книги из ГПНТБ / Шичков А.Н. Температурный режим листопрокатных валков

Попутно следует отметить, что если вращение отсутствует, т. е. <»0 = 0, то уравнение (1.31) примет вид

Выражение (1.34) имеет комплексную форму записи. Выделим в нем мнимую и действительную части. Из теории Бесселевых функ­

где Ьег„ и Ьеі„ — функции Кельвина (Томсона) n-го порядка. В то же время известно, что

20

Уравнение, которому удовлетворяет функция А*п (р, Fo), будет

Общее решение этого уравнения имеет вид

а коэффициент Cnk, как и в предыдущем случае, находится по вы­

ражению

1г

Окончательное выражение для функции Ап (р, Fo) с учетом (1.29), (1.34),- (1.44) и (1.46) будет иметь вид

Выражение для коэффициента Bn (р, Fo) окажется "абсолютно таким же, как (1.47), только вместо коэффициента Nn будет коэф­ фициент М п.

Приведенные решения позволяют написать выражение для не­ стационарного радиального температурного поля валка без внут­ реннего охлаждения, для чего необходимо в (1.6) подставить (1.28)

и (1.47):

Ѳ(р, Ф, Fo) = 0,5Л0 (р, Fo) + 2 А п (р, Fo) cos (пф) +

п—1

+ ß„(p, Fo) sin (wp) = Ѳ—

21'

-2j'[0 — Ѳ0] -MPoftP) Pdp

J 0 (pOjfcP) e - ^ F0+

J P^ot^oftP) dP

0

X / „ ( |W ) e ^ Ро] e‘ PdF°[A£„cos(n(p) + M„sin(ncp)]. (1.48)

Из рассмотрения выражения (1.48) можно сделать следующие выводы:

1. Нестационарное радиальное температурное поле валка пр заданных граничных и начальных условиях состоит из алгебраи­ ческой суммы осесимметричного нестационарного поля с темпера­ турой на поверхности Ѳ и неосесимметричного нестационарного поля, выраженного двойной суммой по п и к. При этом сумма по

пи k сходится быстрее, чем сумма по k при п — 0, так как jx0*<С

2.Время неустановившегося процесса всего поля определяется осесимметричной составляющей, так как нестационарный процесс

в ней зависит только от числа Fo и заканчивается при Fo äs 0,8, а в неосесимметричной составляющей— от двух комплексов: Pd и Fo. А именно, как будет показано ниже, с увеличением аргумента

Іп [У і Pd)

стремится к нулю, а следовательно, с увеличением скорости враще­ ния время неустановившегося процесса в неосесимметричной состав­ ляющей уменьшается. Даже в предельном случае, когда P d=0 время неустановившегося процесса в неосесимметричной составляющей будет меньше, чем в осесимметричной, в связи с тем, что Ро/г<М-л£> поэтому экспонента в степени быстрее стремится к нулю, чем в степени р^.

3. Наличие в выражении (1.48) разности между средней темпе­

ратурой Ѳ и начальной Ѳ0 показывает, что время неустановивше­ гося процесса в валке будет тем меньше, чем меньше эта разность (амплитуда)/Следовательно, разогревать валки необходимо, и тем­ пература разогрева перед поставкой их в клеть должна быть близ­

22

Интегралы знаменателей С0/г и Cnk равны

I рJо (иоар) Ф = - у Л (роа) ;

J* Р^п (РлаР) dp = — Jn+i (Р'па)•

Если при данном распределении, температур на поверхности валка вращения не будет, т. е. ш0 = 0, а следовательно, Pd = О,

то (1.48) с учетом (1,36) примет вид

оо1

{[Ѳ— Ѳ0] /0(ИоАР) РФ

чезнут решения Ад (р, Fo) и А*п (р, Fo), выражения (1.48) и (1.49) примут более простой вид

со

т. е. осесимметричная составляющая на квазистационарном режиме

представляет собой равномерную температуру по сечению 0, а неосесимметричная выражена отношением модифицированных функций Бесселя комплексного аргумента, причем числитель об­ ладает переменным аргументом р, а знаменатель — р = 1. Если р 0, то и неосесимметричная составляющая стремится к нулю.

При исследованиях влияния Pd на температурное поле доста­ точно воспользоваться комплексным выражением вида (1.48) или

23

(1.50), но при этом следует оценивать поведение модуля функции. Согласно (1.37)

Исследования зависимости ( .52) упростятся, если принять во внимание^ что bn (]/P d )< b 0 (j/P d), а при P d > 4 bn (У"РЗ)

b0(]/P d ). Тогда при анализе достаточно рассматривать пове­ дение модуля модифицированной функции Бесселя комплексного аргумента нулевого порядка, т. е. при Pd>>4 имеет место равенство

При этих же значениях аргумента функции Кельвина можно считать по асимптотическим формулам [21, 40, 95], т. е.

§ 3. Температурное поле валка с наружным и внутренним (комбинированным) охлаждением

В этом и в последующих параграфах будет рассмотрена эффек­ тивность применения наружного, внутреннего и комбинированного охлаждения валков и роликов УНРС. Решение уравнений темпе­ ратурного поля для валка с комбинированным охлаждением ана­ логично решению, приведенному выше. Отличие заключается в сле­ дующем. При решении уравнения (1.20) с граничными условиями (1.136) получим выражение

Общим решением (1.22) для полого цилиндра будет

fc=i

24 t

Выражение (1.58) является характеристическим уравнением. Аналогично предыдущему получим выражение для Cok — коэффи­ циентов разложения функции А0 (рі, р, 0) в ряд по комбинирован­ ным функциям Бесселя, а именно с учетом (1.56) и (1.19)

где Кп [ V t'Pdp) — модифицированная функция Бесселя (функция Макдональда) комплексного аргумента n-го порядка.

Произвольные постоянные найдутся из граничных условий

(1.156), а именно

А п (Рі, р = 1) = i V / pdFo= C1/ n { Ѵ Щ + С2К П(K iP d );

An(P= Pi) = 0 = C J n (jA P d pi) + C2K n ( ] / i Pd Pi);

25

Так как зависимость (1.63) получена в комплексной форме, то выделим в ней действительную и мнимую части.

Из предыдущего параграфа нам известно представление моди­ фицированных функций Бесселя 1-го рода n-го порядка, комплекс­ ного аргумента в виде функций Кельвина. Аналогичные выраже­ ния [21, 36, 95] для функций Макдональда имеют вид

26

Далее найдем решение A (P n p, Fo). Общим решением уравнения (1.43) для полого цилиндра будет выражение вида

27

Соответственно с учетом (1.63) получим зависимость для Cnk\

Зависимость для коэффициента Вп (рх, р, Fo) будет аналогична (1.73) , только вместо Nn будет М п. Если в (1.6) подставить (1.60) (1.73) и выражение для Bn (р, Fo), то получим решение уравнения теплопроводности для цилиндра с комбинированным охлаждением

28

При рассмотрении выражения (1.74) можно сделать все те же выводы, что и для температурного поля валка без внутреннего ох­ лаждения. Отличие заключается в следующем:

1. Осесимметричная составляющая представляет собой неуста­ новившееся температурное поле с температурами: на внешней по­ верхности Ѳ и на внутренней поверхности

2.Время неустановившегося процесса определяется также осе­ симметричным полем, но в этом случае оно зависит от рх = R J R q. Например, при рх = 0,2 Fo « 0,4, т. е. практически в два раза меньше времени неустановившегося процесса в сплошном цилиндре.

3.Неустановившийся процесс в неосесимметричной составляю­ щей поля также зависит от чисел Pd и Fo, но критерий Pd является

29