книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Основы автоматики и телемеханики. Конспект лекций учеб. пособие

Г л а в а

3

Х А Р А К Т Е Р И З А Ц И Я С А Р И Е Е Э Л Е М Е Н Т О В

§ 3-1.

С п о с о б ы х а р а к т е р и з а ц и и систем

Ч т о б ы иметь

возможность анализировать С А Р ,

н е о б х о ­

димо

п р о и з в е с т и

ее

математическое

о п и с а н и е (характери -

з а ц и ю ) . И м е е т с я

несколько способов

х а р а к т е р и з а ц и и :

1)

посредством

дифференциальных

уравнений,

описы ­

в а ю щ и х и з м е н е н и е

п е р е м е н н ы х

С А Р

во времени и

прост ­

ранстве;

временных

характеристик,

2)

посредством

д а ю щ и х

связь

м е ж д у

переменными, заданными как ф у н к ц и и

времени;

3)

посредством

частотных

характеристик,

д а ю щ и х

связь

Н е

все

из у к а з а н н ы х

способов

являются

наглядными,

и м е ю т

п р о с т о й ф и з и ч е с к и й

смысл

и л и

у д о б н ы

п р и реше ­

н и и тех

или

и н ы х п р а к т и ч е с к и х

задач.

Н а п р и м е р ,

ш и р о к о

п р и м е н я е м о е

о п и с а н и е

С А Р

с п о м о щ ь ю

системы

д и ф ф е ­

р е н ц и а л ь н ы х

у р а в н е н и й

в

н о р м а л ь н о й

ф о р м е

весьма

н е у д о б н о

для

представления

и

а н а л и з а связи

м е ж д у

дан­

ными

воздействиями

и

выходной

п е р е м е н н о й ;

в

то

ж е

время

т а к о е

о п и с а н и е

весьма

у д о б н о

п р и м о д е л и р о в а н и и

системы

на

вычислительной

м а ш и н е .

Н а о б о р о т , о п и с а н и е

С А Р

посредством в р е м е н н ы х

х а р а к т е р и с т и к

обладает

наглядностью,

имеет

п р о с т о й

ф и з и ч е с к и й ' с м ы с л ,

н о

неудоб ­

н о для практических расчетов и моделирования .

Т а к и м

образом,

о п и с а н и е

по

п.

1,

2

имеет п р о с т о й

ф и з и ч е с к и й

смысл,

н о н е у д о б н о

для

и н ж е н е р н ы х

расчетов,

поскольку

приводит

к

необходимости решать

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е

и л и

интегральные

уравнения .

Оказывается,

что

и н ж е н е р н ы й

анализ

у д о б н о проводить

с п о м о щ ь ю частотных

х а р а к т е р и ­

стик.

Н е б о л ь ш и е

затраты

труда

по

и з у ч е н и ю

математиче ­

ского

аппарата • п р е о б р а з о в а н и й

Ф у р ь е

и Л а п л а с а

п о л н о ­

стью

о к у п а ю т с я

удобством,

о п и с а н и я

и

анализа

систем,

п о с к о л ь ку вместо

и н т е г р о д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х

у р а в н е н и й

надо

решать

только

алгебраические

у р а в н е н и я .

П о э т о м у ,

далее

будут

рассмотрены

все

т р и

способа

х а р а к т е р и з а ц и и ,

к о т о р ы е

для

л и н е й н ы х

систем

с о в е р ш е н н о

р а в н о п р а в н ы и

полны,

т. е.

к а ж д ы й

из

способов п о л н о с т ь ю

х а р а к т е р и з у е т

все

свойства

системы.

Для

н е л и н е й н ы х

систем

долгое

время

существовал

только

один

способ

описания — с

п о м о щ ь ю

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х

уравнений .

О д н а к о

в

последние

годы

и н т е н с и в н о

развиваются

два

других

с п о с о б а — с

п о м о щ ь ю

в р е м е н н ы х и

частотных

характеристик .

Н е о б х о д и м о сразу

заметить,

что

о п и с а н и е

систем

всегда

получается у п р о щ е н н ы м ,

поскольку

нельзя

учесть

абсолют ­

н о

все воздействия

на систему

и все

ее

свойства.

С

точки

з р е н и я

задач

управления,

т а к о е

у п р о щ е н и е

о б ы ч н о оправ ­

дано .

Здесь н е о б х о д и м о

отметить,

ч т о , м а т е м а т и ч е с к о е

опи ­

с а н и е

системы м о ж е т

быть аналитическим

или

эксперимен­

тальным,

в зависимости

от

того,

каким путем о н о

получено .

О б а

способа

получения

о п и с а н и я

и м е ю т

свои

достоинства

и недостатки: а) аналитическое

о п и с а н и е

позволяет

выявить

о с н о в н ы е з а к о н о м е р н о с т и

и

свойства

ряда

о д н о т и п н ы х

систем

(класса систем),

в

то

ж е

время

д а н н у ю

к о н к р е т н у ю

систему

о н о

обычно

х а р а к т е р и з у е т

с

недостаточной

точ­

ностью",

б)

э к с п е р и м е н т а л ь н о е

о п и с а н и е

обычно

точнее,

н о

зато

н е у д о б н о

для

выявления

о б щ и х

з а к о н о м е р н р с т е й

Н а д о отметить,

что

аналитический

путь

описания,

осно ­

в а н н ы й

на

выявлении

законов природы,

которым

подчи­

н я ю т с я

п р о ц е с с ы

в

д а н н о м

классе

систем,

п р а к т и ч е с к и 4

всегда

приводит

к д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

уравнениям .

Э к с п е ­

риментальный, наоборот,

дает

обычно

результаты

в

ф о р м е

в р е м е н н ы х

или

ч а с т о т н ы х характеристик .

П о с к о л ь к у п р и

х а р а к т е р и з а ц и и

с л о ж н ы х

систем,

к

которым

относятся

п р а к т и ч е с к и

все

п р о и з в о д с т в е н н ы е

процессы,

п р и м е н я ю т

как аналитический,

т а к и

э к с п е р и м е н т а л ь н ы й

пути,

и н ж е ­

н е р у н е о б х о д и м о

знать все

способы

х а р а к т е р и з а ц и и .

' Д а л е е

будут

рассмотрены

только

линейные

системы,

к

которым

п р и м е н и м п р и н ц и п

суперпозиции

( н а л о ж е н и я ) .

П о я с н и м

это п о н я т и е .

Рассмотрим о д н о м е р н ы й

объект (это

может,

быть

С А Р •

и л и ее

э л е м е н т ) ,

и м е ю щ и й

одно входное

воздействие

x(t)

и

одну

в ы х о д н у ю

п е р е м е н н у ю

у(t)

(рис. 1-1,в).

В о б щ е м

случае

связь м е ж д у н и м и м о ж е т

быть

з а п и с а л а в

виде

где

А

— н е к о т о р ы й

оператор

(ставящий

в

соответствие

од­

н о й ф у н к ц и и

другую

ф у н к ц и ю ) .

П р е д с т а в и м

входное

воз­

действие

суммой

произвольных

с о с т а в л я ю щ и х

k

А

О б ъ е к т

называется л и н е й н ы м

( о п е р а т о р

называется

л и н е й н ы м ) ,

если

выполняются

условия:

^xK(t)

=

J]

AxK(t)

(3-1)

AcxK{t)

=

cAxK{t)

где

с — константа .

В ы п о л н е н и е

(3-1)

позволяет

с ф о р м у л и р о в а т ь

п р и н ц и п

с у п е р п о з и ц и и :

если

на

объект

(систему)

действует.

одно­

временно

несколько

воздействий,

то

реакция

линейного

объекта

(системы)

равна

сумме

реакций,

вызываемых

каж­

дым

из воздействий

в

отдельности.

Системы,

для

к о т о р ы х

условия

типа-

(3-1)

не

выпол­

няются,

называются

н е л и н е й н ы м и .

Л и н е й н ы е

системы описываются

л и н е й н ы м и

д и ф ф е р е н ­

циальными

уравнениями .

Д а л е е

мы

будем

рассматривать

л и н е й н ы е системы

с

сосредоточенными

параметрами,

кото ­

рые описываются л и н е й н ы м и

о б ы к н о в е н н ы м и

д и ф ф е р е н ­

циальными

уравнениями .

§ 3-2. Составление

у р а в н е н и й

С А Р

и

и х

л и н е а р и з а ц и я

О б ъ е к т ы

у п р а в л е н и я и

у п р а в л я ю щ и е

устройства

обычно

являются

весьма

с л о ж н ы м и

д и н а м и ч е с к и м и

системами,

в к о т о р ы х

п р о т е к а ю т

процессы,

и м е ю щ и е

часто

р а з л и ч н у ю

ф и з и ч е с к у ю

природу,

и

на

к о т о р ы е

действуют

различные

ф и з и ч е с к и е

воздействия .

П о н я т н о ,

что

описать

всю

систе­

му

одним

у р а в н е н и е м

весьма

с л о ж н о .

Д л я

у п р о щ е н и я

обычно систему р а з б и в а ю т на отдельные элементы и

д а ю т

математическое

о п и с а н и е

процессов

в н и х

и

связей

м е ж д у

ними .

Уравнения

элементов

составляются

на

основе

физи­

ческих

законов,

определяющих

протекание

процессов

в

них.

Н а п р и м е р :

а)

для процессов.,

связанных

с о б р а з о в а н и е м

и л и преоб ­

р а з о в а н и е м

веществ

(обычно,

п р и х и м и ч е с к и х

р е а к ц и я х ) ,

а т а к ж е

связанных

с

п е р е н о с о м

веществ,

п р и м е н я ю т

з а к о н

45

/

с о х р а н е н и я

вещества,

к о т о р ы й

приводит к

уравнениям,

материального

баланса;

б) для процессов, связанных с

п р е о б р а з о в а н и е м

различ ­

ных

видов

энергии,

п р и м е н я ю т з а к о н с о х р а н е н и я

энергии,

к о т о р ы й

п р и в о д и т

к у р а в н е н и я м

энергетического

баланса,

в частности, к уравнениям

теплового

баланса;

в)

для

процессов,

связанных

с м е х а н и ч е с к и м

переме ­

щ е н и е м

и

взаимодействием тел,

материалов, п р и м е н я ю т

законы

Ньютона,

в

частности,

у р а в н е н и е

Д а л а м б е р а

д л я

в р а щ а ю щ и х с я тел:

/ i £ L =

M a - M c

,

(3-2)

где Q — угловая

at

скорость тела;

1

/ — момент

и н е р ц и и

относительно оси

в р а щ е н и я ;

М д , Мс

— соответственно

д в и ж у щ и й

м о м е н т

и

момент

с о п р о т и в л е н и я ;

законы

г)

для электрических

и э л е к т р о н н ы х

схем —

Ома и

Кирхгофа:

J]U* =

°>

(3-3)

21UK — сумма

k .

где

н а п р я ж е н и й

п о

замкнутому

контуру,

к

V I

7

Л

5) 7 , - 0,

(3-4)

где

27; — сумма

токов

в узле .

(

Н а д о отметить,

что

р а з л и ч н ы е

ф и з и ч е с к и е

п р о ц е с с ы

нениями . «Единство п р и р о д ы

о б н а р у ж и в а е т с я

в

«порази ­

тельной

аналогичности»

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х

уравнений,

о т н о с я щ и х с я

к р а з н ы м

областям

я в л е н и й »

(В.

И .

, Л е н и н ,

Соч., изд. 4, т. 14,

стр. 276).

П р и м е р

3-1.

В

системах

( р е г у л и р о в а н и я

т е м п е р а т у р ы

часто п р и м е н я ю т

т е р м о п а р ы

(ТП)

(см.

§

2-3). Если

тем­

п е р а т у р а

холодного

спая

р а в н а

нулю,

то

термо - э . д. с. Е

п р о п о р ц и о н а л ь н а

т е м п е р а т у р е

f}[ горячего спая

,

J5=ft#,.

(3-5)

О д н а к о

измеряемая

т е м п е р а т у р а г}с

о к р у ж а ю щ е й

горя­

чий спай

среды н е

совпадает

с т е м п е р а т у р о й

•&]. П р и

кон ­

вективном

т е п л о о б м е н е

м е ж д у

к о р п у с о м

ТП

и

о к р у ж а ю щ е й

средой

у р а в н е н и е

т е п л о в о г о

б а л а н с а устанавливает,

что

скорость

и з м е н е н и я

т е м п е р а т у р ы горячего спая

ТП п р о п о р -

ц и о н а л ь н а

р а з н о с т и

температур

среды

и

горячего

спая,

п о э т о м у

1

•

'

rfGi

(3-6)

dt

где

p — теплоемкость

корпуса

777;

S

— площадь п о в е р х н о с т и

корпуса

777;

a — к о э ф ф и ц и е н т

теплоотдачи;

t — время.

И з у р а в н е н и й

(3-5),

(З-б)

получаем

связь

м е ж д у

изме ­

р я е м о й т е м п е р а т у р о й

среды

и

термо - э . д. с.

Г — + Е = kbe,

(3-7)

dt

где

T = p ( a S ) - 1 .

П р и м е р

3-2.

В

качестве

и с п о л н и т е л ь н ы х

устройств

С А Р

часто

п р и м е н я ю т

двигатели

(электрические,

гидравлические,

п н е в м а т и ч е с к и е ) .

Рассмотрим

двигатель

с л и н е й н ы м и

меха ­

н и ч е с к и м и х а р а к т е р и с т и к а м и

(рис. 3-1,с),

когда

д в и ж у щ и й

Hi

/ IS

S2

А

в

б)

•

Рис.

3-1.

Двигатель

с линейными

механическими

ха­

рактеристиками

момент

растет

п р о п о р ц и о н а л ь н о

у п р а в л е н и ю

и

и падает

п р о п о р ц и о н а л ь н о

скорости

Q

Ма

=

ku-

М,—-Q,

(3-8)

Qo

где

Мо — п у с к о в о й момент;

йо — скорость

холостого

хода.

П о

Д а л а м б е р у

(см. (3-2))

г dQ

«

М

dt

Q,

и ли

T-?£- + Q = kuu-kMMc,

(3-9)

at

Т а к и м

образом,

двигатель как

элемент

С А Р

имеет

два

входных

воздействия — у п р а в л я ю щ е е

и

и

в о з м у щ а ю щ е е

М.й.

(рис.

3-1,6) и одну

в ы х о д н у ю

п е р е м е н н у ю — скорость Q.

N О д н а к о

в ряде случаев нас будет интересовать

н е

ско­

рость Q вала двигателя, а его угловое

п о л о ж е н и е

0

(в

сле­

дящих

системах, в

астатических

системах

с

сервоприводом

и др . ) .

П о с к о л ь к у

Q—

, то

у р а в н е н и е

двигателя

относи ­

тельно

п о л о ж е н и я

вала запишется с учетом-

(3-9)

как

ч

T ^at2

+ ^at- = kuu~-kMMc

(3-Ю)

Мс

= 0

О б р а т и м

внимание,

что пр и

у р а в н е н и е

двигателя

(3-9)

и

у р а в н е н и е

т е р м о п а р ы

(3-7)

аналогичны,

хотя

опи ­

сывают п р о ц е с с ы в

р а з л и ч н ы х

ф и з и ч е с к и х

системах

(777 —

т е р м о э л е к т р и ч е с к а я

система;

двигатель,

н а п р и м е р ,

электри ­

ч е с к и й — э л е к т р о м е х а н и ч е с к а я

с и с т е м а ) .

Д а л е е

будет пока­

зано,

что

на

с т р у к т у р н ы х

схемах

и

777,

и

двигатель с

выходом Q и з о б р а ж а ю т с я

одним

и

тем

ж е

звеном — инер ­

ционным .

П о л у ч е н н ы е

у р а в н е н и я

могут

оказаться

нелинейными,

хотя

н е л и н е й н о с т ь при малых

о т к л о н е н и я х

от

н о м и н а л ь н ы х

з н а ч е н и й

входных

воздействий о б ы ч н о бывает незначи ­

тельной . В

т а к и х случаях

у р а в н е н и я

л и н е а р и з у ю т

методом

малых

отклонений.

Ф и з и ч е с к и й

смысл

метода,

обоснован ­

ного

одним из

о с н о в о п о л о ж н и к о в

т е о р и и

автоматического

' у п р а в л е н и я

русским

ученым

А. М. Л я п у н о в ы м

(1857—1918),

состоит в

том,

что

обычно

С А Р р а б о т а е т

в

номинальном,

ствием

в о з м у щ е н и й

достаточно

малы, поскольку

С А Р

проектируется

таким

образом,

ч т о б ы противодействовать

возмущениям .

Т а к и м

образом, обычно выполняется гипо ­

теза

о

малости о т к л о н е н и й , когда н е л и н е й н о с т ь ю ,

есди

о н а

гладкая,

м о ж н о

пренебречь .

М а т е м а т и ч е с к и л и н е а р и ­

р а з л о ж е н и я в ряд

Тейлора,

в к о т о р о м

п р е н е б р е г а ю т нели ­

н е й н ы м и членами .

В самом

деле, пусть

н е к о т о р ы й элемент^

С А Р описывается н е л и н е й н ы м д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

уравне ­

нием,

например,

F\{xh

xh

х2, x2)^=F2{y,

у),

(3-11)

где Fi,

F2 — н е л и н е й н ы е

ф у н к ц и и от

своих

аргументов .

Допустим, что установившийся п р о ц е с с

в С А Р

имеет

место,

когда

Х\=х\о,

х2=Х2о, у—уо-

Тогда

у р а в н е н и е уста­

новившегося

р е ж и м а

имеет вид

Fi(xl0,

0,

Х2о, 0)=F2(y0,

0) .

(3-12)

/о

\

dxi

Iо

дх*

Jo

\

д*

/о

(dFi\

I dFo_ \

г д е

~~ ч

а с т н

ы е

производные,

в ы ч и с л е н н ы е

в

\

дх /oi

\

оу /о

точке

установившегося

режима,

т. е.

н е к о т о р ы е

числа;

R\,

R2 — остаточные

члены

р а з л о ж е н и я ,

содер ­

ж а щ и е

члены

с

п р и р а щ е н и я м и

выс­

шего

порядка (в них - то и

з а к л ю ч е н а

вся н е л и н е й н о с т ь ) .

Т а к

как

п р и р а щ е н и я считаются малыми,

то о с т а т о ч н ы е '

члены R\, R2 содержат величины высшего порядка малости,

которыми м о ж н о

пренебречь . В

этом

случае,

исключая

из

последнего

уравнения

в ы р а ж е н и е

(3-12)

для

установивше ­

гося режима,

получаем

так

называемые

уравнения

первого

приближения

(уравнения в

« в а р и а ц и я х » ) ,

к о т о р ы е

являются

л и н е й н ы м и

для

п р и р а щ е н и й ,

&01

+ Ь1 \Ах\ + Ьй2Ах2

+ Ъ22Ах2=одАг/

-Ь а\Ау,

(3-13)

г д е ЬМ

= {

^

- 1

ат =

Л * р - V

4"> =

f

£

(п =

0,1,2).

J

О б ы ч н о к о э ф ф и ц и е н т

ао

д е л а ю т равным

1,

т.

е.

делят

у р а в н е н и е

(3-13)

на

ао. К р о м е

того,

о б о з н а ч е н и е прира -

4—291

-

49

щ е й й я

Л

б п у с к а ю т

п р и

записи, понимая,

что

у р а в н е н и е

составлено

для

п р и р а щ е н и й .

П р и м е р 3-3.

А с и н х р о н н ы й

д в у х ф а з н ы й

двигатель с

по ­

лым

или

к о р о т к о з а м к н у т ы м

ротором,

когда

п р и в е д е н н о е

с о п р о т и в л е н и е

р о т о р а

^ р

(в

величинах

статорного

сопро ­

тивления)

с о и з м е р и м о

с

выходным

с о п р о т и в л е н и е м

RB

источника

у п р а в л я ю щ е г о

н а п р я ж е н и я

(например, ф а з о ч у в -

ствительного з'силителя

ФУ, п о д к л ю ч е н н о г о

к у п р а в л я ю щ е й

о б м о т к е двигателя,

рис . 3-2,а),

имеет

м е х а н и ч е с к и е

харак ­

теристики,

п о к а з а н н ы е

на

рис. 3-2,6,

где

Q0 — с и н х р о н н а я

скорость

(при

Rp^>Rs

х а р а к т е р и с т и к и

п о к а з а н ы

п у н к т и ­

р о м ) .

К а к

видим, м е х а н и ч е с к и е

х а р а к т е р и с т и к и

о т л и ч а ю т с я

Рис. 3-2. Асинхронный двухфазный двигатель

от

линейных,

р а с с м о т р е н н ы х

в п р и м е р е

3-2.

Разлагая

гладкую

н е л и н е й н у ю

ф у н к ц и ю

М(и,

Q)

в

ряд по,

п р и р а щ е ­

ниям

и и

й

и

пренебрегая

н е л и н е й н ы м и членами,

получаем

л и н е й н о е

уравнение,

аналогичное

(3-8),

&M=bo\Au

+ b02AQ,

(3-14)

где

И н т е р е с н о ,

что в

н е к о т о р ы х

точках м е х а н и ч е с к о й

харак ­

т е р и с т и к и к о э ф ф и ц и е н т Ьо2 имеет

р а з н ы е

знаки . Н а п р и м е р ,

п р и

малых

о т к л о н е н и я х

от

с к о р о с т и

Qi

величина

Ь02<0,

а

вблизи

точки

Q2 &ог>0

(далее

будет

показано,

что

о д и н

р е ж и м является

устойчивым,

а

другой

н е у с т о й ч и в ы м ) .

§

3-3.

Д и н а м и ч е с к и е

х а р а к т е р и с т и к и

во

в р е м е н н о й

области

Временными

х а р а к т е р и с т и к а м и

л и н е й н о й

системы

явля­

ются

п е р е х о д н а я

ф у н к ц и я

h(t,

t\)

или

импульсная

характе ­

р и с т и к а

w(t,'

ti).