книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Основы автоматики и телемеханики. Конспект лекций учеб. пособие

и после д и ф ф е р е н ц

и р о в а н и я получаем (с учетом скачка

п е р е х о д н о й ф у н к ц и и

при / = 0 )

t

5. Упругое

( и н е р ц и о н н о - ф о р с и р у ю щ е е )

звено

описы­

вается

у р а в н е н и е м

dt

*

dt

(4-17)

я

В

зависимости

от

о т н о ш е н и я

т = Г о / Г

звено

называют

у п р у г и м и н т е г р и р у ю щ и м

( т < 1 )

или

упругим

д и ф ф е р е н ц и ­

р у ю щ и м

( т > 1 ) ,

поскольку

в первом

случае

оно

дает, как

п о к а з а н о

н и ж е ,

отставание

п о

фазе,

а во

втором — опере ­

ж е н и е . П е р е д а т о ч н а я

ф у н к ц и я звена

имеет

вид

\

+

рТ

\

+ Jioi

(4-18)

П р и м е р 4-6 [2].

Рассмотрим

^ С - д е л и т е л и

н а п р я ж е н и я

по схеме рис. 4-9,а, 6; получаем

в ы р а ж е н и е

для

о п е р а т о р ­

ного к о э ф ф и ц и е н т а

передачи

R

С

0-

2

•

0.

"1

а)

&fi-T

RZC=T0

б)

Рис. 4-9. Примеры

упругих звеньев

W =

Z2

Z1

+ Z2

где для схемы

(а)

Z1

= R l t

2 , — R2

4-

pCi

а для

схемы (6")

Ri

I

+ PR1C2'

П о э т

о м у схема (a)

(T0=RzC\,

Т=

(Ri +R2)С\)

является

упругим

и н т е г р и р у ю щ и м

звеном,

а схема (б)

(To=R\C2,

•Сч) — упругим

д и ф ф е р е н ц и р у ю щ и м .

Т а к и е

звенья часто п р и м е н я ю т

пр и к о р р е к ц и и

С А Р .

"V. 1 1 -

La

^ - ^ s i — „

"a

1

/ • cO

Я

r

6)

г).

д)

в)

Рис. 4-10. Динамические характеристики упругих звеньев

А Ф Х

для

звена

(4-18) п о к а з а н а

на

рис .

4-10,а,

б, пр и

этом

Л (со) =

,

ф (со) = arctg соТ0

- arctg соГ.

(4-19)

И з у р а в н е н и я (4-19)

легко н а й т и

частоту

сот , пр и кото ­

р о й ф а з о в ы й

сдвиг

максимален

п о

м о д у л ю : из

условия

—— = 0,

получаем

сот

1

.

т - 1

(4-20)

= - — - , ' ф т = arcsin

% + 1

А с и м п т о т и ч е с к и е

Л А Ч Х и м е ю т

вид (рис.

4-10,в, г):

для т < 1

О,

О <

ш <

т ~ \

£ а ( « ) =

-201gcor,

Г" 1

< со < Го-

201gT,

со >

Го"1 ;

La(co) :

201 g со Го,

Го"1

< с о < Г - \

201 g t ,

•

с о > Г - 1 .

П е р е х о д н у ю

ф у н к ц и ю

(рис.

4-10,0,

е)

находим

по тео­

реме

р а з л о ж е н и я

1

1 + рГо -} = 1

_

t

М О

L-

+

(, _

1) в

т .

(4-21)

/>0

' ( - р

\ + рт

И м п у л ь с н а я х а р а к т е р и с т и к а

с о д е р ж и т

у ж е дельта - функцию,

как

и для д и ф ф е р е н ц и р у ю щ е г о

звена.

б. Колебательное

звено

описывается

у р а в н е н и е м

dt*

d t ^

(4-22)

a

где

k — статический

к о э ф ф и ц и е н т

усиления,

пр и

степени

затухания

0 < | < 1 ,

что

соответствует

комплексным

корням

у р а в н е н и я

( р Г ) 2

+ 21Тр +1

=

0.

З а м е т и м , что если

к о р н и

последнего

у р а в н е н и я

были

бы

действительными,

то

звено

м о ж н о

было

бы

представить

в

виде

двух

последовательно

с о е д и н е н н ы х

и н е р ц и о н н ы х

(например,

п р и

5 = 1

получаем

два

и н е р ц и о н н ы х

звена

с

одинаковыми п о с т о я н н ы м и времени Г ) .

П о с т о я н н а я

времени

Г

колебательного звена

связана

с

его

р е з о н а н с н о й

частотой

к о о = Г - 1 ,

п о э т о м у

иногда

уравне ­

н и е (4-22)

з а п и с ы в а ю т в

виде

~ 7 + 2

£ш0

jjL + u320y =

ktx,

kt •.

kjcoo-

(4-23)

П р и м е р

4-7. П р и м е р а м и

к о л е б а т е л ь н ы х

звеньев

м о ж е т

быть

кЬС-контур

(рис. 4-11,с)

ил и

упругая

механическая

с и с т е ма

со

значительной

массой (6),

простейшая

следящая

система

с

колебательным

х а р а к т е р о м

п е р е х о д н ы х

п р о ц е с ­

сов. П р и м е р моделирования колебательного звена

дан на

рис. 4-11, в.

Я С С

7777777.

б)

f

Рис. 4-11. Примеры колебательных

звеньев

ДЛЯ

^ L C - к о н т у р а

(а)

dt*

dt

поэтому

при £ — —

—

< 1 'получаем

(кюлабателыню e з1ве-

н о

с

параметрами

T2—LC,

2\T=RC,

k=\.

Для

механичес ­

к о й

с и с т е м ы |(ри|с. 4-11,6)

уравгаеиие

да,

д е й с т в у ю щ и х на

телю марсы т, и м е е т вид

а(х

— у)=

т

dt*

+ Ъ

dt

—,

v

где a, b — к о э ф ф и ц и е н т ы п р у ж и н ы и

успокоителя .

П е р е д а т о ч н а я

ф у н к ц и я

колебательного

звена

р а в н а

W (р) = — — —

, W (/оз) =

1 + 25Г/ш +

. (4-24)

1 + жгр + (рту

(;<оГ)а

А Ф Х

колебательного

звена п о к а з а н а

на

рис . 4-12,а.

З а м е ­

чаем,

что при <о =

Т~1, когда

W(ja).=k/2j%,

фазовый

сдвиг,

равен

( — — ) . С у м е н ь ш е н и е м

степени

затухания

А Ф Х уве­

личивается в р а з м е р а х (рис. 4-12,а), вырождаясь

в две

полу­

п р я м ы е

при £ = 0 .

Асимптотическая

Л А Ч Х

(рис. 4-12,6) имеет

вид

.

,

1 а ( , ю ) = /

2 0

1

^ . .

ю>Т-\

о«»<т-К

'

l 2 0 l g A - 4 0 l g o ) r ,

б д н а ко

поправка

к х а р а к т е р и с т и к е

6(со) = L ( t o ) — La (co)

м о ж е т

достигнуть

(в

отличие

от и н е р ц и о н н о г о

или

реаль­

ного

д и ф ф е р е н ц и р у ю щ е г о

звеньев,

где

б -^3

дб)

сколь

угодно

большой

величины

пр и

£->-0.

П о э т о м у

обычно

гра­

ф и к п о п р а в о к

(рис. 4-12,в)

и с п о л ь з у ю т

пр и п о с т р о е н и и

Л А Ч Х . П р и 0 , 4 < £ < 0 , 8 п о п р а в к а м и

м о ж н о

н е

пользоваться.

Ч т о б ы

воспользоваться

т е о р е м о й

р а з л о ж е н и я

для '

н а х о ж ­

дения

импульсной х а р а к т е р и с т и к и

и п е р е х о д н о й

ф у н к ц и и ,

находим

к о р н и

у р а в н е н и я (4-23)

/>1.2 =

~ 6

±

7 ^ 1

~ ^ '

=

- Р

±

М

,

(4-26)

где

iff—£Г~'=|;1СОо

— к о э ф ф и ц и е н т ' затухания;

ш.с =

юо V 1 — £2

— собственная

частота

к о л е б а н и й

звена.

П о э т о м у импульсная

х а р а к т е р и с т и к а

ro(*) =

- ^ - . e - w . s i n < o e * ,

(4-27)

а п е р е х о д н а я ф у н к ц и я

h{t)

=

k\\

— е-*3 '(cos fnJ + -2-

sin act)].

(4-28)

Г р а ф и к и

э т и х

х а р а к т е р и с т и к

п о к а з а н ы

на рис . 4-12,г,. д.

7.

Звено

запаздывания

описывается

у р а в н е н и е м

y(t)=x(t-x0),

(4-29)

где

То — время

запаздывания .

Т а к и м образом,

выходная

п е р е м е н н а я

звена

повторяет

входное

воздействие,

как

и

в

б е з ы н е р ц и о н н о м

звене,

н о

с

запаздыванием .

В

автоматике

звено

запаздывания

н а и б о л е е

часто

встречается

в

виде

транспортного

запазды­

вания

( т р а н с п о р т и р о в к а

твердых и

сыпучих тел — п о

кон­

вейерам

и

транспортерам,

ж и д к о с т е й — п о

трубопроводам,

э л е к т р о э н е р г и и — п о

л и н и я м

э л е к т р о п е р е д а ч

и т. д . ) .

П о

т е о р е м е

запаздывания

(см. табл.

3-1)

из

(4-29)

получаем

в ы р а ж е н и е

для п е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и и

W

(р)

=

е-Р*°, W(jco) = e~i™°.

(4-30)

Учитывая, что

e_ / '""°=cosici)T;o—/sin юто, получаем

I

Л ( о ) ) = 1 ,

ф ( с о ) = —©to,

А Ф Х

И Л А Ч Х з а п а з д ы в а ю щ е г о звена п о к а з а н а на

рис. 4-13,а,

6.

Рис. 4-13. Частотные характеристики звена

за­

паздывания

Д р у г и е

т и п ы

звеньев

п о д р о б н о р а с с м о т р е н ы в

[2].

§

4-3. О с н о в н ы е

с п о с о б ы с о е д и н е н и я

звеньев

И м е е т с я

три

о с н о в н ы х способа соединения

звеньев

(рис . 4-14):

последовательное ( к а с к а д н о е ) , п а р а л л е л ь н о е и

о б р а т н о й

связью

( а н т и п а р а л л е л ь н о е ) .

Ylpu

последовательном

соединении

выходная

п е р е м е н н а я •

звена

подается

на

вход

следующего

(рис.

4-14,а).

П о э т о м у

Y(p)

=Хп-1

(р) • Wn(p)

=ХП-2(Р)

• ^ n - i ( p )

• Wn(p)

=...=

п

=

Y\wi(p)-*(p)-

Т а к и м о б р а з о м

передаточная

ф у н к ц и я

каскада

равна

X (р)

При.

параллельном

соединении

одно

воздействие

пода­

ется

на

п

звеньев,

а и х

выходные

п е р е м е н н ы е

суммируются

(рис. 4-14,6).

П о с к о л ь к у

л

*

£-1

ТО

w

{ p

)

=

i ^

= Y i W i ( p ) -

( 4 _ 3 2 )

З а м е т и м ,

что

при

с у м м и р о в а н и и

со

з н а к о м м и н у с

послед ­

н и й

м о ж н о

приписать

соответствующей

п е р е д а т о ч н о й

ф у н к ц и и .

При

соединении

обратной

связью

выходная

п е р е м е н н а я

звена

в

п р я м о й

ц е п и

подается

через

звено

о б р а т н о й

связи

на

вход

первого

звена

со

з н а к о м

.плюс

( п о л о ж и т е л ь н а я

обратная

связь — п- о. с.)

и л и м и н у с

(отрицательная

обрат ­

ная

связь —'о. о. с.)

(рис.

4-14,в). Л е г к о убедиться,

что

у (

р

) =

т

=

—

ъ

м

—

,

•

(4-зз)

Х(р)

1 ±

Wn{p).Wo(p)

где

з н а к

п л ю с берется

для о. о. с ,

знак

м и н у с — для

п. о. с.

П р и

р а с с м о т р е н и и

с о е д и н е н и й

звеньев

н е о б х о д и м о учи­

тывать

влияние

звена,

подключаемого к выходу другого.

Так,

например,

передаточная

ф у н к ц и я

с о е д и н е н н ы х

п о с л е ­

довательно двух

у п р у г и х

звеньев,

р а с с м о т р е н н ы х в

приме -

ре 4-6 (рис. 4-9,а,

б), пр и С2 = 2С[ = 2С,

Rt=R2=R

не

рав ­

на

хотя

1+рТ

1+2рТ

, Т =

RC.

2(1 +

рГ)

Э т о п р о и с х о д и т

из-за

того, что

пр и

выводе

п е р е д а т о ч н ы х

ф у н к ц и й с о п р о т и в л е н и е

нагрузки

принималось

равным бес­

конечности

( р е ж и м холостого

х о д а ) , а

пр и

о б ы ч н о м

соеди­

н е н и и

он о

конечно . Для того чтобы

с о е д и н е н и е

звеньев

не влияло на их передаточные

ф у н к ц и и ,

необходимо,

чтобы

входное с о п р о т и в л е н и е

п о с л е д у ю щ е г о

звена или

мощность

выходного

сигнала предыдущего

звена

м о ж н о

было

считать

бесконечно

большой

величиной .

П о э т о м у

,при

каскадном

соединении,

н а п р и м е р ,

пассивных

i^LC-цепей

м е ж д у

н и м и

д о л ж е н

ставиться

разделительный

каскад,

например,

лам­

повый

катодный повторитель

( i ? B J s o 3 ,

RBbix

= 0 ) .

П р и с о е д и н е н и и

звеньев

часто

бывает

н е о б х о д и м о

построить

ч а с т о т н у ю

х а р а к т е р и с т и к у

соединения .

И с п о л ь ­

зуя п р а в и л а

действий

над

комплексными

величинами,

следует

п е р е м н о ж и т ь

аргументы

и с л о ж и т ь

фазы,

а

пр и

параллельном

с о е д и н е н и и — сложить

порознь

действитель ­

ные и м н и м ы е части комплексных

к о э ф ф и ц и е н т о в

усиле ­

ния

каждого

звена

для

к а ж д о й из

в ы б р а н н ы х

частот.

В и н ж е н е р н о й

п р а к т и к е

пр и

анализе

о д н о к о н т у р н ы х

систем часто

требуется

построить

л о г а р и ф м и ч е с к и е

харак ­

т е р и с т и к и р а з о м к н у т о й

системы,

к о т о р а я

п о

с т р у к т у р е

о б ы ч н о представляет из себя ряд

с о е д и н е н н ы х

последова ­

тельно т и п о в ы х звеньев. Учитывая,

что п е р е д а т о ч н ы е

ф у н к ­

ц и и

звеньев

пр и

этом

п е р е м н о ж а ю т с я ,

м о ж н о

построить

L(a>)

и

<р(со)

для

отдельных

звеньев,

а

затем

и х сложить .

О д н а к о

б о л е е

у д о б н о

построить

эти

х а р а к т е р и с т и к и

сле­

д у ю щ и м

о б р а з о м (см. п р и м е р

4-8).

П р и м е р 4-8. П о с т р о и м

L(a)

и

ф (СО) для

р а з о м к н у т о й

системы,

и м е ю щ е й

к о м п л е к с н ы й

к о э ф ф и ц и е н т

у с и л е н и я

100 (1 +

/со 1,25)3

;ш(1

+

/о)5)2 (1 +/0)0,04) '

где все п о с т о я н н ы е

времени д а н ы в

секундах .

Удобно п р и д е р ж и в а т ь с я следующего порядка

построения .

1. О п р е д е л я е м

с о п р я г а ю щ и е

частоты

(в

порядке

возра­

стания) :

coi = l/5 =

0,2

сек~\

© 2 = 1 / 1 , 2 5 =

0,8

сек'1,

ш3

= 1/0,04 =

25

сек'1.

2.

О п р е д е л я е м

отрезки

асимптот (рис. 4-15) для диапа ­

зонов

частот:

го

*

" Ж

J

у

it"

0,1

\о,г

ays

0 < ю <,coi:

LI o (ico) =

201gl00-201gco;

coi<co < ©2:

L 2

a ( o ) )

= L ] a ( a ) —2• 201gico5;

© 2 < < о ^ ю з :

L 3

a ( o ) )

=L2 a (a))-f-2-201gio)l,25;

(Оз<со< oo

L4 o (co) = L 3 a ( a ) ) —201gco0,04.

З а м е ч а н и е .

Чтобы

определить

положение

первой

асимптоты

Lia{<o)

, проще всего

положить со = 1 , тогда L \ a (1) =40 дб.

Через эту

точку

и

проводят

первую

асимптоту

с

соответствующим

наклоном

(в нашем

случае,

с

наклоном — 20 дб/дек),

однако

эта асимптота дей­

ствительна

лишь до

первой

сопрягающей

частоты

(см. рис. 4-15).

3.

Для п о с т р о е н и я

ф а з о ч а с т о т н о й

х а р а к т е р и с т и к и ( Ф Ч Х )

учитываем, что

аргумент

<р ( ф а з а )

комплексного

с о м н о ж и -

. теля

равен:

Ф ( ( / « ) f t }

=k-n/2,

Ф { ( l ± i f f l r ) f e } = £ a r c t g ( ± c o r ) ,

>

6—291

81