книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Основы автоматики и телемеханики. Конспект лекций учеб. пособие

Ф {(1 +

2|/соГ)+ (fiof)2Y\

= k a'rctg

2%af

1 - (<oT);

Ф {e±i™°}

= + COT 0 .

П о м и м о

обычного

построени я

Ф Ч Х по точкам,

м о ж н о

реко ­

мендовать с л е д у ю щ и й

п р и б л и ж е н н ы й

способ .

Учитывая,

что

арктангенс

в

пределах

одно й

декады

в об е стороны

от

с о п р я г а ю щ е й

частоты

cot-

п р и н и м а е т

значения

от

я/ 4

(при

СО,) ДО

~ 0

(при СО' =

0,1 СО,) И ДО

=«Я

(прИ

CD =

10 СОг),

м о ж н о у к а з а н н ы е

,три

точки

соединить

п л а в н о й

л и н и е й .

Н а

рис. 4-15

таки е

составляющи е

Ф Ч Х

п о к а з а н ы

штрих -

пунктиром . Складывая их, получаем

Ф Ч Х р а з о м к н у т о й

системы .

§

4-4. П р е о б р а з о в а н и е

структурны х

схем

Для удобства анализа САР, о с о б е н н о

и м е ю щ и х

несколь ­

ко

контуров,

о б р а з о в а н н ы х

за

счет

введения

воздействий

п о в о з м у щ е н и ю ,

введения

сигналов

к о р р е к ц и и

и

т. д.,

н е о б х о д и м о

уметь преобразовывать с л о ж н ы е

структурные

схемы

.в

более

простые .

Т е о р и я

п р е о б р а з о в а н и я

структур ­

ных схем

была

р а з р а б о т а н а

Б . Н . П е т р о в ы м

(1945

г.). П р и

п р е о б р а з о в а н и и

с т р у к т у р н о й

схемы

СА Р получаем н о в у ю

схему,

э к в и в а л е н т н у ю и с х о д н о й

только

в о т н о ш е н и и

вход­

н ы х и выходных

воздействий

САР , т. е.

не

затронуты х

преобразованиями .

П р е о б р а з о в а н и е

схем

заключается

в

у п р о щ а ю щ е м

схему

п е р е н о с е

узлов

и

сумматоров,

в

полу­

ч е н и и

схемы ' с

неперекрещивающимися

связями,

когда

отдельные к о н т у р ы

схемы

н е

сцепляютс я

друг

с

другом.

П о с л е

этого

к а ж д ы й контур заменяется

одним

звеном

с

эквивалентно й

передаточно й

ф у н к ц и е й ,

и

схема

С А Р

обыч­

н о

приводится

к

типовой

структуре

(рис. 4-16)

с

приведен -

н ы ми

ко

входу всеми воздействиями ( з а д а ю щ и м

г/о,

возму­

щ а ю щ и м

/о)- П е р е н о с узлов

или сумматоров может

совпа­

дать

с направлением передачи сигнала (прямой,

перенос)

или

быть

ему

п р о т и в о п о л о ж е н

(обратный

п е р е н о с ) .

О с н о в н ы е

правила

структурных

п р е о б р а з о в а н и й

д а н ы в

табл .

4-1.

Б о л е е п о д р о б н ы е

сведения о п р е о б р а з о в а н и я х

д а н ы

в [1, 2].

г '

*

Таблица

^.1

Пр е

образоВанае

Исходная

схема

Преобразобанная

схема

Перенос

суммато­

ра через

збено-

1

CL)

прямой

Перенос

шла

lx

через

зоено-.

Z й)

прямой

Рис. 4*. Правила структурных

преобразований

П р и м е р

4-9.

Рассмотрим

С А Р скорости двигателя

с

ком­

п е н с а ц и е й

в о з м у щ е н и й нагрузки . Схема системы дана

на

рис.

1-8 (см.

п р и м е р 1-3)!

Ф у н к ц и о н а л ь н а я

схема

т а к о й

С А Р

дана

н а

рис . 4-17,а. О б ъ е к т о м регулирования является

двигатель,

п р и

э т о м регулируемая

величина — скорость

двигателя

£2

определяется

измерительным

устройством

6»

•

83>

( т а х о г е н е р а т о р о м)

и сравнивается с уставкой .

О ш и б к а в

виде н а п р я ж е н и я AU п о с т у п а е т на

у с и л и т е л ь н о е

устройство

( э л е к т р о м а ш и н н ы й

усилитель),

н а п р я ж е н и е

на

выходе

которого является

у п р а в л я ю щ и м

для

двигателя.

Скорость

последнего зависит

т а к ж е от момента

нагрузки

Мт

которая

измеряется

и

с ц е л ь ю

к о м п е н с а ц и и поступает

т а к ж е

на

вход

усилительного

устройства .

Т а к и м

образом,

здесь

реализуется

принцип

двухканальности

Б.

Н .

П е т р о в а

как

н е о б х о д и м о е

у с л о в и е

получения

и н в а р и а н т н о й

к

возмуще ­

н и ю

нагрузки

С А Р .

Структурная

схема

С А Р ,

в к л ю ч а ю щ а я

в себя

звенья

н а п р а в л е н н о г о

действия

с

одним

входом

и

выходом,

сумматоры,

у з л ы

и

связи,

п о к а з а н а на рис .

4-17,6,

где

о б о з н а ч е н о :

W i

М

=

7Г~^

" м .

^

п

х

г ,

- п е р е д а т о ч н а я

ф у н к ц и я

U в (р)

(1

+

рГо) (1 +

pTi)

ЭМУ;

= .

t / М

=

(14-"

г

1 ~ передаточная

ф у н к ц и я

\Р)

\

+

Р

г)

двигателя

п о

каналу

« н а п р я ж е н и е

—

ско­

рость»;

(1 +

реГо) (1 +

ргЪ)

'

ku-k3My

'

где

e — малая величина, например,

5%.

П о н я т н о ,

что

полученная

в этом случае СА Р не будет

а б с о л ю т н о инвариантной,

а

лишь

и н в а р и а н т н о й

до е,

т. е. в

п е р е х о д н ы х

р е ж и м а х

действие нагрузки будет про-/

являться, н о весьма малым

образом .

Заметим,

что

в л а б о р а т о р н о й

работе,

где

исследуется

такая

САР, цепь

к о м п е н с а ц и и

взята

б е з ы н е р ц и о н н о й

в

виде

^ 5 2 ( р ) =&к ,

причем

к о э ф ф и ц и е н т

kK

подбирается

экспе ­

р и м е н т а л ь н о

п е р е м е щ е н и е м

д в и ж к а

п о т е н ц и о м е т р а

Л г

(см. рис . 1-8). Т а к а я

цепь

к о м п е н с а ц и и

обеспечивает

инва­

риантность

С А Р

к

МЦ лишь

в

установившихся

режимах,

что

легко проверить

экспериментально,

давая

скачкообраз ­

н ы е

и з м е н е н и я нагрузки

при

к о м м у т а ц и и

ключа

К\.

П р и м е р

4-10.

Рассмотрим

к о м б и н и р о в а н н у ю

следящую

систему,

структур'ная

схема

к о т о р о й

п о к а з а н а

на рис .

4-18,а,

в к о т о р о й для улучшения ее

д и н а м и ч е с к и х свойств введена

цепь

с

н е и з в е с т н о й

пока

п е р е д а т о ч н о й

ф у н к ц и е й

W$(p),

к о т о р у ю

найдем

из

условия

идеальной

следящей

системы,

когда

Q(t)=Qo(t),

т.

е.

передаточная

ф у н к ц и я

следящей

системы

W(p)=-—^~9о (р)=

1.

П е р е н о с я

сумматор

на

вход

системы

(рис. 4-18,6), получим

Т а к и м образом,

искомая цепь д о л ж н а

иметь

передаточ ­

н у ю ф у н к ц и ю Wa(p)

= W2~l(p).

П о с к о л ь к у

№ 2 ( р ) соответ­

ствует двигателю,

то

точная

р е а л и з а ц и я т а к о й

ц е п и т а к ж е

з а т р у д н е н а из-за

т р у д н о с т е й

получения

д и ф ф е р е н ц и р у ю -

Г л а в а

5

У С Т О Й Ч И В О С Т Ь Л И Н Е Й Н Ы Х С А Р

§

5-1. П о н я т и е

о б

устойчивости

С А Р

всегда

п о д в е р ж е н а

р а з л и ч н о г о

р о д а возмущениям,

к о т о р ы е

о т к л о н я ю т

ее

р е ж и м

от

желаемого,

и

о с н о в н о е

н а з н а ч е н и е С А Р — уменьшать

эти

отклонения .

Если

С А Р

с п о с о б н а

возвратиться

к ж е л а е м о м у

режиму,

то

о н а

является

устойчивой,

а следовательно,

р а б о т о с п о с о б н о й .

В п р о т и в н о м

случае — н е у с т о й ч и в о й и

н е р а б о т о с п о с о б н о й .

Ж е л а е м ы й

р е ж и м

м о ж е т

быть установившимся

и неуста­

установившемся р е ж и м е

(такой

р е ж и м х а р а к т е р е н

для

систем автоматической

стабилизации,

для

п о з и ц и о н н ы х

следящих систем и т. д . ) . Если рассмотреть отклонение

Ау

системы от установившегося р е ж и м а под

действием кратко ­

временного

возмущения,

то в

устойчивой

системе

это

о т к л о н е н и е

исчезает со временем

(рис. 5-1,а),

а в неустой -

Рис. 5-1. Характер

изменения

отклонений

в устойчивой

(а)

и неустойчивой

(б)

САР

чивой

— нарастает

(рис. 5-1,6).

Х а р а к т е р

п р о ц е с с а

п р и

э т о м

м о ж е т

быть

апериодическим

(кривая

1) или

колеба ­

тельным (кривая

2) .

А п е р и о д и ч е с к и й

н а

р а с т а ю щ и й

про ­

ц е с с

м о ж е т

возникнуть в

С А Р

с

р е г

у л и р о в а н и е м

п о

о т к л о н е н и ю ,

если,

например,

н е п р а в и л ь н о

выбрать поляр ­

ность

о б р а т н о й

связи,

включив

вместо

о т р и ц а т е л ь н о й

о б р а т н о й

связи

п о л о ж и т е л ь н у ю .

В

этом

случае

у п р а в л я ю ­

щ е е устройство

будет

не

устранять

отклонение,

а

увеличи ­

вать

его.

Колебательный

н а р а с т а ю щ и й

п р о ц е с с

м о ж е т

наступить,

н а п р и м е р ,

п р и

ч р е з м е р н о большом

к о э ф ф и ­

ц и е н т е у с и л е н и я

.системы,

когда

в о з н и к ш е е

о т к л о н е н и е

настолько

энергично

возвращает систему

к

установивше ­

муся

режиму, что

система

из-за

и н е р ц и и

и л и

запаздывания

проскакивает

его,

приводя

к

еще

большему

о т к л о н е н и ю

и т. д.

А н а л о г и ч н ы й

характер

п р о ц е с с о в

справедлив

,и

для

неустановившихся

р е ж и м о в :

система считается

устойчивой,

если

о т к л о н е н и е

от

ж е л а е м о г о

р е ж и м а

остается

ограничен ­

н ы м п о величине

при

действии

на

н е е

о г р а н и ч е н н ы х воз ­

м у щ е н и й .

О с н о в о й

для

анализа

систем

на' устойчивость

являются

методы, р а з р а б о т а н н ы е А.

М.

Л я п у н о в ы м

(1892

г.). Для

л и н е й н ы х

или

л и н е а р и з о в а н н ы х

систем

необходимым

и

отрицательный з н а к действительной части всех

, к о р н е й

характеристического

уравнения,

составленного

для

уравне ­

н и й

первого

п р и б л и ж е н и я .

Если

ж е

хотя

бы

один

корень

имеет

п о л о ж и т е л ь н у ю

действительную часть,

то

система

является

неустойчивой .

Т а к и м образом,

для

исследования

устойчивости

системы

надо

знать к о р н и

ее

характеристического

уравнения .

§ 5-2. Х а р а к т е р и с т и ч е с к о е у р а в н е н и е С А Р

Уравнения первого

п р и б л и ж е н и я ,

о п и с ы в а ю щ и е

С А Р

п р и

малых

о т к л о н е н и я х

от

установившегося

режима,

к а к

э т о

было

п о к а з а н о

в гл.

3,

в самом

общем случае

и м е ю т

вид

N

М

где

х

— воздействие

на

систему;

_

\

у

— выходная

переменная .

Р е ш е н и е

(5-1)

имеет

вид

y(t)=yB(t)+ya(t),

(5-2)

где

г/в — в ы н у ж д е н н а я составляющая;

г/п — п е р е х о д н а я

составляющая .

П р и

« г < 0

эта

составляющая будет затухать

во времени

(рис. 5-2,а),

п р и « j > 0

— нарастать

( б ) ,

а

п р и

с и = 0

полу­

чим н е з а т у х а ю щ и е

к о л е б а н и я

(в)

или

п о с т о я н н у ю

состав­

л я ю щ у ю

(если

р\- = 0).

Т а к и м

образом,

исследуемый про ­

цесс состоит из суммы апериодических

или

колебательных

составляющих .

П о н я т н о , если

каждая

составляющая

будет

затухать

(все

а г < 0 ) ,

то ч и

переходная

составляющая

затухнет

со

временем .

О д н а к о ,

если хотя

бы

один

корень

ь

)

Рис. 5-2. Связь

устойчивости с

корнями

характеристического

уравнения

системы

имеет п о л о ж и т е л ь н у ю

действительную

часть,

н о

переходная

составляющая будет нарастать во времени, что

соответст­

вует неустойчивой

системе. П р и

ia2- =

0

система

находится

на

границе

устойчивости.

Если

х а р а к т е р и с т и ч е с к о е

у р а в н е н и е

(5-4)

имеет

поря ­

д о к

N <3,

то

к о р н и

м о ж н о

н а й т и аналитически,

однако

для

Л / > 3

н а х о ж д е н и е к о р н е й

затруднительно . Н а с

выручает

тот

факт, что

для

исследования

устойчивости

надо

знать

н е

сами корни,

а лишь

з н а к и

действительных

частей и

д а ж е

м е н е е того — все л и к о р н и

л е ж а т

слева от м н и м о й

оси и л и

есть хотя

бы

один

справа.

П р а в и л а ,

п о з в о л я ю щ и е

ответить

на

этот

вопрос,

н е

находя

с а м и х

корней,

называются

критериями

устойчивости.

П о с л е д н и е

могут

быть

алгебраи­

ческими

( с у ж д е н и е

об

устойчивости

выносится

по

рассмот­

р е н и ю характеристического

у р а в н е н и я )

и

частотными

(об

устойчивости

судят

по

частотным

х а р а к т е р и с т и к а м

системы) . П р е ж д е

чем

рассмотреть к р и т е р и и устойчивости,

обратим

в н и м а н и е

на

вид

характеристического

у р а в н е н и я

(5-4): правая

часть

его совпадает

со

знаменателем

переда-