![](/user_photo/_userpic.png)
книги из ГПНТБ / Сапрыкин Г.С. Исследование операций в энергетических расчетах учеб. пособие для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей теплотехн. каф., аспирантов и студентов специальности 0305
.pdfется вершшой Q.( |
, расположенной синиетрично вершине а |
отно |
|||||||
сительно грани |
• Построение симплекса |
(Ц&с |
осуществляет |
||||||
ся опрелелением центра |
е |
грани |
fee |
, после чего на про - |
|||||
долженви прямой, |
проведенной через точки |
а |
и |
е |
. откладыва |
||||
ется отрезок ав’ЧЦВ. |
Пунктирная стрелка показывает путь пре |
||||||||
образований симплекса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В новой вервяне а, |
|
вычисляется целевая функция, |
значение |
||||||
которой сравнивается с её известный! значениями в вериинах Ь и с . |
|||||||||
Находится верш а |
с наибольшим значением целевой функции для |
||||||||
сшгалекоа (ц£с |
С на рисунке вершина |
С |
) . |
подлежащая ис |
|||||
ключенив при построении симплекса |
Q(&d |
|
и т.д. |
|
|
||||
Симплексный метод позволяет достаточно быстро продвигаться |
|||||||||
к оптимуму без вычисления производных. |
|
|
|
|
|
||||
Процесс поиска оптимума затрудняется при наличии |
"оврагов" |
||||||||
у целевой функции. Для этого случая разработан специальный ые - |
ход - метод патов по"оврагу". Предварительно все переменные раз биваются на две группы - существенно и несущественно влияющие на
значение целевой функции ври их изменении ( |
если это нельзя сде |
|||||||
лать предварительно, |
такое разбиение производят в процессе |
поис |
||||||
ка оптимума ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Процеоо начинается яа |
начальной точки |
Хц (рис. 3-8) |
поиском |
|||||
|
|
|
минимума ( любым описанным выне спо |
|||||
|
|
|
собом). При наличии "оврага" процеоо |
|||||
|
|
|
заканчивается нашего дне |
( в |
кри |
|||
|
|
|
тической точке U0 |
) . Далее из точ |
||||
|
|
|
ки Х„ |
делается ваг в направлении |
||||
|
|
|
наибольшего изменения переменных , |
|||||
|
|
|
несущественно влияющих на звдчение |
|||||
|
|
|
целевой функции ( до точки |
Х4 |
) . |
|||
|
|
|
Из состояния |
процесс поиска |
||||
|
|
|
минимума повторяется и находится |
|||||
Рис.3-я. |
Поиск оптимума |
еще одна критическая точка |
Ц.< |
, |
||||
расположенная на дне оврага. Точки |
||||||||
методом "вагов по оврагу" |
Цв и |
U, соединяют прямой и де- |
||||||
• |
Х2 . Из точки |
_ лают ваг по"оврагу? |
дающий новое |
|||||
состояние |
Хренова делается спуск на_дно "овра |
|||||||
га", находится точка |
0,2 . |
затем получают состояние Х5 |
и т.д. |
|||||
Процесс заканчивается тогда, когда значение функции в точке |
[ц,, |
|||||||
не будет больше U* Оптимум будет находиться между этими точками. |
||||||||
Достоинства, недостатки, сравнение |
и вопросы |
практической |
реализации рассмотренных методов применительно к теплоэнергети50
ческии задачам подробно освещены в |
[гб .3ч ,35]и др. |
М е т о д ы с л у ч а й н о г о |
п о и с к а заклинается |
в переборе случайных совокупностейзначений независимых перемен ных с целью достижения оптимума. При этом отпадает необходимость использования специальных программ.при наличии ограничений.
Этих методов существует тоже большое количеств* • методы слепого поиска, случайных направлений ( с обратным шагом, с ли нейным пересчетом ) и др.
Наиболее-эффективны в смысле вычислительных затрат эти мето
ды при большой размерности |
задачи ; |
подробно они |
рассмотрены в |
[ 1 5 ,2 9 ,3 1 ,3 2 ,3 3 ,3 5 ,3 6 ] . |
|
|
|
Число переменных, т .е . |
размерность задачи, а |
также вид мате |
|
матического описания операции и тип |
ограничений |
определяют объем |
вычислений и метод решения оптимизационной задачи. Желание уско рить процесс нахождения оптимума и породило, в основном, такое многообразие методов нелинейного программирования.
В таблице 3 -2 дана характеристика областей-применения различ ных методов оптимизации . Как и в [ 29 ],разделение задач по коли - честву независимых параметров больше трех и меньше трех условно и выбрано из соображений наглядности изображения поверхности от клика. Однако это обстоятельство отражает действительные трудно сти, возникающие при решении задачи с размерностью, большей трех. При этом необходимо .учесть, что методы нелинейного программиро
вания являются средством решения не только специальных задач , отмеченных в таблице, но и могут быть использованы на отдельных этапах решения задач любыми другими методами.-
Самым универсальным средством решения задач математического моделирования являются электронные вычислительные машины. Мето
ды нелинейного программирования по своей сущности уже предус - ыатривают решение оптимальных задач на ЭЦВМ . Естественно, что вычислительные машины могут эффективно использоваться и при ре
шении оптимизационных |
задач другими методами, |
! На рис. 3 - 9 ,а |
.показано схематически положеиие,которое |
существовало до применения ЭВМ (аналоговых и цифровых). Имелись два "узких" места - постановка задачи ( анализ проблемы ) и
решение уравнений, получаемых в результате построения моделей.
Использование |
ЭВМ оставляет лишь одно |
"узкое" |
место |
(р и с.3 - 6 ,б) |
- постановку |
задачи-и снимает второе |
"узкое" |
место |
- решение |
уравнений. Необходимо отметить, что делаются первые попытки [35]"автоматизировать" и сам процесс постановки задачи.
51
Таблица 3-2
Области применения методов оптимизации
Примечание: ■ - эффективное применение метода; X - используется ; X - возможно применение; / - используется как вспомогательный
\ |
________ |
МЯТПиЯФ |
решение |
------------- |
Пооблема |
анализ |
иоделтир. |
Анализ |
|
|
и а п \ |
— |
резул ьтатов |
|
\ |
анализ |
./ М а т е ы а т . |
решение |
Анализ |
Проблема |
-у^модедир. |
р е зул ь та тов |
||
|
|
|
||
.......... ......» о |
" |
|
|
|
Рио. 3-9
Несмотря на то, что ЭВМ являются мощным средством решения оп
тимизационных задач, они долины использоваться далеко не во воех случаях. Необходимо учитывать следующие обстоятельства;
1. ЭВМ эффективнее человека при выполнении трудоемких и сложных вычислений.
2. Вычислительные машины быстрее и более точно, чем человек, выполняют простые логические операции, основанные на вычислениях.
3 . Человек способен решить задачи, связанные со сложными про цессами мышления. Поэтому применение ЭВМ ограничено решением за дач, не требующих по своему характеру присущего только человеку творческого мышления.
4. Способность человека к принятию продуманных решений можно
значительно усилить с помощью ЭВМ, поставляющей точную и своевре менную информацию.
5 . Принятие окончательных "волевых" решений остается за чело веком; эти решения невозможно ввести в программу ЭВМ.
Критерии целесообразности использования ЭВМ могут быть в первом приближении^ сформулированы следующим образом [3 6 J; '1
1. Неприемлемость или отсутствие аналитических методов реше ния задачи.
2 . Полная уверенность в успешном создании "точной” модели
процесса,, системы или операции, что обеспечивается достаточным количеством информации об оптимизируемых объектах. '
3 . Чрезвычайно большой объем вычислений.
■ 4 . Возможность использования процесса построения модели для исследования системы и её поведения.
И еще цитата, которой закончим параграф: " Применению ЭВМ для принятия решений препятствует нежелание некоторых менедже ров (организаторов,лиц, ответственных за выбор решений) уступить хоть какую-то часть своего суверенитета машине. Они ошибочно по лагают, что при этом их значение и положение принижаются, У них для этого нет оснований. Перед менеджером ( добавим - и- •перед исследователем) всегда ставится больше проблем, чем ои может решить. Наименее способные зачастую настолько много уделяют вни мания решения).:.которые можно автоматизировать, что-у них не оста ется времени на те , которые автоматизировать нельзя,а именно эти решения,как правило,, более важные, поскольку они чаще бывают стодтегическими.а не тактическими. Более того, вычислительной ма-
53
шинои долины управлять менеджеры. Эта новая и ванная обязан - вость руководства, порожденная автоматизацией процессов приня тия решений. Неспособность менеджера нести ответственность за вычислительную систему, выполняющую часть его работы (.добавим, фатальное - " что заложишь, то и подучишо может иметь сео ьезнне последствия [41] ”,
§ 3 - 3 . Оценка погрешности в оптимизационных задачах
Процесс построения, реализации и использования математической модели неизбежно сопровождается появлением определенного вида по грешностей.
Под погрешностью решения оптимизационной задачи понимается выбор того варианта, который фактическинеоптималев[п, 3 5 ,3 8 ].
Главные составляющие этой погрешности:'
1)погрешность исходных данных ;
2)приближенность математической модели ;
3)погрешность метода или алгоритма решения ;
4)вычислительная погрешность.
Первая погрешность появляется на этапе практического исполь зованияполученных решений на построенных математических моделях.
Она связана с вероятностным характером развития тепловых электро станций и топливно-энергетического баланса, неопределенностью по казателей технического прогресса;с вероятностным характером клима тических факторов и т .п .
Вторая погрешность возникает на этапе построения модели и с в я зана с исключением второстепенных " ыаловлияющих " факторов и от казом от оптимизации " второстепенных " независимых переменных.
Погрешность метода и алгоритма решения определяется при исполь зовании -ЭВМ шагом поиска оптимума и числом итераций при решении неявных функций. Вычислительная погрешность зависит от того, на сколько квалифицированно построена программа решения задачи. Пос
ледние перечисленные погрешности связаны о реализацией матеыатической модели.
Для количественнойСэкономя ческой) оценки погрешности решения используется разность между точными значениями целевой функции в приближенно выбранном и .в действительно оптимальном варианте.Бели выбранному варианту соответствуют параметры Х $ , а оптимальному
Х 0 , то погрешность решения будет определяться разностью(рис.З-Ю )
аЪ =3&- 30 ,
где 3^ и 30 - точные значения целевой функции в вариантах
(з-2 в :
и 'X
54
Формула (3 -2 8 ) |
дает возможность |
|
|
|
|
||||
оценить и погрешность от того или |
|
|
|
|
|||||
иного упрощения модели. Дело в |
том, |
|
|
|
|
||||
что если приближенная модель при |
|
|
|
|
|||||
прочих одинаковых исходных данных |
|
|
|
|
|||||
дала то же значение целевой функ |
|
|
|
|
|||||
ции или даже меньшее (как показано |
|
|
|
|
|||||
на рис.3 -10 и что может наблюдать |
|
|
|
|
|||||
ся при снятии ограничений), чем |
|
|
|
|
|||||
точная, это еще не |
говорит о до - |
|
|
|
|
||||
статочной точности |
приближенной |
|
|
|
|
||||
модели. Подстановка решений, полу-, |
|
|
|
|
|||||
ченных на приближенной модели(Х^), |
|
|
|
|
|||||
в более точную модель |
может дать |
Рис. |
3 -1 0 .Погрешность |
||||||
другое значение точной целевой функ |
оптимизационной |
задачи |
|||||||
ции и даже технически недопустимый |
___ |
точное |
значение |
||||||
вариант установки. Таким образом, |
|
целевой функции |
|||||||
для оценки точности модели необхо |
~~ |
приближенное зна |
|||||||
димо определить |
Х 0 |
а |
5 0 |
по точной |
|
чение целевой |
|||
модели ; подставить |
параметры |
X j , |
|
функции |
|
||||
определенные по приближенной модели, |
|
|
|
|
|||||
в целевую функцию, определяемую точной моделью; вычислить |
|||||||||
и по формуле (3 -2 8 ) |
определить |
перерасход расчетных |
затрат . |
||||||
Величиной |
Д |
на |
рисунке показана |
п о г р е ш н о с т ь |
|||||
ц е л е в о й |
ф у н к ц и и |
для варианта решений |
Xg |
. Олив - |
|||||
тим. что величину |
дЗ |
на практике определить достаточно |
сложно, |
||||||
поэтому можно определить лишь относительную погрешность |
/Air\ , |
||||||||
что будет рассмотрено ниже. |
|
|
|
|
V бо / |
||||
§ 3 -4 . Погрешность оптимизационных задач |
о учетом иерархии |
||||||||
|
систем. |
Чувствительность оптимума |
|
|
Особый интерес представляет оценка погрешности задач оптими зации и задания исходных данных при выборе решений о учетом иерар
хии |
систем^например, энергосистем. Для этого воспользуемся |
||||
результатами, полученными в |
[39 |
] . |
|
|
|
|
При исследовании системы |
с |
учетом её иерархии возникающие |
||
оптимизационные задачи можно разделить на три |
класса : |
\ |
|||
|
Класс I . Взаимодействуют |
энергоустановки |
различных видов , |
имеющие коренные отличия в функционировании; паротурбинные,газо турбинные, парогазовые, ГЭС и т .д .;
55.
fOiacc П. Взаимодействуют установки одного вида, не ш/еющис коренных различий в функционировании. Это .например, паротурбинные конденсационные установки различной мощности; эти же установки . работающие п базовом к пиковом режимах и т .д . ;
Класс Г.1. Взаимодействуют установки одного вида и типа.
Особенностями задач первого класса являются; а) невозможность полной замены одного вида установок другими, а иногда невозмож - ность функционирования одного вида установок без других; б) боль шое количество логических связей; в) из-за большого числа устано
вок |
разных типов |
и видов используется прием агрегирования - |
рас |
сматривается „обобщенная " усредненная установка каждого типа |
; |
||
* г) |
задачи этого класса, как правило, распределительные ~ выбиргет- |
||
_ ся |
оптимальное сочетание установок различных видов и распределе |
||
ние нагрузки между ними. |
|
||
|
Пошаговый процесс решения таких задач схематически показан |
||
на р и с .З -П . |
|
|
|
|
В задачах второго класса можно отметить следующие особенно |
||
сти: а) установки |
одного вида, но разных типов, не выполняют весь |
||
план выработки электроэнергии, а только часть его ; б) для их ре |
|||
шения необходима |
информация из моделей задач первого класса; |
|
|
в) |
считается? что |
установки каждого типа обладают оптимальными |
характеристиками, поэтому необходима информация из моделей третье го класса ; г) задачи этого класса - задачи выбора оптимальных
шкал (единичной мощности, числа часов использования установленной мощности и т . д . ) .
Особенностью решения задач третьего класса является то, что каждая из рассматриваемых установок выполняет не весь объем ра - бот, поэтому для их решения необходима информация из моделей за
дач второго класса. Эти задачи |
являются задачами оптимального |
проектирования. |
|
Математическая модель задач |
первого класса (р и с ,3 -П ) сле |
дующая: функционируют обобщенные установки разных видов в коли
честве |
N, , |
, . . . при |
заданной системе ограничений d. |
; |
|
эффективность функционирования может быть оценена по'критерию |
|||||
оптимальности Ь |
. Требуется найти оптимальную стратегию по вы |
||||
бору состава и функционирования системы, т .е . |
найти сочетание |
||||
N, , |
. . . . |
и выработки электроэнергии установками разных) |
|||
видов, |
минимизирующих целевую функцию 5 |
|
|
||
Модель задач второго класса: задана функция выработки электро |
|||||
энергии Эп •. от |
параметра |
U , оптимальная |
шкала которого |
ищет- |
56 ’ |
’ |
d |
I Целевая ф ункция, 3 |
П .Пути развития |
Ш. Возможности развития |
1У. Исходные данные |
Рис. З -И . Пошаговый процесс решения задач первого класса
ся . |
Требуется |
найти набор установок разных типов (систему |
вели |
||
чин |
ц.. |
, и 1 |
^минимизирующий затраты- |
|
|
|
Модель задач третьего класса следующая.: задан объем выработ |
||||
ки установки заданного типа и вида Э,^ ^ и |
условия функционирова |
||||
ния. |
Требуется |
определить оптимальные’ параметры ®0 , обеспечи - |
|||
вающие минимум затрат. |
|
|
|||
|
Структурные схемы задач и связи между моделями задач разного |
||||
класса |
показаны на рис.3 -1 2 . Необходимо |
одновременно |
решать |
всю__ "лестницу " задач, что практически трудно осущес.тлимо. Поэто му на практике поступают следующим образом - решают отдельные, не связанные задачи разных классов с последующим пересчетом резуль татов. Поэтому представляет интерес оценка величины отклонений
от точных решений при таком |
подходе. В общем случае это наиболее |
||||||||
просто можно выполнить |
при следующих предположениях: |
|
|||||||
I . |
Точное решение каждой задачи оптимизации рассматривается |
||||||||
как решение задачи |
минимизации |
3 |
|
, т .е . |
|
||||
|
|
|
|
3 (Х 0 П Х ) ^ 3 ( Х 0) “ 3 , |
(3 -2 9 ) |
||||
где |
X o= t a ,0, . . . , I t n0} |
|
- |
"-точн ое"; а Х о-ьЛХ={ЗС(0 + лХ, |
|||||
+X no+A Xm)} |
“ " |
прибликепное |
" решение задачи; |
||||||
|
|
|
|
|
отклонения оптимальных |
значений |
|||
|
|
|
|
|
параметров. |
|
|||
Кроме того, выполняются требования к общей эффективности уста |
|||||||||
новки ( мощности, |
числа часов |
использования и т .д .) |
|
||||||
|
|
W (X0+ M 0)2»V/(X0)= W , |
(3 -3 0 ) |
||||||
где |
V/ - заданное |
значение показателя эффективности. ' |
|||||||
2 . |
Качество приближенного решения можно оценить величиной |
||||||||
относительного изменения расчетных |
затрат |
|
|||||||
|
|
&3 |
3 (Х 0 + АХ0) “3(Х„) |
(3 -3 1 ; |
|||||
|
|
3 |
' |
|
3(Х 0) |
||||
|
|
|
|
||||||
3 . |
При оценке |
йЗ)5 |
|
можно ограничиться учетом |
членов до вто |
||||
рого |
порядка малости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Функции 3 ( 5 д |
|
и |
W (X 0) |
- |
дважды непрерывно дифферен - |
|||
цируемы по всем аргументам. |
|
|
|
|
|
||||
Тогда соотношение (3 -3 1 ) |
дает |
оценку порядка величины |
|||||||
Это соотношение можно конкретизировать для следующего важного |
|||||||||
частного случая. |
Пусть |
|
X j |
, |
. . . , |
оптимизируемые затраты в |
|||
энергоустановку, |
так что |
|
п |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Ы |
|
|
(3 -3 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58
Рис.3 -12 . Связи моделей различных классов