книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Основы автоматики и телемеханики. Конспект лекций учеб. пособие

cn=a.N

J

c 2 i=aiv - 2

c 3 i = a w - 4

Cl2 =

dN-\

C22 =

QiV-3

C32 — 0-N-5

Аз =

Сц -Cl2

1

Cl3 = C2 l— I3C22

C23=pC31 —X3C32 C3 3 =

C41 —Я,зС42

С24 =

С32 — Л4С33

C34 =

C42 — Я4С43 | ...

• •

•

. . .

1

. . .

]

. . .

1...

правил о

построени я

к о т о р о й

очевидно

из

примера .

К о э ф ­

ф и ц и е н т а м

с

отрицательными

индексами

соответствуют

нули .

Для

устойчивости

системы

необходимо

и

достаточно,

чтобы

коэффициенты

первого

столбца

таблицы

Рауса

были

положительны

c i „ > 0 ,

п=1,

izV.

(5-Ю)

Если

система

неустойчива,

то

число

перемен

знаков

в

первом

столбце

равно

числу

правых

корней

характеристи­

ческого

уравнения.

К р и т е р и й

Рауса — Г у р в и ц а

у д о б е н

для

определени я

предельных значени й параметров С А Р , п р и

которы х

систе ­

ма находится на г р а н и ц е устойчивости .

Э т и значения

нахо ­

дятся л и б о

из

условий

А „ = 0 ,

л и б о c i „ = 0 .

Заметим ,

что в

(5-9)

Ajv=ao!Aiv-i,

п о э т о м у

при

Ajy = 0

система

находится

л и б о

н а

г р а н и ц е

апериодической

устойчивости

( а о = 0 ) ,

когда оди н

из

к о р ­

н е й

характеристического у р а в н е н и я

раве н

н у л ю ,

л и б о

на

г р а н и ц е

колебательно й

устойчивост и

(AN-I = 0),

когда

два

с о п р я ж е н н ы х

корня

находятся

н а м н и м о й

оси.

П р и м е р

5-1

|[1]. Рассмотри м

условия

устойчивости

стати­

ческой

С А Р скорост и

двигателя .

П е р е д а т о ч н а я

ф у н к ц и я

р а з о м к н у т о й

системы

равна

(1 + РП) (1 + Р Г 2 ) (1 + р Г з ) '

где

к=1гэму

'ku-krr—

статический

к о э ф ф и ц и е н т

усиления .

Х а р а к т е р и с т и ч е с к о е

у р а в н е н и е

(5-8) з а м к н у т о й

системы

в данно м случае

имеет

вид

а 3 р 3

+ а2р2

+ а\р

+ ю о = 0 ,

аде

а з = Т 1

Г 2

7 ,

з ,

a2=TxT2

+ TxTz

+ T2Tz,

ах =

Тх

+

Т2+Тг,

а о = 1 + & .

О п р е д е л и т е л и

Гурвица

равны

Д, =

а 2 > 0 ,

Д 2 = а , а 2

- а 0 а 3

=

(Тх + Т2

+ Т3)

(Тх

Т2 + TiТ3

+ Т2Т3)

-

-{\+k)TxT2T3,

Д з = о д Д 2 -

Н а й д е м предельный

к о э ф ф и ц и е н т

k. И з

условия

Д г = 0

получаем

предельное

з н а ч е н и е

k,

п р и котором система

н а х о д и т с я ' н а

г р а н и ц е

к о л е б а т е л ь н о й

устойчивости,'

npi

Т1Т2Т,

= ( ! + ' . +

т.) (1

+

т Г 1

+

т3 -! ) -

1,

•

(5-11)

где х2=Т2Тг\

Т з ^ Г з Г г " .

И з

условия

Л з = 0 ,

т. е.

а о = 0

находим

другое

предель­

н о е з н а ч е н и е

knp2—

— 1

( о т р и ц а т е л ь н о е

£

соответствует

п о л о ж и т е л ь н о й

о б р а т н о й

связи), п р и которо м система

находится

на

г р а н и ц е

апериодической

устойчивости .

Ана ­

л и з и р у я п о л у ч е н н ы й

результат,

приходи м

,к

выводу,

что

С А Р

устойчива

п р и & n p2 < & < ^ n p i -

'

И з

(5-11)

следует,

что

предельный к о э ф ф и ц и е н т

усиле ­

н и я системы определяется

лишь

с о о т н о ш е н и е м

постоянньйс

времени . З а м е т и м ,

что п р и

Т\ =

Т2

— Т3

получаем

минималь ­

н о е з н а ч е н и е

&лрмин =

8.

Н а п р а к т и к е

стремятся

получить

системы

с

весьма

боль­

ш и м и предельными

к о э ф ф и ц и е н т а м и

усиления .

Э т о

объяс­

няется

ж е л а н и е м

иметь

у

системы

большо й

к о э ф ф и ц и е н т

усиления, что приводит, как увидим

далее,

к п о в ы ш е н и ю

точности

регулирования .

П о с к о л ь к у

увеличивать

к о э ф ф и ­

ц и е н т

м о ж н о

только д о

предельного,

то

и

стремятся

увели ­

чить последний . Д л я

такого

увеличения,

как

следует

из

(5-11),

н у ж н о

«раздвигать»

п о с т о я н н ы е

времени .

Н а п р и м е р ,

п р и

Ti =

T2=№0

Т3

получае м

&цР 1>200.

О д н а к о

этот

путь

практическ и

нереален .

Д е л о

в

том,

что

п р и

конструирова ­

н и и а п п а р а т у р ы

стремятся

уменьшить п о с т о я н н ы е

времени,

и поэтом у и х дальнейшее

у м е н ь ш е н и е

почти

н е в о з м о ж н о .

Вполне

в о з м о ж н о

увеличить

п о с т о я н н ы е

времени

(напри ­

мер,

для

увеличения

п о с т о я н н о й

в р е м е н и

двигателя

надо

насадить

на

его

ось

массивный

маховик,

что

приведет

к

у в е л и ч е н и ю

момента

и н е р ц и и

и,

,как.

следует

из

(3-9),

к у в е л и ч е н и ю п о с т о я н н о й

в р е м е н и ) ,

однако

это

приведет

к с н и ж е н и ю

быстродействия

системы,

что

нежелательно .

Н а и б о л е е

о б щ и й

путь

увеличени я

предельного

к о э ф ф и -

ц и е н т а

у с и л е н и я

состоит

в и з м е н е н и и структурной-

схемы

С А Р ( к о р р е к ц и и )

путем

введения

д о п о л н и т е л ь н ы х

звеньев

и контуров . Э т о т

путь

будет рассмотрен

далее в гл. 7.

§

5-4. К р и т е р и й

Н а й к в и с т а . З а п а с

устойчивости

Э т о т

критерий,

п о з в о л я ю щ и й

судить

об

устойчивости

С А Р

п о

частотным

х а р а к т е р и с т и к а м разомкнутой

системы

(амплитудно - фазовой

и л и л о г а р и ф м и ч е с к и м ) ,

нашел

н а и ­

большее

распространение, поскольку позволяет использо ­

вать

не

только аналитически п о с т р о е н н ы е

частотные

харак ­

теристики,

н о

и н а й д е н н ы е

экспериментально.

К р и т е р и й

был

п р е д л о ж е н

Н а й к в и с т о м

в

1932

г.

для

анализа

э л е к т р о н н ы х

у с и л и т е л е й

с

о б р а т н о й

связью.

В 1938

г. был

о б о б щ е н

и

п р и м е н е н А.

В. М и х а й л о в ы м

для

анализа С А Р .

Пусть

передаточная

ф у н к ц и я р а з о м к н у т о й

системы

Wp(jo) —

^ ^

, причем

из

ф и з и ч е с к и х

с о о б р а ж е н и й

следует,

D

(р)

что

степень

М

п о л и н о м а К(р)

не выше

степени

N

п о л и н о м а

D(p). О б р а з у е м

ф у н к ц и ю

Н а й к в и с т а

'

NU*)

=

l +

Wl,V*)=K№

+ I>U*)

•

(5-12)

U (ум)

и рассмотрим

и з м е н е н и е

ее

аргумента

при

и з м е н е н и и

со от

О до

оо

,

к о т о р о е

о б о з н а ч и м

Aargj\f(/a>).

О б р а т и м

внимание,

что

D(p)

является

х а р а к т е р и с т и ч е с к и м

п о л и н о м о м

разомк ­

нутой системы, а К(р) +D(p)

— х а р а к т е р и с т и ч е с к и м

поли ­

номом з а м к н у т о й системы, п р и этом степени

о б о и х

харак ­

теристических

полиномов

р а в н ы

N.

Рассмотрим

т р и в о з м о ж н ы х

случая,

когда

р а з о м к н у т а я

, система

устойчива,

неустойчива

и нейтральна .

1-й

случай

— система

в

разомкнутом

состоянии

устой­

чива.

Будет

ли

о н а

устойчива

п р и з а м ы к а н и и

и

при

к а к и х

условиях?

D(ja)

Рассмотрим

и з м е н е н и е

аргумента

ф у н к ц и й

и

+ £ >(/©) .

П о л и н о м D(p)

м о ж н о

представить

в

виде

N

N

D (Р)

=

J] апрп

= aN

\~[ (р

-

р,),

где р\,

pN

п=0

/«.1

— к о р н и

характеристического

у р а в н е н и я

D(p)=0.

Т о г д а

N

tf

D (/оо) =

aif Y\ {1®—Рд

и Д arg

D (/со) = Щ ? Д arg

(/со —

p,).

Рассмотрим

геометрическое

представление

комплексного

числа

(ja—pi)

в

виде

вектора

п р и ф и к с и р о в а н н о м

значе ­

н и и со

(рис. 5-3).

Н а ч а л о вектора (/со—pi) л е ж и т

в точке

Рис.

5-3.

К

выводу

критерия

Най-

квиста

I

pi, а

к о н е ц — н а

м н и м о й

оси

в точке

/со. П о э т о м у

п р и

с о = 0

к о н е ц вектора

л е ж и т в

начале

координат, а

п р и

со -> ао — в бесконечно

далекой

точк е на

м н и м о й оси.

П р и

и з м е н е н и и

,со от 0 до

со

вектор

(/со—pi)

повернется в

п о л о ж и т е л ь н о м

н а п р а в л е н и и

на

у г о л

+<р*,

а

вектор

(/со—pi+i)

— на

у г о л

+ ф г + ь Очевидно ,

что

срч-,+ ср,ч-1=я.

Т а к и м образом,

один

левый

корень

дает

и з м е н е н и е

аргу­

мента ф у н к ц и и

ьО (/СО)

на п/2,

а пар а к о м п л е к с н о - с о п р я ж е н ­

н ы х л е в ы х

к о р н е й — н а

я . Вследствие

этого

Д arg D (/со) =

JV • я/2,

поскольку

р а з о м к н у т а я

система

устойчива

(все

к о р н и

D (р) — л е в ы е ) .

Если

потребовать,

чтобы и замкнутая система была

устойчива (чтобы все к о р н и

К(р)

+£>(р) =

0

были л е в ы м и ) ,

необходимо, рассуждая

аналогично,

Н о в

этом

случае

и з м е н е н и е

аргумента

ф у н к ц и и

Н а й к в и с т а

AaxgN(fa)

=AargfiD(/(o) +7C(/cu)]-Aarg£>(/co) = 0 .

(5-13)

П о с к о л ь к у

ф у н к ц и я

Н а й к в и с т а — это

А Ф Х р а з о м к н у т о й

системы, с м е щ е н н а я вправо на единицу,

то

м о ж н о

рассмат­

ривать

и з м е н е н и е

аргумента

не ф у н к ц и и

Н а й к в и с т а

относительно

начала

координат,

а и з м е н е н и е

аргумента

( ф а з у ) А Ф Х

относительно

точки

( — 1 ,

/0) .

П о э т о м у

усло ­

вие

устойчивости

(5-13)

м о ж н о с ф о р м у л и р о в а т ь

так:

замкнутая

система

устойчива,

если

АФХ

разомкнутой

системы

не

охватывает

точку

(—1,

J0).

П р и м е р

5-2. О п р е д е л и м

предельный

к о э ф ф и ц и е н т

С А Р ,

р а с с м о т р е н н о й в

п р и м е р е

5-1. А м п л и т у д н о - ф а з о в ы е

харак ­

т е р и с т и к и

д а н н о й

системы

п р и р а з н ы х

значениях

k

пока ­

заны

на

рис .

5-4.

Согласно

к р и т е р и ю

Н а й к в и с т а

п р и k\

С А Р у с т о й ч и в а , ' а

п р и k2

— неустойчива

( и з м е н е н и е

аргу­

мента W7po(/co) относительно точки

( — 1,

/0)

р а в н о

я ) .

Если

k—knp, то

А Ф Х п р о х о д и т

через точку

( — 1,

/0), т.

е.

lmWp(]'a„)

— Im

/сол 7\) (1 +

/шя Гв) (1 4-

/ш я 7\)

(1 +

R e W p ( / c o « ) =

- l .

Решая

эти

.уравнения

относительно

&лр и (оп

(частота,

на к о т о р о й

ф а з о в ы й

сдвиг

равен — л ) ,

получаем

7-291

97

(fx

+

f 2 +

ta) (f i

f a

+

Tit3

+

fits)

i

,

-

что совпадает

с

п о л у ч е н н ы м р а н е е

в ы р а ж е н и е м

(5-11).

2-й

случай

— система

в разомкнутом

состоянии

неустой­

чива.

Если

система

н е у с т о й ч и в а

в р а з о м к н у т о м

состоянии

(это

м о ж е т

случиться

п р и р а с с м о т р е н и и

м н о г о к о н т у р н ы х

систем и л и

о д н о к о н т у р н ы х

с

неустойчивыми

звеньями),

то ее

х а р а к т е р и с т и ч е с к о е у р а в н е н и е

D(p)—0

имеет

правые

корни . Если

обозначить

и х число

га,

то

lAarg £>(/©) == (N—m)

л/2—mn/2,

поскольку

к а ж д ы й

п р а в ы й корень

дает

о т р и ц а т е л ь н о е

изме­

н е н и е аргумента

. ( % + % + ! = — я )

(см. рис .

5-3).

П о т р е б у е м ,

чтобы

замкнутая

система

была

устойчива,

тогда

необходимо,

чтобы

lAargfD (;<•>)

+K(j®)]=N-л/2.

Н о в э т о м

случае

AargA/(/co) =2m-n/2—

2л.

(5-14)

Т а к и м

образом,

замкнутая

система

устойчива,

если

АФХ

разомкнутой

системы

охватывает

т/2

раз

в

положительном

направлении

точку

(—1,

]'0).

Э т а ф о р м у л и р о в к а

о б о б щ а е т

ф о р м у л и р о в к у

первого

случая

для лг —

0.

П р и м е р 5-3.

Н а

рис . 5-5

п о к а з а н а

А Ф Х

р а з о м к н у т о й

системы,

и м е ю щ е й

k

{pTi -

1) (рП

+

1)

Ф о р м у л и р о в к а к р и т е р и я Н а й к в и с т а

п р а к т и ч е с к и

н е

отличается

от д а н н ы х

р а н е е : замкнутая

система

устойчива,

если АФХ

разомкнутой

системы с «дополнением

в

беско­

нечности»

охватывает точку

(—1,

Раз> г ^ ш

—число

правых корней уравнения

D\(p)—0.

г

П р и м е р

5-4. Р а с с м о т р и м

систему

с астатизмом

2-го

по ­

рядка,

когда

W p

{ р )

e

.

.

(5-17)

Р 2

П 0

+

Ртп)

л - 1

i А Ф Х

р а з о м к н у т о й

системы

для

г = 2 ,

3 п о к а з а н ы

на

рис . 5-7, где

п у н к т и р о м

п о с т р о е н о

« д о п о л н е н и е в

бесконеч ­

ности» . Согласно к р и т е р и ю

Н а й к в и с т а э т а

система

н е у с т о й ­

чива п р и з а м ы к а н и и

п р и

л ю б ы х k,

Тп,

г=1,

2, ....

Системы

такого

т и п а н а з ы в а ю т

структурно - неустойчивыми .

Д л я

следует

п р о в е с т и к о р р е к ц и ю и

добиться, чтобы

ее

А Ф Х

на

частотах

в

р а й о н е точки

( — 1, /0)

и м е л а

вид

к р и в о й

3,

которая

у ж е

не охватывает

эту

точку.

Э т о г о

м о ж н о

добить -

ся,

например,

вводя

в систему звенья, д а ю щ и е

о п е р е ж е н и е

п о

ф а з е на

у к а з а н н ы х частотах (например,

у п р у г и е —

д и ф ф е р е н ц и р у ю щ и е

звенья) .

\\

Ч

•/*"'•

3

\

/

.У

У

Рис. 5-7. Примеры

АФХ структурно-неустойчивых си­

стем

К р и т е р и й

Н а й к в и с т а

легко

м о ж н о

п р и м е н и т ь

к лога­

р и ф м и ч е с к и м х а р а к т е р и с т и к а м

р а з о м к н у т о й

'системы.

Рас ­

смотрим это

н а п р и м е р е

р а з о м к н у т о й

системы,

и м е ю щ е й

А Ф Х , и з о б р а ж е н н у ю

на

рис.

5-8,а. С о о т в е т с т в у ю щ и е

е й

л о г а р и ф м и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и L(co)

и

ф(ш)

п о к а з а н ы

н а рис . 5-8,6. Н а з о в е м

переход

амплитудно - фазовой харак ­

т е р и с т и к о й

о т р е з к а ( — ^

, —1)

положительным,

если

он

совершается сверху вниз п р и

в о з р а с т а н и и частоты

(на ча­

стоте сог), и отрицательным,

©ели о н совершается

с н и з у