книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Основы автоматики и телемеханики. Конспект лекций учеб. пособие

ч и не

x(t),)

• Atk. В

соответствии,

с п р и н ц и п о м

с у п е р п о з и ц и и

(3-1) р е а к ц и я

н е в о з б у ж д е н н о й

системы

в ф и к с и р о в а н н ы й

момент

времени

н а б л ю д е н и я

tn

м о ж н о

представить

как

сумму

р е а к ц и й

на

последовательность

таких импульсов .

П о с к о л ь к у

р е а к ц и я

в

момент

tn

н а k-e

импульсное

воздей ­

ствие,

п р и л о ж е н н о е

в

момент

4 ,

равна

w(ttn,

4 ) - х ( 4 ) Л 4 ,

то, суммируя р е а к ц и и

на все импульсы

к

моменту tn,

полу ­

чим,

переходя

в пределе к Д^->- О,

y(tn)

=

\\m

У

w(tn,tK)x(tK)AtK

к

k—

i w(tn,tK)x(tK)dtK.

(3-18)

Д л я с т а ц и о н а р н ы х

л и н е й н ы х

систем

р е а к ц и я

на

импульс­

н о е

воздействие

зависит

только

от

и н т е р в а л а

времени

м е ж д у

моментом

п р и л о ж е н и я

импульса

и

м о м е н т о м

н а б л ю ­

дения,

п о э т о м у

w(tn,

th)=w{tn-th)=w(x),

где x=tn

— th.

П р о и з в о д я

з а м е н у

п е р е м е н н о й

в

(3-18)

и

учитывая,

что

dth=-=-dx

( ^ — ф и к с и р о в а н о ) ,

п о л у ч а е м

о

.

1

»

y(tn)

=

—

J

w[x)x(tn

— x)dx

=

j "

w(x)x(tn

— x)dx.

(3-19)

oo

0

Т а к и м образом,

получена

связь м е ж д у

входным

п

воздей ­

ствием

и

выходной

п е р е м е н н о й

(обычно

и н д е к с

у

мо­

мента времени

н а б л ю д е н и я

о п у с к а ю т ) . Л е г к о

показать,

что

для

н е в о з б у ж д е н н о й

системы,

на

к о т о р у ю

начало

действо ­

вать x(t)

в момент

^ = 0 ,

р е а к ц и я

р а в н а

t

t

у (t)

=

j o i ( т )

х(t

— х)dx

=

^x{x)w(t-

х) dx.

(3-20)

о

b

• И н т е г р а л ь н о е

в ы р а ж е н и е

(3-20)

v

н а з ы в а ю т

сверткой

ф у н к ц и й и о б о з н а ч а ю т

у ( 0 = * ( * ) •

«>{*)•

'(3-20)

К а к

видим,

в р е м е н н ы е

д и н а м и ч е с к и е

х а р а к т е р и с т и к и

д а ю т

связь м е ж д у

входом

и выходом

системы

в

ф о р м е интеграль -

н о го

уравнения .

П о с к о л ь к у

такая

,форма

связи

весьма

н е у д о б н а

при

и н ж е н е р н ы х

расчетах,

рассмотрим

еще

один

вид

д и н а м и ч е с к и х

характеристик .

§ 3-4. Д и н а м и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и

в частотной

области

Если

рассматривать

не

ф у н к ц и и

времени, а

их

изобра ­

ж е н и я п о Л а п л а с у

X(p)=L{

x(t)},

Y(p)=L{y(t)

},W(p)=L{

w(t)},

то вместо

свертки

ф у н к ц и й

(3-20)

м о ж н о записать

для их

и з о б р а ж е н и й

Y(p)=X(p)-W(p),

(3-21)

где

W(p)

называется

передаточной

функцией

системы.

И з

(3-21)

м о ж н о

дать

и другое

о п р е д е л е н и е

передаточ ­

н о й ф у н к ц и и

W(p)

У{р)

(3-22)

Х{р)

П р и

нулевых

начальных

условиях

передаточная

ф у н к ц и я

обозначается

часто т а к ж е

через

К(р).

В

отличие

от

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х

у р а в н е н и й

и

времен ­

ных

д и н а м и ч е с к и х

характеристик,

п е р е д а т о ч н а я ,

ф у н к ц и я

не

имеет

простого

ф и з и ч е с к о г о

смысла.

О д н а к о

в и н ж е ­

н е р н ы х

расчетах

пользуются

именно

о п е р а ц и я м и

над изо ­

б р а ж е н и я м и .

П р и

этом

ш и р о к о

используют

с л е д у ю щ и е

свойства

п р е о б р а з о в а н и я

Л а п л а с а (табл. 3-1).

Б о л е е понятным

становится

смысл

п е р е д а т о ч н о й

ф у н к ­

ции,

если

р а с с м о т р е т ь

весьма

б л и з к у ю

к

не й

динамиче ­

с к у ю х а р а к т е р и с т и к у

— комплексный

коэффициент

усиле­

ния

В 7 ( / ( о ) = Ф

{w(t)},

.

(3-23)

где

Ф — о б о з н а ч е н и е

и з о б р а ж е н и я

по

Ф у р ь е ; со — частота.

К а к

и

для

п е р е д а т о ч н о й

ф у н к ц и и ,

здесь

м о ж н о

записать

(для

н е в о з б у ж д е н н о й

пр и

t<C0

системы)

v

'

x m

'

где

ХЦа),

У(/со)

— и з о б р а ж е н и я

п о

Ф у р ь е

входного

и вы­

ходного

воздействий .

Если

входным

воздействием

является

гармоническое

x(t)

=xm-s'm

at, то

в

установившемся

р е ж и м е

на

выходе

сис т е мы

будет

т а к ж е

гармоническое

воздействие

y(t) =

= z/,n .-sin(co/+(p).

В

этом

случае

К К У п р и о б р е т а е т

весьма

п р о с т о й

смысл:

К К У

показывает

о т н о ш е н и е

к о м п л е к с н о й

амплитуды гармонического сигнала на

выходе У7?1 =

г / т - е / < ы ' + ф )

к к о м п л е к с н о й

амплитуде

гармонического

сигнала

н а

в х о д е

Хт=хт-е1Ш'

(рис. 3-5,а).

Э т о о т н о ш е н и е

в

общем

случае

зависит от частот входного гармонического сигнала.

П о э т о ­

му получаем

К К У в

виде

W (/со) =

~^5 - =

А (со) • еЛ> (»),

(3-24)

где A (to) = |

W(ja)

| =

——модуль

КК У

(амплитудно-ча-

стотная>

х а р а к т е р и с т и к а

АЧХ ,

п о к а з ы в а ю щ а я

и з м е н е н и е

у с и л е н и я

амплитуды

сигнала

в

зависимости

от

ч а с т о т ы ) ;

ф(со) — аргумент

К К У

(фазочастотная

х а р а к т е р и с т и к а

Ф Ч Х ,

п о к а з ы в а ю щ а я

сдвиг

ф а з ы ) .

Рис. 3-5. Определение и изображение АФХ

v

Н а

п р а к т и к е

весьма

часто

х а р а к т е р и с т и к у (3-24)

изобра ­

ж а ю т

на

к о м п л е к с н о й

плоскости, когда

частота изменяется

от

н у л я ' д о бесконечности, и

н а з ы в а ю т

амплитудно-фазовой

характеристикой

( А Ф Х ) .

И н о г д а ее

н а з ы в а ю т

т а к ж е

годо­

г р а ф о м

ККУ. Т и п и ч н ы й

вид А Ф Х объекта

с

и н е р ц и о н н о ­

стью

(к

таким

объектам

относится

большинство

промыш ­

л е н н ы х процессов)

показан

на

рис.

3-5^6. И з

А Ф Х

видно,

что

амплитуда

к о л е б а н и й

на

выходе

с'

ростом

частоты

падает

д о нуля,

при э т о м выходные колебания

все

больше

о т с т а ю т

п о ф а з е

от

входных

( ф < 0 ) .

Н а п р а к т и к е

н а и б о л ь ш е е р а с п р о с т р а н е н и е

при

анализе

и синтезе о д н о к о н т у р н ы х

систем получим

логарифмические

частотные

характеристики:

л о г а р и ф м и ч е с к а я

амплитудно -

частотная

х а р а к т е р и с т и к а

( Л А Ч Х ) , и м е ю щ а я

л о г а р и ф м и ч е ­

ский масштаб

амплитуды

L(co)=20lgA(co)

(децибел]

.

(3-25)

•и л о г а р и ф м и ч е с к и й

масштаб

п о

оси

частот,

и л о г а р и ф м и ­

ческая

ф а з о ч а с т о т н а я

х а р а к т е р и с т и к а

( Л Ф Ч Х ) , .

и м е ю щ а я

л о г а р и ф м и ч е с к и й

масштаб

только

по

оси

частот.

И х

при ­

м е н е н и е

связано

с

двумя

обстоятельствами:

во-первых,

при

п р о и з в е д е н и и

амплитудно - частотных

х а р а к т е р и с т и к

с о о т в е т с т в у ю щ и е

Л А Ч Х

просто

складываются

(далее

будет

показано,

что

частотные

х а р а к т е р и с т и к и

о д н о к о н т у р н ы х

систем

о б р а з у ю т с я именно

как п р о и з в е д е н и е

х а р а к т е р и с т и к

отдельных

звеньев),

во-вторых,

появляется

возможность

у п р о щ е н н о г о

построения

Л А Ч Х

в

виде

отрезков

прямых,

что

связано

с

и з м е н е н и е м

к р и в и з н ы

х а р а к т е р и с т и к

п р и

п о с т р о е н и и

их

в

л о г а р и ф м и ч е с к о м

масштабе .

Связь

м е ж д у

значениями

А

и

L и л л ю с т р и р у е т с я

табл. 3-2,

п р и этом

А —

натуральное

число.

Таблица

3-2

А

0,01

0,1

0,316

0,89

1

3,16

10

100

L ,

05

- 4 0 v

- 2 0

—10

—1

0

10

20

40

П о с к о л ь к у п р и п р о и з в е д е н и и к о м п л е к с н ы х ' к о э ф ф и ц и е н ­

тов

усиления

их

аргументы

( ф а з о в ы е

х а р а к т е р и с т и к и )

складываются,

то

н е т н е о б х о д и м о с т и

применять

л о г а р и ф м и ­

ческий масштаб для ф а з ы .

§

3-5.

Связь м е ж д у различными

д и н а м и ч е с к и м и

х а р а к т е р и с т и к а м и

Как

у ж е

указывалось

выше, все

р а с с м о т р е н н ы е

динами ­

ч е с к и е

х а р а к т е р и с т и к и являются полными, и

п р и м е н е н и е

л ю б о й

из

н и х

в к а ж д о м

к о н к р е т н о м

случае

является

и с к л ю ч и т е л ь н о

делом

вкуса

или

удобства. К а ж д а я

из

харак ­

теристик

м о ж е т

быть

о д н о з н а ч н о

найдена,

если

известна

л ю б а я

другая

х а р а к т е р и с т и к а

(рис. 3-6).

Рассмотрим

этот

в о п р о с подробнее .

С т а ц и о н а р н а я

л и н е й н а я

система

и л и

э л е м е н т

системы

с сосредоточенными

параметрами

описывается

обыкновен -

ф и ц и е н т а м и

JV

•

м

^jany^(t)

=

'^bmx^(t)

(3-26)

п=0

т = 0

•ь

uXffJ

X

У

1

и

•

Ч/а}-*

, .

Рис. 3-6. Взаимосвязь

динамических

характеристик

(сравни

с

(3-13)).,

И м п у л ь с н а я

х а р а к т е р и с т и к а

w(t)

(или

п е р е х о д н а я

ф у н к ц и я

в

h(t))

м о ж е т

быть

н а й д е н а

как

реше ­

н и е

этого

у р а в н е н и я

для

нулевых

начальных

условий

при

подстановке

x(t)=6(t)

(или

x(t)

=

\(t)

для

h(t)).

Д л я

о п р е д е л е н и я

п е р е д а т о ч н о й

ф у н к ц и и

п о

(3-26)

воспользу ­

емся

т е о р е м о й

о д и ф ф е р е н ц и р о в а н и и

о р и г и н а л а

при

нуле ­

вых

начальных

условиях

(см.

табл .

3-1,

п.

5).

П о л у ч а е м

аналог

(3-26)

^апУ{р).р»

=

м

^Ьт-Х{р)-Р™,

(3-27)

л=0

т - 0

откуда,

вынося

У{р)

и

Х(р)

за з н а к суммы, получаем в

соответствии

с

о п р е д е л е н и е м

(3-22)

м

У(Р)

т=0

(3-28)

ИУ-0

N

А{р)

л - 0

W(jio)

=

W ( p ) p ^ a .

(3-29)

Т а к и м

образом, переход

от

х а р а к т е р и с т и к

во

в р е м е н н о й

о б л а с т и

(3-26)

к х а р а к т е р и с т и к а м

в

частотной

области

(3-29) не представляет труда. Для обратного

перехода,

например,

от

передаточной

ф у н к ц и и

(3-28)

к

д и ф ф е р е н ­

циальному

у р а в н е н и ю

(3-26)

следует

лишь

п р о и з в е с т и

подстановку

в

(3-27)

р =

(оператор

д и ф ф е р е н ц и р о ­

вания) .

И м п у л ь с н а я

х а р а к т е р и с т и к а м о ж е т

быть

найдена

из

передаточной

ф у н к ц и и

как

о б р а т н о е

п р е о б р а з о в а н и е

Л а п ­

ласа

Zr1

w (t) = I

- 1 \W (р)}

=

j

W (p) eP'dp,

(3-30)

С — / с о

где

с — абсцисса

а б с о л ю т н о й

сходимости .

Н а

п р а к т и к е

вместо

п р е о б р а з о в а н и я

(3-30)

пользуются

для

д р о б н о - р а ц и о н а л ь н ы х

ф у н к ц и й

т и п а

(3-28)

т е о р е м о й

р а з л о ж е н и я

Хевисайда

(эта

теорема

для

случая

простых

к о р н е й

дана

в табл . 3-1, п.

9)

ш ( ' )

= Е Е ^ ^ -

' - ^ '

( 3 - 3 , а )

где ph — к о р н и

алгебраического

у р а в н е н и я

А(р)=0;

п — число

разных

к о р н е й у р а в н е н и я

А{р)—0\

mk — кратность

корня ph (очевидно,

что

^

mh=N);

Chj — к о э ф ф и ц и е н т ,

н а х о д и м ы й

как

1

d''-1

(р-РкГ"

-В(р)

(3-316)

(/ -

1)1

[dp'-1

А

( р )

_

J p - p f t

Г л а в а

4

~ С Т Р У К Т У Р Н Ы Й М Е Т О Д А Н А Л И З А С А Р

Составление

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х

у р а в н е н и й

д а ж е

про ­

стых

д и н а м и ч е с к и х

систем — с л о ж н а я

задача. П о д о б н о

тому

как л ю б а я

к о н с т р у к ц и я

состоит из нескольких

б о л е е

про ­

стых

элементов,

так

и

всякая

С А Р

м о ж е т

быть

представ ­

л е н а

состоящей

из

ряда

п р о с т е й ш и х

.связанных

друг с

другом элементов — звеньев

системы

автоматического

регу­

лирования .

Н а д о заметить,

что

п р и

и з о б р а ж е н и и

С А Р

п р и м е н я ю т

два

т и п а

схем — ф у н к ц и о н а л ь н ы е

и

структур ­

ные .

О б ы ч н о

после

составления

ф у н к ц и о н а л ь н о й

схемы

переходят

с ц е л ь ю

анализа

С А Р

к

ее с т р у к т у р н о й

схеме,

которая

позволяет

выявить

о с н о в н ы е

свойства

С А Р ,

про ­

вести

анализ устойчивости и качества п р о ц е с с о в регулиро ­

вания,

а

при

н е о б х о д и м о с т и

— и

провести

к о р р е к ц и ю

системы.

§

4-1. Ф у н к ц и о н а л ь н ы е и - структурные

схемы

С А Р

Часть

системы,

в ы п о л н я ю щ у ю

о п р е д е л е н н ы е

ф у н к ц и и ,

назовем

функциональным

элементом.

П о с л е д н и й

м о ж е т

выполнять (по Б. С.

С о т с к о в у ) :

1)

п р е о б р а з о в а н и е

к о н т р о л и р у е м о й

величины

в

сигнал

(датчик,

реле) ;

2)

п р е о б р а з о в а н и е

сигнала

п о

в е л и ч и н е (усилитель),

по характеру

( а н а л о г о - ц и ф р о в о й , ^ ц и ф р о а н а л о г о в ы й

преоб ­

разователь) , по

ф и з и ч е с к о й

природе,

п о ' виду

ф у н к ц и о н а л ь ­

н о й связи м е ж д у входным и выходным сигналами

(интегра­

тор, д и ф ф е р е н ц и а т о р

и т. д..);

3)

сравнение

сигналов

( с р а в н и в а ю щ е е устройство,

нуль-

орган и т. д . );

4)

х р а н е н и е

сигнала

(накопитель,

регистр),

генериро ­

вание

сигнала

( п р о г р а м м н о е

устройство, генератор) и

т. д.;

5)

использование

сигнала для

воздействия

на

управляе ­

м ы й

п р о ц е с с ( и с п о л н и т е л ь н о е

устройство,

с е р в о м е х а н и з м ) .