задания, так и способы описания и представления распределений непрерыв­ ных величин принципиально отличаются от рассмотренных выше соотношений и изборажений законов и характеристик для дискрет­ ных случайных величин. Это определяется в первую очередь тем, что отдельные значения непрерывной случайной величины имеют вероятности, стремящиеся к нулю. Именно поэтому для непрерыв­ ной случайной величины невозможно составить таблицу распреде­ ления или построить многоугольник распределения. В то же время при решении ряда практических задач возникает необходимость такого представления функции распределения, которое можно бы­ ло бы использовать и для непрерывных случайных величин. Лю­ бой замер непрерывной случайной величины в связи с ограничен­ ностью измерительных средств можно задать только в дискретной форме. Поэтому несмотря на различные физические понятия дис­ кретных и непрерывных случайных величин, графически результа­

144

ты их замеров изображаются одинаково: многоугольником распре­ деления и ступенчатой функцией распределения. Однако, если для дискретных случайных величин это полностью оправедливо, то для непрерывной случайной величины такое графическое сходство только приближенно соответствует истине, и это соответствие тем точнее, чем меньше величина интервалов между соседними заме­ рами непрерывной величины (очевидно, ограниченная точность измерительных приборов не позволяет сделать величину этого ин­ тервала как угодно малой).

Итак, при рассмотрении законов распределений дискретных случайных величин мы имели дело с вероятностью события X =х, что для непрерывных величин, как уже указывалось, неприемлемоДля получения функции распределения, применимой для зада­ ния как дискретных, так и непрерывных случайных величин, удоб­ но пользоваться вероятностью события Х<х. Функция вида F(X)=P (Х<х) называют функцией распределения случайной

величины или интегральной функцией распределения.

В отличие от функции распределения дискретных величин, имеющей ступенчатый вид, для непрерывных величин она имеет непрерывную зависимость. Для непрерывной случайной величины функция распределения имеет вид:

интервала, начинающегося в точке х. Тогда величина------------------

будет с определенной степенью точности равна плотности распре­ деления вероятностей данной переменной величины, и чем мень­ ше Дх, тем эта точность выше.

Таким образом, можно записать

Следовательно, плотностью распределения вероятностей или плот­ ностью вероятности) называется производная от функции распре­ деления:

145

распределения или дифференциальным законом распределения. Очевидно, плотность вероятности является функцией, определяю­ щей изменение вероятности значений переменной случайной вели­ чины в зависимости от изменения этих значений.

Вернемся к рассмотрению функции распределения непрерыв­ ных случайных величин. Как следует из определения, функция распределения F (х ) определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение, не превосходящее некоторой пере­ менной X. Из этого можно сделать следующие выводы:

функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, то есть при хо ^>Х\

F(x2)>F(Xl)\

при X = — 5/5 функция распределения равна 0: /Ч—и) =0;

при X = + ^ функция распределения равна 1:

/=•( + е«)=1.

Очевидно, функция распределения любой случайной величины начинается с нуля и достигает единицы.

Иначе чем для дискретных случайных величии, для непрерыв­ ных случайных величин выражаются и две основные характеристи­ ки распределения — .математическое ожидание и дисперсия:

-LZO

А1(х) = j .у • ф(.г) • dx\

— со

D(x) = +Cx-<f(x)-dx— [M(x)\-.

—со

Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации определяются по формулам (20) и (21).

Свойства математического ожидания и дисперсии, приведенные в предыдущем параграфе, являются общими независимо от тогоопределены они для дискретных или непрерывных случайных вели­ чин.

Рассмотрим наиболее употребительные при расчете надежности радиоэлектронных систем распределения непрерывных случайных величин: нормальное распределение, распределение Вейбулла іт

распределения является предельным для других законов распреде­ ления: биномиального, Вейбулла и т. д., что доказывается цент­ ральной предельной теоремой.

Этому закону подчиняются (с определенной степенью точности) большие числа независимых случайных величин, распределенных по

146

любому закону и тем точнее, чем больше число таких случайных величии. Необходимым ограничением при этом является равно­ мерно малое значение отдельных случайных величин. При невыпол­ нении последнего условия (если значения одной или нескольких случайных величин будут резко превышать другие) изменится характер распределения в сторону тех закономерностей, по кото­ рым распределяются случайные івеличины, значителыно превышаю­ щие остальные.

Как доказывается в центральной предельной теореме, сумма большого количества распределений, подчиненных разным законам, образует распределение, приближающееся к нормальному, тем ближе, чем больше таких распределений образуют данную компо­

По данному закону распределяются сроки службы многих ма­ шин и приборов, а также ошибки и погрешности измерений. Нор­ мальное распределение широко используется при исследовании ме­ тодами математической статистики качества изделий, стабильнос­ ти технологических процессов и т. п.

147

Данное распределение является довольно сложным для вычис­ лений, так как имеет два постоянных параметра, оно использует­ ся при расчете надежности некоторых элементов радиоэлектрон­ ной аппаратуры, изделий машиностроительной промышленности и т. п.

Э к с п о н е н ц и а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е . В тех слу­ чаях, когда параметр т — 1, случайные величины, распределенные по закону Вейбулла, могут быть описаны более простыми выраже­ ниями, характеризующими экспоненциальное распределение

Характеристики этого распределения определяются по форму­

148

оно имеет только один постоянный параметр % . Данное распреде­ ление находит широкое применение при расчетах надежности радиоэлектронных устройств; ему подчиняются распределение вре­ мени до первого отказа, распределение времени между двумя последовательными отказами при работе устройства з установив­ шемся режиме и т. п.

При статистической обработке результатов контроля опреде­ ляют также следующие характеристики распределений:

моду — наиболее часто встречающееся значение признака;

размах — разность между наибольшим и наименьшим значения­ ми случайной величины в выборке.

Аппарат теорий вероятностей и математической статистики находит широкое применение при решении различных вопросов, связанных с качеством изделий. Работники служб стандартизации и качества широко используют его в своей конкретной деятельнос­ ти, направленной на повышение качества изделий.

Гл а в а 7. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

§ 26Терминология

Всесоюзным научно-исследовательским институтом стандарти­

удовлетворять определенные потребности в соответствии с ее наз­

свойствам продукции можно отнести точность, стабильность, эконо­ мичность, надежность работы изделия и т. п.

Количественной характеристикой свойств продукции, входящих в состав ее качества (применительно к определенным условиям ее создания, эксплуатации или потребления), является показатель

качества продукции.

Показатели качества могут быть единичными, комплексными,

интегральными и базовыми.

Е д и н и ч н ы й п о к а з а т е л ь к а ч е с т в а — это показатель качества продукции, относящийся только к одному из ее свойств. Например, единичными показателями качества усилителей низкой частоты будут коэффициент нелинейных искажений, выраженный к процентах, а также неравномерность частотной характеристики и динамический диапазон, выраженные в децибеллах, и т. п.

149

К о м п л е к с н ы м п о к а з а т е л е м к а ч е с т в а п р о д у к ­ ции называется такой показатель качества продукции, который относится к нескольким ее свойствам. С помощью данного показа­ теля можно в целом охарактеризовать качество того пли иного про­ мышленного изделия. Разновидностью комплексного показателя качества, позволяющего с экономической точки зрения определить оптимальную совокупность свойств изделия, является интеграль­ ный показатель качества продукции. Это комплексный показатель качества, который отражает соотношение суммарного полезного эффекта от эксплуатации пли потребления и суммарных затрат иа создание, эксплуатацию или потребление продукции. Для опреде­ ления относительной характеристики качества продукции использу­ ют базовый показатель качества продукции, принятой за исходную при сравнительных оценках качества.

Относительной характеристикой качества продукции, основан­

При этом, важнейшими являются вопросы, связанные с научно обоснованным (объективным) определением уровня качества того пли иного вида промышленной продукции в форме, удобной для сопоставления, и с разработкой методов и средств контроля пока­ зателей качества продукции. Перечисленные задачи тесно связаны, так как невозможно разработать методы .и средства контроля ка­ чества изделий, если не определены важнейшие показатели качест­ ва для конкретных групп изделий, методы их оценки и область оп­ тимальных значений.

Важнейшим вопросом при этом является объективное определе­ ние уровня качества изделия. Решением этого вопроса занимает­ ся новое научное направление — квалиметрия.

Квалиметрия разрабатывает принципы и способы количествен­ ной оценки и измерения уровня качества.

Поясним подробнее понятие «уровень качества». Поскольку под качеством изделий понимается совокупность свойств, отно­ сящихся к его потребительской стоимости, то и произвести оценку уровня качества — значит объективно оцепить комплекс важнейших ■его свойств. В то же время, чтобы судить о качестве изделия, мало располагать данными о всех важнейших свойствах данного продук­ та труда, необходимо также учитывать условия, в которых он будет использоваться. Например, если сравнивать усилители низкой час­ тоты с выходными мощностями 10 Вт и 100 Вт и с разными прочими показателями, за исключением, естественно, потребляемой мощнос­ ти, габаритных размеров и стоимости, то можно считать, что потре­ бителю, предполагающему использовать данные изделия в боль-

150