книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Основы автоматики и телемеханики. Конспект лекций учеб. пособие

В

самом

деле,

в ы р а ж е н и е

(6-12)

м о ж н о

представить

в

виде

ряда

о»

(ft+lW<

h(t)

=

—V

f

Д ( ш ) . - ^ Л п ,

(6-13)

Л ^

J

CO

k=0

knit

п р и э т о м

ф у н к ц и я

<o- 1

• sin cof

на

и н т е р в а л е

{knit,

(k

+

\)n/t)

л и б о положительна,

л и б о

отрицательна .

П о с к о л ь к у

-

j —

< 0 ,

то ряд (6-13)

является

з н а к о п е р е м е н н ы м

убывающим,

поэтому,

ограничиваясь

в нем

первым

членом,

получаем

я

J

со

о

<

Л

T^SL

<fc> =

1,18

R (0)

= 1,18

hucm. .

J

со

о

3.

Критерий

монотонности.

Ч т о б ы

h(t)

была

м о н о т о н н о й

ф у н к ц и е й ,

достаточно,

чтобы

В Ч Х з а м к н у т о й

системы была

п о л о ж и т е л ь н о й

ф у н к ­

ц и е й

с

отрицательной

и

м о н о т о н н о

в о з р а с т а ю щ е й

произ ­

в о д н о й

(рис .

6-4,6).

4.

Критерий

для

нижней

границы

времени

регулиро~

вания.

Если

R((o)>Q

н а

.интервале

частот

1[0, со„]

(рис. 6-4,с?),

то ts>

.

5.

Н а л и ч и е

резкого

экстремума

на

частоте

с о т

в

В Ч Х

(рис . 6-4,в) свидетельствует о колебательном

п р о ц е с с е

с

собственной

частотой,

б л и з к о й

к .сот .

Ч т о б ы

воспользоваться у к а з а н н ы м и

о ц е н к а м и

качества,

н е о б х о д и м о

иметь

i?(co). М е ж д у

тем

в

р а с п о р я ж е н и и

чаще

всего

имеется

Л А Ч Х

и

Ф Ч Х

р а з о м к н у т о й системы

L(a>)

и

ф(со).

Н е т р у д н о

указать

связь

м е ж д у

э т и м и характеристи ­

ками.

П о с к о л ь к у

к о м п л е к с н ы й

к о э ф ф и ц и е н т

р а з о м к н у т о й

системы

м о ж н о

представить

в

виде

(3-24), то

для

замкну­

т о й системы

WJjco) =

=

I

А (со) +

dJW

,

1+ЛМ/со)

cos <р (со)— J sin <р (со)

О с в о б о ж д а я с ь

от и р р а ц и о н а л ь н о с т и

в знаменателе,

полу­

чаем

. #(©) =

Re

№3 (/со)

А (со) [А (со) +

cos ф (со)]

(6-14)

/ I 2 (со) + 2Л (со) • cos ф (со) + 1

П о

этой

ф о р м у л е

построены

R-номограммы

(рис.

6-5),

по

которым

легко

построить

^(со),

имея

А (со) и

ф(со).

П р и

этом

значения

амплитудно - частотной

х а р а к т е р и с т и к и

р а з о м к н у т о й

системы

даны в децибелах .

Рис. 6-5

З н а ч е н и я Ф Ч Х даны как

для

положительных, так и

для

отрицательных

з н а ч е н и й

фазы,

поскольку

входящая

в

(6-14)

ф у н к ц и я

cos ф

является четной . Заметим, что неза­

висимо

от ф а з ы

ф, как

следует из (6-14):

/ ? ( < B ) S ? 1 при

А ( с о ) > 3 1 , 6 2 = 3 0

дб,

# ( с о ) = 0 п р и А ( с о ) < ( 3 1 , 6 2 ) - 1 = - 3 0 ' 5 с 5 .

П о э т о м у д и а п а з о н

{—30

дб,

+ 3 0 дб]

н а з ы в а ю т сущест­

венным

динамическим

д и а п а з о н о м С А Р :

если

л о г а р и ф м и ч е -

8—291

U3

с к йё

х а р а к т е р и с т и к и

двух С А Р

совпадают

в

этом

диапа ­

з о н е

и

различаются

вне

его,

то

их

В Ч Х

различаются не'

б о л е е

чем

на

2,5%.

Различие

ж е

в

и х

.переходных

ф у н к ­

ц и я х

будет

столь

ж е

незначительным

|[3]. Т а к и м

образом,

качество

С А Р

полность ю

определяется

х а р а к т е р о м

частот­

ных х а р а к т е р и с т и к

в у к а з а н н о м динамическом

диапазоне .

В

ряде

случаев

(при

расчете

следящих

систем,

а

т а к ж е

н а х о д я щ и х с я

под

действием

п е р и о д и ч е с к и х

возмущений )

использую т

у п р о щ е н н о е

с у ж д е н и е о

качестве

п о з н а ч е н и ю

показателя

колебательности

м

_

max

[ W3

(/to) \

к о т о р о е

связано с

показателями

качества,

рассмотренным и

переходного

п р о ц е с с а

максимальное

п е р е р е г у л и р о в а н и е

д о л ж н о быть

у= (10-7-30).%.

П р и

этом,

если

амплитудно - частотная

х а р а к т е р и с т и к а

исследуемой

системы близка

к аналогичной

х а р а к т е р и с т и к е

колебательного

звена,

к о т о р о е

м о ж н о

характеризовать

показателе м

колебательности

Мт=

(2\ УI

— £ 2 ) - 1 ,

£ < 0 , 7 0 7

и

частотой

резонансног о

п и к а

со,п,

то

для ^обеспечения

пере ­

регулирования

в у к а з а н н о м

д и а п а з о н е

достаточно

обеспе ­

чить

[2]'

М т = 1 , 1 - М , 5

и л и з а п а с

по

ф а з е

(находится из

L(xa)

и

ф(со))

(Д<р=30о +-50о .

П о с л е д н е е

условие

ш и р о к о п р и м е н я ю т

на

практике .

§

6-3-1.

О ц е н к а

качества С А Р

с т и п о в о й

Л А Ч Х

п о номограммам

Если

система

является

м и н и м а л ь н о - ф а з о в о й

и

имеет

т и п о в у ю

Л А Ч Х

(см.

рис .

6-6,

где

ц и ф р ы

п о к а з ы в а ю т

н а к л о н асимитот),

т о

все

у к а з а н н ы е

в

§

6-2

п о к а з а т е л и

п е р е х о д н о й ф у н к ц и и могут

быть

н а й д е н ы

из

номограмм {2].

Если- Л А Ч Х

отличается

от

т и п о в о й в н е

д и а п а з о н а

(—30

дб,

+ 30

дб],

то

и с п о л ь з о в а н и е

н о м о г р а м м

приведет

к

весьма

К а ж д о й

Л А Ч Х

с у к а з а н н ы м и

п а р а м е т р а м и

соответствует *

в п о л н е о п р е д е л е н н а я

передаточная

ф у н к ц и я

т и п а

WP(p)=^

/г(1+-рсо7У

—

,

(/,

г = 1 , 2 ) .

(6-156)

З а д а в а я

значения

параметров

(б-15а), можнорассчитать

для

соответствующей

системы

(6-156) п е р е х о д н у ю

ф у н к ­

ц и ю

li(t)

и

указать

показатели

качества

ts,

tp,

Km,

(Oj,

Mm, com.

Вначале

по

о т н о ш е н и ю

находят

н у ж н у ю группу

номо -

грамм.

П р и

(0С

что

достаточно

иметь

всего

э т о м оказывается,

пять

групп

номограмм

СОз

= 1 , -

2,

4,

8,

со .

З а т е м

п о

для

CUC

н а к л о н а м

асимптот

АВ

и

CD

(см.

рис. 6-6)

находят

саму

номограмму .

Т а к и х

номограмм

в группе,

очевидно,

м о ж е т

быть

четыре .

О б щ е е

количество

номограмм,

следовательно,

равно

20.

Н а

номограмму

н а н е с е н ы

значения

остальных

т р е х . параметров,

причем,

для

величины

ц — д и с к р е т н о

().i=80,

60,

40,

30, 20).

\

Н о м о г р а м м а

(пример

ее

п о к а з а н

на

рис. 6-7)

состоит

из

двух

и

т-г

'

u

номограмме

в

зависимости

от

C0l

частей .

П о в е р х н е й

сос

8*

115

и Ц м о ж н о

н а й т и hm

и Мт.-

П о н и ж н е й

номограмме нахо -

Дят — и — ,

а т а к ж е

coc -rs ,

uv-Гр. З н а я

шс , легко н а й т и cot,

С£»с С0С

Jl=80

<5V7

3D

20

0,01

0,1

cot/u)c

Рис.

6-7

Ит, 4, ^ Р - Е с л и

действительное

з н а ч е н и е

ц, отличается от

д а н н ы х на номограмме

д и с к р е т н ы х

значений,

то пользуются

л и н е й н о й и н т е р п о л я ц и е й .

§ 6-3-2. П о с т р о е н и е п е р е х о д н о й ф у н к ц и и

п о ВЧ Х з а м к н у т о й системы

Если

система

имеет н е т и п о в у ю

Л А Ч Х

или является

неминимально - фазовой, т о

строят

н е п о с р е д с т в е н н о h{t),

используя

в ы р а ж е н и е

(6-12).

О д н а к о

н е п о с р е д с т в е н н ы е

расчеты

п о н е м у

весьма

трудоемки .

И д е я

у п р о щ е н н о г о

п о с т р о е н и я такова.

Х а р а к т е р и с т и к у

^ ( с о ) ,

п о с т р о е н н у ю

в

натуральном

м а с ш т а б е

по оси

частот,

а п п р о к с и м и р у е м

стандартными

х а р а к т е р и с т и к а м и

i?,c (w): .

N

Я ( с о )= £

Rnc

(со),

А п п р о к с и м и р у я

ее ломаной,

получаем достаточно т о ч н о е

п р и б л и ж е н и е

с п о м о щ ь ю

трех т р а п е ц и й (рис. 6-9,6),

Рис. 6-9

для к а ж д о й из которы х находится своя /г-функция.

П е р е й д я

для

.каждой

составляюще й

к

натуральному

времени

з

tf=T-cu<f\

получаем

h(t)=H

hnC(t)

(рис . 6-9,в).

§

6-4. И н т е г р а л ь н ы е

о ц е н к и

качества

п е р е х о д н о г о п р о ц е с с а

О ц е н к и основаны

на использовании интегралов

по

вре­

м е н и

от о ш и б о к регулирования и ф у н к ц и й от них. В общем

виде

интегральная

о ц е н к а

имеет

вид

JP

=

] F (e(t)-eycm,

t)dt,

(6-18)

6

где e(t)

— о ш и б к а

регулирования;

е у с т — ее установившееся

значение .

Ф у н к ц и ю

F в

(6-18)

в ы б и р а ю т так,

чтобы

о ц е н к а /

вычислялась

н а и б о л е е

просто

и

в

то ж е

время

характери ­

зовала качество САР, пр и этом

о ц е н к у находят

косвенным

образом,

не находя

e(t). П о н я т н о ,

что чем меньше

о ш и б к а

р е г у л и р о в а н и я (по амплитуде

и п о д л и т е л ь н о с т и ) ,

тем каче­

ственнее

системы,

тем меньше

д о л ж н а

быть

величина

в (6-18).

Н а и б о л е е

п р о с т о

вычисляются

интегральны е

о ц е н к и ,

когда

ошибк а регулирования

определяется в

р е ж и м е

отра-

б о т ки единичного ступенчатого воздействия . В этом

случае

<?уСТ =

е с т , п о э т о м у

для

астатических

по

о т н о ш е н и ю

к

воз ­

действи ю

систем,

где

еСт — 0,

интегральная

о ц е н к а

п р и н и ­

мает

более п р о с т о й вид

JF=JF(e(t),

t)dt.

о

Н а и б о л ь ш е е р а с п р о с т р а н е н и е

получили

о ц е н к и :

/ , = " j

e{t)dt

(6-19)

о

— л и н е й н а я

интегральная

оценка,

J2=[e2{t)dt

(6-20)

Ъ

— квадратичная

интегральная

оценка .

В последне е время в связи с

развитием

аналитического

конструировани я систем р е г у л и р о в а н и я

н а ч и н а ю т

приме ­

няться т а к ж е

о ц е н к и

вида

j v

=

jv(e,

е,

ё ,

. . .

)dt

о

— о б о б щ е н н ы е

интегральные

оценки,

где

V — квадратичная

ф о р м а вида

V = e* + № +

.

. . + p V

п р и этом

{р\-} — весовые

к о э ф ф и ц и е н т ы .

О д н а к о

каждая

отдельно

вычисленная

о ц е н к а

в

виде числовой величины ил и в ы р а ж е н н а я через

п а р а м е т р ы

системы ничего не говорит о качестве системы и тем

более

не дает в о з м о ж н о с т и

определить

таки е п о к а з а т е л и

качества

переходног о

процесса,

к а к ^ , hm и др. Конечно, чем

меньше

оценка, тем л у ч ш е система

(для

идеальной

системы

регу­

лирования, в

к о т о р о й

не

возникае т

о ш и б о к

д а ж е

в

переход ­

н ы х

процессах,

JF=0),

п о э т о м у

если

в

системе

имеется

возможность

менять

, параметр ы

а\,

аи

(рис.

6-10,д),

то из

двух

в о з м о ж н ы х

наборо в

параметров {<^пХ)}

и

{а™ }

надо

выбрать

тот,

к о т о р ы й

дает

н а и м е н ь ш у ю

о ц е н к у

JF

(на рис . 6-10,6 видно,

что

п р и

н а б о р е параметров

{я£2> )

система

имеет

л у ч ш е е

качество

переходног о

п р о ц е с с а

п р и

о т р а б о т к е

единичного ступенчатого

воздействия) .

Т а к и м

образом,

основная

ценность метода

интегральных

о ц е н о к

качества

состоит в

в о з м о ж н о с т и

улучшения системы,

кото­

р о е осуществляется

с л е д у ю щ и м

образом .

Рис. 6-Ю

Н а х о д и т с я

/ ^ = / р ( а ь

а # ) ,

затем

из

н е о б х о д и м ы х

у с л о в и й м и н и м у м а ф у н к ц и и JF

от п е р е м е н н ы х {ап}

4^

=

0,

п = 1 , .

. .,N

(6-21)

дап

п о л у ч а ю т

систему у р а в н е н и й для

о п р е д е л е н и я оптимальных

п о к р и т е р и ю

м и н и м у м а

в ы б р а н н о й

о ц е н к и

параметров

системы {ап*}-

Если

пр и

этом

получится,

что

н е к о т о р ы е

оптимальные

п а р а м е т р ы

д о л ж н ы

быть

равны

н у л ю

(или

б е с к о н е ч н о с т и ) ,

то

и х

значения

при

установке

в

системе

м и н и м и з и р у ю т

(или

м а к с и м и з и р у ю т ) .

Н а и б о л е е

просто

м о ж н о

найти

о ц е н к у

(6-19):

Ji

— Wm

Г elf)e-#dt

=

\imE{p).

р - 0

J

рчО

о

О д н а к о пр и

этом д о л ж н а

быть

гарантия,

что

п е р е х о д н ы й

п р о ц е с с

в

системе

не

имеет

перерегулирований,

иначе

м о ж н о получить

/ i =

0 в

системе,

весьма д а л е к о й от

идеаль­

н о й

(на

рис .

6-10 п р о ц е с с

e(t)

при

{й(^}

имеет

н у л е в у ю

п л о щ а д ь ) .

Н а д е ж н ы е

результаты

дает о ц е н к а

(6-20). Э т и м и

оцен ­

ками

стали

ш и р о к о

пользоваться

в к о н ц е

40-х

годов пр и

п р о е к т и р о в а н и и

систем

у п р а в л е н и я

летательными,

агвдара-

тами . О ц е н к у

/ г т а к ж е

довольно

п р о с т о

н а й т и :

В(Р)

(6-22а)

2nj

( р ) - Л ( - р )

где

Л (/5) = a 7 1 p n + a „ - i p n - 1

+

. . . + а 0

(6-226)

5 (р) =Ьп-ф*"->

+ Ьп-2р2"~< + . . . + 60 .

Вычисление

h п о

к о э ф ф и ц и е н т а м

п о л и н о м о в

А(р)

и -В(р)

приводит к

в ы р а ж е н и ю

,6п -1 6п -2 •• • 60

а п

.

0

0

0

. ао

(б-22в)

a„-i

Й71-3 • .

0

ап

..0

0

0

. До

П о в ы р а ж е н и ю

(б-22в)

составлены

т а б л и ц ы для п

^ 7

(см. табл. 6-1 для

п=\,

2,

3) . О б р а т и м

внимание,

что

в

знаменателе

(6-22в)

стоит

старший

определитель

Г у р в и ц а

Ап (см. § 5-3), поэтому

для у с т о й ч и в ы х

систем,

когда

А п > 0 ,

/ г > 0 ,

а для

систем,

находящихся

на

г р а н и ц е

устойчивости,

когда

А„ = 0, / г = °° .

Таблица

6-1

J2

л== 1

2eicro

и =

2

— Gobi +

boat

2aiaiaa