книги из ГПНТБ / Аристов О.В. Основы стандартизации и контроль качества в радиоэлектронике учеб. пособие

Если при .выполнении комплекса условий при одном испытании

тельного (потенциала являются несовместными событиями. Возник­ новение же амплитудных и частотных искажений у выходных сиг­ налов усилителя — совместные события.

Если из двух или нескольких событий во время опыта одно обязательно должно совершиться, то такие события образуют пол­ ную группу. Так, при подаче напряжения литания на симметрич­ ный двухтрашшеторный триггер полную группу образуют следую­ щие события: правый транзистор открыт, левый транзистор открыт или правый триод закрыт и левый триод заікрыт.

Если полную группу составляют несовместные события, то их иазыівают п р о т и в о п о л о ж н ы м и ! . Например, противополож­ ными являются события: замыкание и размыкание контактов обыч­ ного электромагнитного реле-

Перейдем теперь к законам 'взаимодействия событий. При этом

тоящее в появлении хотя бы одного из данных событий. Напри­ мер, если система состоит из трех ламп накаливания, соединенных последовательно, то событие В, состоящее в том, что система отка­ жет, выражается как

§ 22. Вероятность события

Перейдем теперь к понятиям «частость события» и «вероят­ ность события».

Если, например, провели испытание 100 устройств на работо­ способность и при этом установили, что при нз «их неисправны, то

3

частость неисправных устройств определяется как oTiioineiriie-jQQ=

= 0,03. В общем случае под частостью некоторого события W по­ нимают отношение числа его появления М к числу всех произведен­ ных испытаний, в каждом из которых это событие одинаково воз­ можно N, т. е.

= - Л -

с увеличением числа испытаний эти отклонения уменьшаютсяСле­ довательно, может считать, что для любого случайного события А всегда можно указать такое число Р и что при достаточно боль­ шом числе испытаний, происходящих при одинаковом комплек­ се условий, частость событий оказывается приблизительно равной этому постоянному числу.

Таким постоянным значением является количественная мера степени объективной возможности появления событий при одном

ляется отношением числа благоприятствующих событию А случаев к общему числу всех возможных случаев:

Пусть В — событие, состоящее в том, что два одновременно выбранных из­ делия бракованные. Определим для указанных условий вероятность появления

132

события В. Как известно из алгебры, общее число таких случаев определяется числом сочетаний из 5000 по 2, т. е.

тически определить вероятности простых событий. Для проведения таких расчетов необходимо знать основные теоремы теории вероят­ ностей: теорему сложения вероятностей и теорему умножения веро­ ятностей.

Согласно теореме сложения вероятностей вероятность суммы

которые благоприятствуют одновременно событиям А и В. Следо­ вательно, событию Л +Д благоприятствуют m + k случаев:

Р{А+ В ) = ^ = -ZL + ± = Р ( А ) + Р ( В ) .

133

Математически эту теорему можно выразить следующим образом:

Р( Ü А-) = 2 Р{А,). i=i i=i

Пример. Пусть в партии, состоящей из 100 транзисторов, 9 не соответствуют стандарту только по коэффициенту усиления, 8 — только по верхней граничной частоте, а 7 — только по величине теплового тока.

Определим вероятность того, что любой на выбор транзистор будет нестан­ дартным.

Обозначим событие А — взятый наугад транзистор нестандартный, события Л], .42 и 71з — взятый наугад транзистор нестандартный, соответственно, по ко­

Согласно формуле (2) имеем

РІА) = РІА, + Л2+ А3) = РІА,) + Я(Л2)+ Р(Л )

и окончательно

РІА) = 0,09+ 0,08 -Ь0,07 = 0,24.

Для того чтобы перейти к теореме умножения, необходимо дать определение зависимым событиям.

Событие А называется н е з а в и с и м ы м, если его вероятность

Первый случай. Пусть проверенный прибор возвращается в партию. В этом случае события 71 и В независимы и

Р ( А ) = Р ( В ) = 0,2.

Второй случай. Проверенный прибор не возвращается в партию. В этом слу­ чае вероятность события А зависит от исхода события В. Так, если первый про­ веренный прибор был исправен, то

Я(Л )-0 ,2 2 ,

аесли он был неисправен, то вероятность того, что второй испытываемый при­ бор будет дефектным приблизительно равна 0,Ы. Вероятность события А при

условии состоявшегося события В называется условно вероятностью события В п обозначается

Р( А / В ).

Вданном примере, для первого случая

Р ( Л ) = Р ( А / В ) = 0,2

и для второго случая

Я( Л )= 0,2, Р ( А І В ) ъ 0,11.

Таким образом, если А и В независимы, то

Р ( А ) = Р ( А / В ) .

Согласно теореме умножения вероятностей вероятность произ' ведения двух событий равна произведению вероятности первого со­

134

бытия на вероятность второго, вычисленную при условии состояв­ шегося первого события:

Р(АВ)=Р(А)-Р(В/А). (13)

Докажем это. Пусть событию А благоприятно а случаев из п возможных, а событию В — в случаев. Так как условие несов­ местности в теореме отсутствует, то возможны случаи, благоприят­ ствующие событиям А и В одновременно. Допустим, имеем с та­ ких случаев. Тогда:

Р{АВ)=±-, Р ( А)=± - .

Считая, что событие А произошло, из ранее возможных вари­ антов остаются только те а, которые благоприятствуют этому со­ бытию. Из них с случаев благоприятны событию В. Тогда услов­ ная вероятность события В, три условии, что событие А произошло

Р(АВ)=Р{А)-Р(В).

Вероятность произведения 'независимых событий в общем случае определяется выражением

Вернемся к последнему примеру. Определим вероятность того, что два после­ довательно испытанных прибора будут неисправны. Обозначим события: А — появление двух дефектных приборов при последовательных испытаниях; /1( — появление дефектного прибора при первом испытании; Л2 — появление дефект­

тий, одним из которых может быть событие А. В этом случае со­ бытия Н1, # 2, . • • , Нц называются гипотезами. Тогда вероят­

135

ность события А определяется суммой произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события А при этой же гипоте­ зе, т. е.

в е р о я т н о с т и . Приведем доказательство правомерности данной формулы. Согласно условию, вероятности Я,, Я2 . . . , Нп состав­

товления дефектных диодов составляет 0,01, на втором — 0,02 п на третьем —

Нередко требуется определить условную вероятность гипотезы, используя известные вероятности гипотез, условные вероятности

136

событий при данных гипотезах, а также вероятности событий. В этих случаях используют формулу Байеса пли так называемую тео­ рему гипотез. В общем виде она выражается формулой

где 1, 2, 3, . . . п .

Необходимо отметить, что данная формула справедлива, если Н и . .. , Н п составляют полную группу несовместных гипотез.

Пример. Соревнуются два стрелка. Стрелок, попавший первым в мишень, признается победителем. Первый стрелок попадает в мишень девять раз из де­ сяти, а воторой — семь раз из 10. В то же время второй стрелок стреляет быст­ рее — за то время, за которое первый стрелок сделает 80 выстрелов, второй— 120 выстрелов. Требуется определить, победа какого стрелка более вероятна.

Согласно условию, из каждых 200 выстрелов первый делает 80, а второй— 120. Очевидно, вероятность того, что любой взятый наугад выстрел сделан первым стрелком (верояность гипотезы) равна

80

а вторым

Я(Яа) = 200120 = 0,6.

Вероятность попадания первого и второго стрелков при данных гипотезах со­ гласно условию соответственно равна:

Р { А / И ,) = 0,9; Р ( А / Н п ) = 0,7.

Здесь событие А есть поражение мишени. Согласно формуле полной вероятности (5), получаем

Я(.4) = 0,4-0,9+0,6-0,7 = 0,78,

т. е вероятность того, что любой взятый наугад выстрел будет удачным, равна

0,78.

По формуле Байеса (16) определим вероятность того, что первый удачный выстрел сделает первый стрелок

Аналогично можно определить, что первое попадание явится следствием выст­ рела, произведенного вторым стрелком

Очевидно, что победа второго стрелка при заданных условиях более вероятна. Последнее вычисление не является необходимым, так как события и H*JA составляют полную группу и являются несовместными:

P ( H J A ) + P ( H 2I A) = 1.

Ответ может быть получен путем нахождения только

Р ( H J A ) .

137

§ 24Дискретные случайные величины

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными. Д и с к р е т и ы м и с л у ч а й и ы м и в е л и ч и и а м и называют такие случайные величины, которые могут принимать значения, от­ деленные друг от друга конечными промежутками. Причем, их чис­ ло можно заранее перечислить: случайное количество деталей в партии, случайное число отказов устройства в единицу времени, случайное число часов непрерывной исправной работы изделия —

Соотношение, устанавливающее связь между возможными зна­ чениями Х и Х2, . ■., X „ случайной величины X и их вероятностя­ ми Р и Р2, . . ., Рп называется законом распределения случайной величины. Очевидно, чтобы полностью описать пли задать случай­ ную величину, .необходимо определить ее закон распределения. Последний может быть представлен ;как в аналитической, так и в графической форме.

Аналитический закон распределения задается в следующем виде:

Р(Хі) = Ф (^),

т. е. вероятность возможных значений случайной величины выра­ жается в виде определенной функции этих значений. Примером та­ кого выражения может служить формула для вычисления вероят­ ности появления события т раз при п испытаниях

1 Выборкой (выборочной совокупностью) называют часть единиц гене­ ральной совокупности, т. е. совокупности, над которой производят наблюдение.

138

ным, составляет Я = 0,1 и наоборот вероятность того, что он не будет дефектным, составляет q= \ —р = 0,9.

Очевидно, ів выборке из четырех изделий возможны пять слу­

Используя формулу (7), последовательно получаем значения иско­ мого •распределения:

Рол = С" • 0,10 • 0,94-° = 0,6561;

Ріа = С] -0,11-0,94- 1=0,2916; р.2Л= С*• 0,12 ■0,9,|_2= 0,0486; РЪА= С\ - 0,13 • 0,94- 3= 0,0036;

Р,,, = С- 0,11-0,94- 4 = 0,0001.

Нетрудно видеть, что

2Рт,п= 1 .

п: ~ 0

Полученное распределение можно свести в так называемую таб­ лицу распределения (та'бл. 11).

распределения.

Многоугольник распределения строится в прямоугольных коор­ динатах: по оси абсцисс откладываются возможные значения слу­ чайной величины X, а по оси ординат — соответствующие им веро­

ятности (рис. 20).

Иногда удобнее пользоваться другой характеристикой распре­ деления вероятностей случайной величины, называемой функцией распределения случайной величины X, которую строят, суммируя все значения вероятностей, находящихся слева от данного значе­ ния случайной величины. Функция распределения приведена на

рис. 21.

139

Очевидно, в общем случае для дискретной случайной величины функция распределения представляет собой разрывную ступен­ чатую функцию, конечное значение которой F(X) = 1.

Рис. 20. Многоугольник распределения

Рис. 21. Функция распределения случайной величины X

Часто на практике определение законов распределений свя­ зано с получением большого количества статистического материа­