книги из ГПНТБ / Шичков А.Н. Температурный режим листопрокатных валков

ходимо учитывать эту зависимость. Существующие численные ме­ тоды с помощью ЭВМ и методы электротепловой аналогии (ЭТА) [33] позволяют решать частные конкретные задачи. При необходи­ мости такая задача может быть решена и для валка.

Исследования температурного поля поверхностной зоны вра­ щающегося рабочего валка (приведенные в § 4) показали, что об­ ласть температурного поля, в которой значения температур превы­ шают 200—250° С, т. е. область, где необходимо учитывать влияние температуры на теплофизические свойства (поверхность контакта валка и прокатываемого металла и близлежащая зона вглубь по радиусу), чрезвычайно мала по сравнению со всем рассматривае­ мым температурным полем. Учитывая этот факт, будем находить аналитическое решение нашей задачи при условии, что коэффициент температуропроводности материала валка не зависит от темпера­ туры.

Перейдем к заданию граничных и начальных условий, имея в виду,что решено рассматривать раздельно радиальное и осевое температурные поля валка.

Г р а н и ч н ы е у с л о в и я в р а д и а л ь н о м с е ч е ­ н и и р а б о ч е г о - в а л к а . В процессе прокатки рабочие и опорные вращающиеся валки листопрокатных станов и роликов УНРС имеют смешанные граничные условия, зависящие от угла <р. В качестве иллюстрации на рис. 2, а представлена схема распреде­ ления граничных условий рабочего валка листопрокатного стана.

В зоне фі верхний и нижний рабочие валки соприкасаются с про­ катываемым металлом, имеющим температуру tn. В зоне ф3 на по­ верхность валка подается из брызгальных коллекторов 5 и 7 охлаж­ дающая жидкость (вода или эмульсия), имеющая температуру /)К. Для предотвращения попадания охлаждающей воды на прокаты­ ваемый металл установлены съемники воды (проводки) 3 и 8. В зо­ нах ф2 и ф4 валок воспринимает тепловой поток путем лучистого теплообмена с прокатываемым металлом, и часть тепла отдается конвекцией окружающему воздуху. В зоне фа рабочий валок клети типа «кварто» соприкасается с опорным валком.

Рассмотрим каждую зону раздельно. В зоне ф3, как уже отме­ чалось, валок охлаждается жидкостью (водой или эмульсией). Согласно исследованиям конвективного теплообмена, при струй­ ном охлаждении вращающихся валков, приведенных в главе III, численное значение коэффициента теплоотдачи а, отнесенного к полной поверхности валка при подаче воды с одного коллектора, равно приблизительно 103 Вт/(м2-К). При-этом, естественно, сред­ ний коэффициент теплоотдачи, отнесенный к поверхности, непосред­ ственно охлаждаемой струями tpg, будет как минимум на порядок

выше, ибо фз = 30н-40°. При такой величине местного а число Ві в зоне Фз будет иметь значение

Bi = a D J l = ІО4 • 0.6/50 äs 100.

10

Рис. 2. Распределение граничных условий на поверхности верхнего рабочего валка листопрокатного стана

Пояснения в тексте

и

Согласно [43] при таком значении Ві в зоне ф" температура по­

верхности валка практически равна температуре охлаждающей жидкости /ж.

Так как на выходе из зон фх и ср2 температура поверхности валка высокая, то в зоне фд имеет место кипение. Поток охлаждающей

воды, стекающей по нагретой поверхности вращающегося навстречу валка, создает благоприятные условия для интенсивного теплооб­ мена. Из-за того, что теплообмен происходит при атмосферном-дав­ лении и относительная скорость движения жидкости и нагретой поверхности превышает 5 м/с, коэффициент теплоотдачи достигает максимального значения 25 -ІО3 Вт/(м2-К), которому соответствует интенсивность пузырькового кипения при атмосферном давлении [25, 41, 49]. Интенсивный теплообмен в зоне фд приводит к резкому

понижению температуры поверхности валка до значений ниже 100° С. Значительный объем проточной воды, постоянно находя­ щейся между проводкой и валком, поглощает паровые пузыри. Видимо, поэтому при прокатке не наблюдается явно выраженного кипения на поверхности валка.

Величина угла фд не превышает 4-н6°; в связи с этим на значи­

тельно преобладающей поверхности валка имеет место конвектив­ ный теплообмен без кипения. Поэтому в дальнейшем мы будем ис­ следовать конвективный теплообмен при струйном охлаждении

лучистого теплообмена с прокатываемым металлом и отдает часть

тепловой поток, воспринимаемый валком от прокатываемого ме­ талла, без учета лучистого теплообмена в зависимости от клети из­ меняется от 3700ІО3 до 7800ІО3 Вт. Сравнивая эти цифры с вели­ чиной <2Л, становится очевидным, что учитывать лучистый тепло­

12

обмен совершенно нецелесообразно. Что касается конвективного теплообмена, то здесь также QKбудет значительно меньше далее фл, ибо коэффициент теплоотдачи конвекцией от вращающегося валка а не превышает 20 Вт/(м2-К) [78]. Расчеты и рассуждения, приве­ денные выше, дают основание принять поверхности в зонах ср2 и ф4 практически изолированными, т. е. (ö0/3p)p=1 = 0 при ср2 и ср4.

В зоне срх контакта валка и прокатываемого металла имеет место комплекс сложных явлений: пластическая деформация металла, упругая деформация валка, проскальзывание, трение, термиче­ ское сопротивление окалины, эффект вращения и др. Представляет определенные трудности оценить каждое из этих явлений с точки зрения теплового эффекта. Можно предсказать только, что темпе­ ратура на поверхности валка увеличивается от точки 1 до точки 2 (см. рис. 2, а), причем в точке 2 /2 = ^max-sC

В зоне контакта опорного и рабочего валков ср5 температура на поверхности равна ton, причем /тах ^оп> іж- Нюке, когда при решении данной задачи будут введены новые понятия, мы уточним значения температур в зонах фх и ср5.

Таким образом, рассмотрев все зоны поверхности валка, примем, что нам известно распределение температур на поверхности Ѳ (ср), т. е. заданы граничные условия 1-го рода. На рис. 2, б представлен график этой функции, где по оси абсцисс отложен угол <р, т. ,е. дана

следовательно, имеется какая-то средняя температура Ѳ, которая определяет среднеобъемную температуру валка.

Исходя из требований технологии и конструктивных особенно­ стей, а именно: места размещения брызгальных коллекторов 5 и 7 (см. рис. 2, а), уровня установки проводок и др., комбинации гра­ ничных условий на внешней поверхности валка 0 (ср), а следова­

тельно, и 0 могут быть различны. Температурный режим валка за­ висит от этих условий, и в процессе эксплуатации стана необхо­ димо уметь находить оптимальный вариант распределения гранич­ ных условий. Решение этого вопроса является одной из задач дан­ ной работы.

Прежде чем записать окончательное выражение для граничного условия на внешней поверхности валка, сделаем еще одно замеча­ ние. В процессе прокатки валок вращается с угловой скоростью со0, и решать уравнение (1.1) следует для вращающейся системы. Более удобно, если условие вращения заложить в граничное ус­ ловие.

В общем случае условие вращения может быть задано следую­ щим образом:

Ѳр=і = 0 (ф) [А cos (со0т) -j-ß sin (со0т)].

13

В зависимости от начальной фазы ср0, где tg ф0 = ВІА, может быть либо А — 0, либо В = 0, либо А Ф 0 я В Ф 0. С тем, чтобы решить общую задачу для любых ф0, положим А = 1, а ß = і (мни­ мая единица); тогда граничные условия примут вид

Ѳр=1 = Ѳ(ф) [cos (со0т) + i sin (со0т)] = Ѳ(ф) еш°х = 0 (ф) é PdFo,

где Рс? = щНІІа — критерий Предводителева.

Такое представление граничных условий в комплексной форме широко используется при решении различных краевых задач ма­ тематической физики [1, 4, 18].

При наличии внутреннего охлаждения теплообмен при р = рх может быть задан граничным условием 3-го рода. Однако учитывая," что при организации внутреннего охлаждения мы будем стремиться к максимальной интенсивности, при решении уравнения (1.1) при­ мем, что на внутренней поверхности заданы граничные условия

1-го рода, т. е. Ѳр=р = Ѳ, = const.

В том случае, когда имеется осевое отверстие, а вынужденного внутреннего охлаждения нет, то учитывая, что интенсивность имею­ щейся там свободной конвекции весьма мала, можно считать поверх­ ность рх теплоизолированной, а именно дѲ/öp = 0 при р = рх. Если при этом рх<[0,2 -г- 0,3, то решение уравнения (1.1) соответст­ вует решению для сплошного цилиндра.

Н а ч а л ь н ы е у с л о в и я . В общем случае следует считать при решении уравнения (1.1) для радиального сечения, что нам заданы начальные условия в виде функции распределения по р и ф:

Ѳ(р, ф, 0) = Ѳ„(р, ф).

Перед завалкой в клеть валки листопрокатных станов разогре­ вают в индукционных установках до температуры 70—80° С, а затем выдерживают определенный период для выравнивания тем­ пературного поля. В связи с этим практически следует считать, что температурное поле валка перед прокаткой первого рулона (рас­ ката) равномерно и равно t0, т. е. Ѳ = Ѳ0 = const при %= 0.

Мы описали граничные и начальные условия для радиального сечения валка. Что касается осевого сечения, то этому вопросу по­ священ § 6 данной главы. Уравнение (1.1), начальные и граничные условия, описывающие нестационарное радиальное температурное поле валка при условии, что теплофизические свойства материала не зависят от .температуры, имеют вид

14

где k = 0, 1, 2, 3------

Таким образом, мы сформулировали математическую постановку задачи. Дифференциальное уравнение (1.2) с условиями однознач­ ности дает возможность получить единственное решение, описы­ вающее радиальное нестационарное температурное поле вращаю­ щегося валка листопрокатного стана или ролика УНРС.

С тем, чтобы исключить в уравнении (1.2) координату ср, решение его будем искать в виде тригонометрического ряда Фурье. Такой прием был предложен Г. А. Гринбергом [18]:

Здесь выражение для 0 (р, Fo) есть не что иное, как среднеин­ тегральная по углу ф функция, описывающая нестационарное ра­ диальное температурное поле, которое впредь мы будем называть

осесимметричной составляющей температурного поля валка; а

сумму с коэффициентами

1я

Ап (р, Fo) = — I Ѳ(р, ф, Fo) cos (шр) гіф,

—Л

\я

в п (Р , Fo) = — j' Ѳ(р, ф, Fo) sin (n, ф) d(f

—я

— неосесимметричной составляющей этого поля.

При нахождении решения в виде тригонометрического ряда

15

Если (1.6) является решением линейного уравнения (1.2), то каждое из слагаемых этого выражения также является решением того же уравнения.

Подставим А о (р, Fo), Ап (р, Fo) cos (rap) и Вп (р, Fo) sin (mp)

в (1.2), в результате получим уравнения, которым удовлетворяют данные коэффициенты. Запишем эти уравнения с соответствующими граничными и начальными условиями:

16

и (1.16) при заданных граничных и начальных условиях (1.13), (1.15) и (1.17), построить решения для нестационарных, квазистационарных и стационарных радиальных температурных полей вал­ ков и исследовать эти решения.

§ 2. Температурное поле валка без внутреннего охлаждения

Температурное поле рабочего или опорного валка без внутрен­ него охлаждения описывается функцией (1.6), где коэффициенты удовлетворяют уравнениям (1.12), (1.14) и (1.16) при начальных и граничных условиях пункта «а» (1.13), (1.15) и (1.17).

Решение уравнения (1.12), как и все последующие, будем искать

(1.12) при нестационарных условиях, но при нулевых граничных

условиях, т. е. А0 (1, Fo) = 0.

Чтобы подчинить решение (1.18) начальному условию, необхо­

где J 0 (fx0A, p) — Бесселева функция нулевого порядка 1-го рода (собственная функция); /.іок — корень характеристического урав­ нения, получаемый из граничного условия.

На поверхности

°°2

Выражение (1.25) является характеристическим уравнением. Ко­ эффициент С0к получаем из начального условия; а именно

ft=i

откуда следует, что Сок есть /е-й коэффициент разложения функции

А0 (р, 0) в ряд по функциям-Бесселя (по собственным функциям). Он равен

]Ѵ о (Р ° ь Р)dp

о

Трудность отыскания коэффициентов разложения Сок зависит от того, какая функция представляется в виде ряда, т. е. какое вы­ ражение стоит в квадратных скобках интеграла числителя.

В дальнейшем, при написании формул, для удобства анализа будем сохранять выражение для Ск в виде (1.27). Таким образом,

18

выражение для A Q(р, Fo) с учетом (1.18), (1.21), (1.23), (1.27) будет иметь вид

где Л„ (р) — решение уравнения (1.14) на квазистационарном ре­

жиме при граничных условиях (1.15); А*п (р, Fo) — решение урав­ нения (1.14) на нестационарном режиме при нулевом граничном условии.

Прежде чем записать уравнение для Ап (р), сделаем следующее замечание: если на поверхности твердого тела температура меняется по какому-либо периодическому закону, то изменение температур­

где Іп { у tPd р) — модифицированная функция Бесселя комплекс­ ного аргумента n-го порядка.

Произвольную постоянную Сх найдем из граничного условия,