книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Основы автоматики и телемеханики. Конспект лекций учеб. пособие

Функциональной

схемой

называется

такая,

на

к о т о р о й

п о к а з а н а

связь

м е ж д у ф у н к ц и о н а л ь н ы м и

элементами .

Частным, н о

н а и б о л е е

в а ж н ы м

для

дальнейшего

изучения

автоматических

систем

видом

ф у н к ц и о н а л ь н о й

схемы

является

структурная

схема,

о т р а ж а ю щ а я только

математи ­

ческие

п р е о б р а з о в а н и я

сигналов.

Т а к а я

схема

включает

в

себя:

1)

линейные

звенья,

в ы п о л н я ю щ и е

л и н е й н ы е

интегро-..

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е

о п е р а ц и и

над

сигналами,

и

нелинейные

преобразователи,

в ы п о л н я ю щ и е

н е л и н е й н ы е алгебраические

о п е р а ц и и ;

,

2)

сумматоры,

в к о т о р ы х

п р о и с х о д и т

с л о ж е н и е

и л и

вы­

ч и т а н и е сигналов;

3)

точки

разветвления

сигналов

( у з л ы ) ;

4)

связи,

п о к а з ы в а ю щ и е

н а п р а в л е н и я

передачи

сигналов .

Л и н е й н ы е

С А Р

могут

быть

представлены

только

с

по ­

м о щ ь ю л и н е й н ы х

т и п о в ы х

звеньев,

сумматоров,

узлов

и

.связей.

Т и п о в ы м

звеном

м о ж е т

быть

л ю б о й

л и н е й н ы й

или

л и н е а р и з о в а н н ы й

объект

наблюдения,

у д о в л е т в о р я ю щ и й

трем условиям: 1) он имеет одно входное и одно

выходное

воздействие,

2) выходное

воздействие зависит

от

входного,

н о обратного

действия

нет,

3)

он

описывается

л и н е й н ы м

о б ы к н о в е н н ы м д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

у р а в н е н и е м

н е

выше

второго

порядка .

З а м е т и м ,

что

п о с л е д н е е

условие

отно ­

сится

к

объектам

и

системам

с

с о с р е д о т о ч е н н ы м и

парамет ­

рами .

Все

т и п о в ы е

звенья

и м е ю т

п е р е д а т о ч н у ю

ф у н к ц и ю

в

виде

д р о б н о - р а ц и о н а л ь н о й

ф у н к ц и и

U7(P )

= - * J £ L ,

причем

нули

( к о р н и у р а в н е н и я

В(р)=0)

и

полюсы

(корни

у р а в н е н и я

А(р)=0)

п е р е д а т о ч н о й

ф у н к ц и и

л е ж а т

в

левой

п о л у п л о с к о с т и

или

на

ее

г р а н и ц е — м н и м о й

оси .

Вследст­

вие этого

звенья,

у д о в л е т в о р я ю щ и е

у к а з а н н ы м

выше трем

условиям,

н о

не

у д о в л е т в о р я ю щ и е

последнему,

не

относятся

* к типовым .

Э т о — неустойчивые

и

н е м и н и м а л ь н о - ф а з о в ы е

звенья,

и м е ю щ и е

соответственно

п о л ю с ы

или

нули

переда­

т о ч н о й

ф у н к ц и и в

правой

п о л у п л о с к о с т и .

Н а д о заметить,

что

один

л и н е й н ы й

ф у н к ц и о н а л ь н ы й

э л е м е н т

системы,

и м е ю щ и й

н е с к о л ь к о входных

и

выходных

воздействий,

а

т а к ж е о п и с ы в а е м ы й

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

у р а в н е н и е м

выше

второго

порядка,

н а с т р у к т у р н о й

схеме

м о ж е т

быть

представлен 'в

виде

некоторого

соединения

нескольких

т и п о в ы х

звеньев.

Х о т я

т а к о е

представление

справедливо

в

н е к о т о р о м

ограниченном

частотном

диапазоне,

так

как

в ' ф у н к ц и о н а л ь ­

ном элементе

всегда

есть

параметры, н е

учитываемые из-за

и х малости,

для

и н ж е н е р н ы х

целей

о н о

обычно

достаточно .

П е р е ч и с л и м

типовые

звенья:

1)

безынерционное

( п р о п о р ц и о н а л ь н о е ,

статическое)

звено,

о п и с ы в а е м о е

л и н е й н ы м

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м уравне ­

нием

нулевого

порядка;

2)

инерционное

(апериодическое) — д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

у р а в н е н и е м

первого

порядка;

3)

интегрирующее

— д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

у р а в н е н и е м

первого

порядка;

4)

дифференцирующее

— д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

у р а в н е н и ­

ем первого

порядка;

циальным

у р а в н е н и е м

первого

порядка;

6)

колебательное

— д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

у р а в н е н и е м

вто­

рого

порядка.

звено

запаз­

В ряде случаев к типовым звеньям

относят

дывания,

о п и с ы в а ю щ е е с я

у р а в н е н и е м

с з а п а з д ы в а ю щ и м

аргументом. Х о т я

т а к о е звено

встречается

лишь

в

системах

с р а с п р е д е л е н н ы м и

параметрами,

.включение

его

в

число

э л е м е н т а р н ы х

существенно

р а с ш и р я е т

круг

встречающихся

на

п р а к т и к е

объектов

управления .

В

то

ж е

время

анализ

л и н е й н ы х

С А Р

с

запаздыванием

практически,

м а л о

услож ­

няется. П р и м е р ы

составления

ф у н к ц и о н а л ь н ы х

и

структур ­

ных

схем рассмотрены далее .

§ 4-2.

Т и п о в ы е звенья

и

и х

х а р а к т е р и с т и к и

Д а л е е

везде

будет

о б о з н а ч е н о :

x(t)

— входное

воздей­

ствие;

y(t)

— выходная

п е р е м е н н а я

звена.

1.

Безынерционное

звено, описывается

у р а в н е н и е м

y=kx,

(4-1)

где

k — к о э ф ф и ц и е н т

у с и л е н и я

звена.

П р и м е р а м и

такого

звена

являются

(рис. 4-1):

делитель

н а п р я ж е н и я ( а ) , рычажная или

редукторная

передача

(б,

в),

усилитель

постоянного

т о к а

(г)

и

др.

Предполагается,

что

передача

сигнала

от

входа к

выходу

происходит

мгновенно,

без и н е р ц и и . Очевидно , что передаточная ф у н к ц и я

звена

имеет вид

W(p)=kt

(4-2)

(х)

8)

г)

Рис. 4-1. Примеры безынерционных звеньев

поэтому А Ф Х звена стянулась

в точку (k, /0)

(рис. 4-2,а).

x(t)=b(t),

равна

w(t)=kb(t),

а

переходна я

ф у н к ц и я

h(t)=k-l(t)

(рис. 4-2,6).

\jImWfja})

Kffffl

К

K/ffeW(Ja>)

\

t

о

а)

6)

Рис. 4-2.

Динамические

характеристики

безынерционных

звеньев

Н а п р а к т и к е

д а ж е

рассмотренны е

на

рис. 4-1 пример ы

не являются

строго

б е з ы н е р ц и о н н ы м и

звеньями .

Т а к

в

де­

л и т е л е

(рис.

4-1,а) не учитывается

емкость

и индуктивность

м е ж д у в и т к а м и обмотк и п о т е н ц и о м е т р а

и

выходных

прово ­

дов,

в р ы ч а ж н о й

передаче

(рис. 4-1,6)

не

учитывается

масса

рычага,

его

упругость

и т.

д. П о э т о м у

практически,

н а п р и ­

мер,

переходна я

ф у н к ц и я

имеет

вид

п у н к т и р н о й

л и н и и

(рис . ,4-2,6),

т. е. выходная переменна я не мгновенн о

сле­

дует з а входной . Аналогичн о

и А Ф Х

имеет

вид

п у н к т и р н о й

л и н и и

(рис.

4-2,а)

для

частот

сй>'Шт .

О д н а к о в

С А Р ,

рабо ­

т а ю щ и х

обычн о

в

сравнительно низкочастотном

д и а п а з о н е

0<!(о<Ссо т ,

и н е р ц и о н н о с т ь

рассмотренны х

устройств

прак -

ренных, большинство

датчиков .

В

ряде

систем

регулирования

п р и м е н я ю т с я

устройства,

р а б о т а ю щ и е

на

н е с у щ е й

ч а с т о т е

(сельсины,

у с и л и т е л и

п е р е м е н н о г о

тока

с

м о д у л я ц и е й и

д е м о д у л я ц и е й

и др . ) .

П р и

частотах

входного

воздействия,

много

меньших несу­

щей, эти устройства могут быть отнесены

к б е з ы н е р ц и о н ­

ным [2].

2.

Инерционное

звено

описывается

у р а в н е н и е м

dy_

+ IJ =

kx,

(4-3)

dt

где k,

T — соответственно статический к о э ф ф и ц и е н т

усиле ­

ния

и

постоянна я времени

звена.

П р и м е р ы и н е р ц и о н н ы х

звеньев: двигатель

с

л и н е й н о й

механическо й х а р а к т е р и с т и к о й

(см.

п р и м е р

3-2),

термо ­

пар а (пример 3-1). В качестве других

примеро в

рассмотрим

следующие .

П р и м е р

4-1.

^ С - ц е п о ч к а

(рис. 4-3,а).

И с п о л ь з у я

уравне ­

н и е Кирхгофа ,

з а п и ш е м

• г>

I

•

r> dti2

uy = iR-\-ua,

i ~ C

r dt— ,

поэтому RC——\-U2=u\,

что

соответствует

(4-3).

Аналогич ­

ен

н о м о ж н о

показать,

что

/,/?-цепочка

(рис. 4-3,6)

является

и н е р ц и о н н ы м

звеном.

С

п о м о щ ь ю о п е р а ц и о н н ы х

усилите ­

л е й и н е р ц и о н н о е

звено

моделируется

схемой

рис . 4-3,2,

где T=RC,

k=- R

Рис. 4-3. Примеры инерционных звеньев

П р и м е р 4-2.

Генерато р п о с т о я н н о г о тока с

независимым

в о з б у ж д е н и е м

(рис. 4-3,в). Входное

воздействие — н а п р я ж е ­

ние в о з б у ж д е н и я ив, _ п р и л о ж е н н о е

к о б м о т к е

в о з б у ж д е н и я

5—291

65

Генератора,

и м е ю щ е й

индуктивность

L

и

активное

сопро ­

т и в л е н и е

R;

выходная

п е р е м е н н а я — (э. д. с.)

генератора

иг.

Для

л и н е а р и з о в а н н о г о

генератора

(поскольку

зависи ­

мость

Ur(i)

имеет

н е л и н е й н ы й х а р а к т е р

из-за

н а с ы щ е н и я

и

гистерезиса)

м о ж н о

записать,

опуская

з н а к

п р и р а щ е н и я ,

uT=k\i.

П р и

этом

uB=Ri+L

— , п о э т о м у

v

L

dur

at

ki

+ «г =

« e ,

R

dt

R

(

что

соответствует

у р а в н е н и ю

и н е р ц и о н н о г о

звена

(4-3),

где п о с т о я н н а я

времени T=L/R,

а

к о э ф ф и ц и е н т

у с и л е н и я

k=kJR.

'

I Рассмотрим

другие

д и н а м и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и

и н е р ­

ц и о н н о г о звена.

И з

(4-3)

п о л у ч а е м в ы р а ж е н и е

для

переда ­

т о ч н о й ф у н к ц и и

W(P)

=

- г - т ^ г " .

=

- г Л ^ г

•

(4-4 )

1

+рТ

1 +

/©г

А Ф Х п о к а з а н а

на

рис .

4-4,а. О н а

имеет вид

п о л у о к р у ж ­

ности,, п р и

этом н а

с о п р я г а ю щ е й частоте

а-!

=

Т~1

ф а з о в ы й

сдвиг равен

^

j - j , а

модуль

равен

l / 2 / 2

-k. О б щ е е

-выра

ж е н и е для А Ч Х

и Ф Ч Х

имеет

вид

А

(со) = \W(jco)\

=

k

(4-5а)

/ 1 +

(юГ)»

<p(©) = - a r c t g w 7 \

(4-56)

П о с т р о и м л о г а р и ф м и ч е с к и е ч а с т о т н ы е х а р а к т е р и с т и к и .

L (со) =

20 lg А (со) =

20 lg k

— 20 lg | Л +

(шТ)«.

(4-6а)

Э т а

зависимость

п о к а з а н а

на

рис . 4-4,6

пунктиром .

О б ы ч н о п р и м е н я ю т

у п р о щ е н н о е

п о с т р о е н и е

Л А Ч Х ,

осно ­

в а н н о е

на

п о с т р о е н и и

асимптот.

Дл я

и н е р ц и о н н о г о

звена

точная

х а р а к т е р и с т и к а

заменяется

двумя

асимптотами:

первая

асимптота

получается

из (4-ба) при

отбрасывании

члена

(соТ)2 для

частот

0<J ш <СТ~[,

а

вторая — при

отбра­

сывании е д и н и ц ы для частот

та>Т~1.

Т а к и м образом,

асимп­

тотическая

Л А Ч Х

записывается

как

La (co) =

(

2 0 1

^ '

'

°

«

°

<

^ .

(4-66)

Л е г к о заметить,

что

н а к л о н

в т о р о й

асимптоты

р а в е н

— 20

дб/дек.

Максимальная

о ш и б к а

пр и

и с п о л ь з о в а н и и

асимптотической

Л А Ч Х

(4-66)

вместо

т о ч н о й

(4-ба)

равна

3 дб

и

приходится

на

с о п р я г а ю щ у ю

частоту.

Э т а

о ш и б к а практически

исчезает

на

частотах,

о т л и ч а ю щ и х с я

от

с о п р я г а ю щ е й

более

чем

в

десять

раз,

т.

е. при

измене ­

н и и

частоты

на 1

декаду. Заметим,

кстати,

что

х а р а к т е р и ­

с т и к а

aretg'CoT п р а к т и ч е с к и

н е отличается

от

своих

к р а й н и х

з н а ч е н и й 0

и

—я/2

при и з м е н е н и и

частот

на

1

декаду

от

сопрягающей .

П о

т е о р е м е р а з л о ж е н и я

(см. табл. 3)

находим

характе ­

ристики во в р е м е н н о й

области

(рис. 4-4,#,

г)

_ -L

-

J

-

w(t)

=

±

e

'

T

,

h(t)

=

k ( l - e

т

) .

(4-7)

3.

Интегрирующее

звено

описывается

у р а в н е н и я м и

t

1

•

y = = Y \ x d t

+

Уо>

о

и л и

Т ^dt

=

х,

,

(4-8)

где

Т — п о с т о я н н а я

времени

( к о э ф ф и ц и е н т

п р о п о р ц и о н а л ь ­

ности) .

П р и м е р

4-3. П р и м е р а м и

и н т е г р и р у ю щ и х

звеньев

являют ­

ся:

электрическая

емкость

(рис. 4-5,а), индуктивность

(б),

в р а щ а ю щ и й с я

вал

(в),

гидравлический

резервуар

(г) . Д е й ­

ствительно,

н а п р я ж е н и е

на емкости

.

- -

5*.

,

67

U

1

t

+ «9»

=

—

0

fx)

W

(*)9p>

г)

l

Рис. 4-5. Примеры интегрирующих звеньев

м а г н и т н ый

п о т о к

в

индуктивности,

и м е ю щ е й

число

вит­

ков w,

t

Ф =

-±-^исИ

+

Ф0,

о

у г о л п о в о р о т а

вала,

в р а щ а ю щ е г о с я

со

скоростью Q,

t

Ф = j Q d f + <р„,

о

у р о в е н ь воды

в ц и л и н д р и ч е с к о м

р е з е р в у а р е

сечения

S

t

П е р е д а т о ч н а я

ф у н к ц и я и н т е г р и р у ю щ е г о

звена

легко

находится

из

(4-8)

п о

т е о р е м е о

д и ф ф е р е н ц и р о в а н и и

(или

и н т е г р и р о в а н и и

п р и

н у л е в ы х начальных

условиях) ориги ­

нала (см. п. 5,

б табл . 3-1):

А Ф Х п о к а з а н а

на рис . 4-б,а. О н а

имеет

вид прямой,

пр и

э т о м ф а з о в ы й

сдвиг

на

всех

частотах

равен

( — я / 2 ) .

Л А Ч Х

т а к ж е

имеет

вид

п р я м о й

с н а к л о н о м

—20

дб/дек

(рис. 4-6,6),

L(u)) =

_201gcur,

ф((о) = - я / 2 .

(4-10)

В р е м е н н ые

д и н а м и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и (рис. 4-6,2, д)

записываются

как

(4-11)

4. Дифференцирующее

звено

(идеальное')

описывается

у р а в н е н и е м

dx

(4-12)

dt

П р и м е р 4-4. П р и м е р а м и

т а к и х

звеньев

могут служить

генератор

(ТГ) с п о с т о я н н ы м и

магнитами

(в) . Действитель ­

но, то к в

емкости

, du

i = С dt

'

н а п р я ж е н и е н а и н д у к т и в н о с т и

u

=

L- dt

dt

с

fi-\

Ю

fe) fit) hi L

•а)

6)

6)

fi­

(х)

г)

9)

Рис. 4-7. Примеры

идеальных

и

реальных дифференцирующих

н а п р я ж е н и е ТГ п о с т о я н н о г о т о к а

и =

Ш =

k dtp

~dl

Н а д о заметить,

что практически

не

существует

реальных

элементов, на выходе которых точно

воспроизводилась бы

производная

от

л ю б о г о

входного сигнала. Если бы

это было

так, то,

подав

н а

такой

элемент

с к а ч к о о б р а з н о е

входное

воздействие,

м о ж н о было

бы получить на

выходе

6-функ-

п и ю , чего

в

реальных

устройствах

не

бывает.

Ф о р м а л ь н а я

запись для

н а п р я ж е н и й

и

токов в индуктивности

и

емкости

(пример

4-4)

не

о т р а ж а е т

законов

к о м м у т а ц и и

электриче ­

ских схем

( н а п р я ж е н и е

на

емкости

и

ток в

и н д у к т и в н о с т и

логично нельзя, например,, скачком изменить

угол поворота

вала

реального ТГ,

поскольку

это потребовало

бы

беско ­

н е ч н о большого момента .

П о э т о м у ,

хотя

в

структурных

схемах п р и м е н е н и е

идеальных

д и ф ф е р е н ц и р у ю щ и х

звеньев

оправдано, практически

о н и

являются

абстракциями .

Реаль­

ное

дифференцирующее

звено

описывается

уравнением

'

Г ^-

+

у =

Т

— .

(4-13)

dt

dt

Э т о

звено, и м е ю щ е е

п е р е д а т о ч н у ю

ф у н к ц и ю

^

= Т Й Г '

г

^ =

т т г г -

( 4 ' 1 4 )

1 + рТ

1 + Jo>T

м о ж е т

быть

представлено как

последовательное соединение

идеального

д и ф ф е р е н ц и р у ю щ е г о

и и н е р ц и о н н о г о

звеньев.

П р и м е р

4-5. П р и м е р а м и

т а к и х

звеньев

являются

CR- и

^ L - ц е п и (рис. 4-7,г, д),

для

к о т о р ы х м о ж н о

записать:

для

CR-цепя

t

.

о'

'

где

i=U2/R,

п о э т о м у

после

д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я

о б е и х

частей

исходного у р а в н е н и я

получаем

KC^L

+ и

=

RC^L;

dt

dt

для

^ L - ц е п и

т

dt

Ul —

«2

dt

где

; =

, п о э т о м у