Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Сапрыкин Г.С. Исследование операций в энергетических расчетах учеб. пособие для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей теплотехн. каф., аспирантов и студентов специальности 0305

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

5.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

та позволяет найти лишь необходимые условия существования услов

ного экстремума. Исследуемые функции, к тому же, должны быть не прерывны, как и их производные.

Рассмотрим пример.. Пусть необходимо определить минимальное

значение целевой функции

			U	- - 1X i
при наличии ограничения
Сначала определим минимальное значение Ц,								при отсутствии
ограничений. Производные
			Щ - Ц - о -
откуда	Х * ^ = 0		u J -0 •				Л соответствии		с
Решим эту же задачу с учетом ограничений.							Л соответствии		с
(3 -1 2 )	составим	функцию Лагранжа
			р = ( х а+^а) + Л ( у - а - В х 1)
Систем а уравнений			ля	определения	X	У		имеет	вид
			=2х-2М Х = 0,			У
			=2х-2М Х = 0,
			3 u = 2 t f * X - 0 ,
			3F_.
Из решения системы следует						^minг-а
		Х .= -0 ,^ ::О)				^minг-а
Таким.образом, влияние ограничений заключается в снижении ка
чества	оптимума,	т .е .	по сравнению со		случаем		отсутствия ограни

чений	значение минимума будет	увеличиваться, а значение максиму
ма -	уменьшаться.
В связи с этим необходимо		отметить	следующее. Вид ограниче -
ний по-разному сказывается на		качестве	оптимума. Например, при
оптимизации энергоустановки в		условиях постоянной и переменной

электрической мощности электрогенератора будут получаться различ ные численные значения минимума целевой функции - расчетных зат рат и значений решений . Но эти ограничения диктуют

ся действительными условиями и поэтому бытующее иногда представ лю .

ленке о целесообразности оптимизации при ограничениях, обеспе -

чипающих наименьшие расчетные затраты,по крайней мере, не оче - видно.

Особый случай встречается при оптимизации линейной функции цели с ограничениями в виде линейных равенств или неравенств. В

математике	для этого		разработан специальный метод			. называемый
методом л и н е й н о г о				п р о г р а м м и р о в а н и я			.
И задачах	линейного		программирования оптимизируется функция
			и . ч )ас( +сгэс1 + . . , + с п х (1				( з -w )
При т .	ограничениях
j			a„x,
			0-21	+ Q22 £(2+ ' • +^2tl			0 1 5 ) ,
							0 1 5 ) ,
	___		Q-m<X)+ CL2mXi+ -.-+QfttnXft^fim
и условии	X ( > 0	;	OC^S-Oi. . . , X ^ Q .
Задача оптимизации сводится к нахождению таких неотрицатель
ных значений переменных				, Х г	, X Sv. ^которые	удовлетворяют ли
нейпым ограничениям			(3 -1 5 )	и при которых функция (3 -1 4 ) обраща -
стоя в минимум (максимум).
Рассмотрим геометрическую интерпретацию'данного метода,Пусть
необходимо максимизировать				функцию
			M	. 2 X	t 4 4 X t
ПрИ			&Х,+5Хг«200,
			7 Х , + 5 , 6 ^ « « 6 .
			5 Х ( + 7 Х 2 « т

и3C,aQ, X ^ Q .

Если построить график уравнения			B X j + 5 X 2 =2DQ			, то	полу	-
чим линию, делящую плоскость		на две	области		(р и с.3 - 3 ) .	Для обла		-
сти, включающей начало координат, справедливо неравенство
8 Х , + 5Х г <200 , , для второй		области		ЙХ<+5 X 1 *2 0 0		. Остальные
два неравенства делят плоскость аналогичным образом.
Если считать, что Еыбор значений				Х^ и	X j- представляет
собой выбор точки н а ‘плоскости, то			эта	точка	должна лежать		внут
ри области ОАЬС	или на её	границах.			Поскольку		линия
7 Х ,+ 5 ,8 Х г Ч 9 6	лежит вне	пределов этой области, то это					огра
ничение является	избыточным.	Основной результат теории линейно-
							41

го

программирования за

ключается в

утверждении,

что точка ( X ,

, Хг ) ,

которой функция И дости

гает

максимума, должна

находиться в одной из

вершин многоугольника

ОАВС

Координаты

этих

точек:

(0 ;0 )

;

(0 ;2 5 ) ;

В C I6.23

;

1 2 ,9 );

С (2 5 ;

О ): Со

ответствующе

значения

функции

■’

Ид=0

; 1

Цд =

35;

Ц в =38,39

U.c =30.

Следовательно,

максимального

значения

функция

достигает

точке

при

ОС, =16,93

и Ха = 12,9 .

Легко проверить, почему точка ( DC, л

) ,

которой дости

гается максимум функции

, должна находиться в

вершине мно

гоугольника.

Если сохранить

значение

постоянным (например,

Ц = 2 0 ),то при изменении

X ,

и Х а

уравнение

11= 1 ,2 X , + tyDCj

должно представлять линию. Выбирая другое значение

(напри

мер,25) получим параллельную линию,

отстоящую дальше от

начала

координат, чем первая лилия

и т .д . Максимальное

значение

при

надлежит линии, наиболее отдаленной от точки

но имеющей по

крайней мере

одну точку,

лежащую внутри или

на границе

многоуголь

ника JJA B t

. Такая линия проходит через

точку

Задачи линейного программирования возникают в экономических

исследованиях

- при планировании в условиях

ограниченных ресур

сов , оптимизации планов поставок и т .д . Число независимых пере менных в таких'задачах очень велико, поэтому их целесообразно решать на ЭЦВМ, для чего разработаны специальные методы, напри мер, симплексный, потенциалов и другие.

Если операция естественным образом расчленяется на ряд эта

пов, шагов, а показатель	эффективности Ц		выражается	суммой
показателей эффективности	на каждом	этапе ,	то для решения опти
мальной задачи может быть	применен	м е т о д	д и н а м	и ч е -

ск о р о п р о г p a ' i i и и р о в а в i я ,

Предположим, что в нашем распоряжении находится какое-то ко личество ресурса X (мощностей, денег,людей, топлива и т .д . ) , которое можно использовать Ц различными способами. Каждому спо собу соответствует функция полезности ( X t ) , выражающая до ход (прибыль, рентабельность) от этого способа. Общий доход явля ется суммой доходов от использования каждого способа

			ЦН(Х1		• • + Ч п ( Х п ) } .		(3 -1 6 )
Оптимизация сводится к нахождению
				U
			max U„(x)ijnazLL 4L(Х)3=/„ (х)				(3 -1 7 )
при условиях
			x = X r ^ t * - . . * X n , .				(3 -1 8 )
			Х , * 0 , Х2М ),...Х ^ 0 .				(3 -1 8 )
Очевидно,		что	Х , * 0 , Х2М ),...Х ^ 0 .
Очевидно,		что
							(3 -1 9 )
	Получим систему рекуррентных соотношений ( в которой последую
щие	соотношения зависят от			предыдущих),	связывающих	j K 0 0	и
/к„	(X)	. Пусть	Х к -	количество	ресурса, используемого К'			-
опособом.		Для остальных (		) способов остается		( Х ~ Х К )		ре

сурса. Так как оставшимся ресурс»» необходимо распорядиться ваи -

лучшим образом, то доход от него				составит	j	(	X _ Х К	) ,	а Хк
нужно выбрать		так,	чтобы максимизировать		суммарный доход от				К -о го
и от первых	(	К-<	) способов,	т .е .					1
									(3 -г о )
для	К = 2 , 3 , . . . , И .. *
При выводе		этих	рекуррентных соотношений			использовался			п р и н
ц и п о п т и м а л ь н о с т и ,				который утверждает, что				если не
выбирается наилучшее решение в данный момент,						то	последствия это
го нельзя исправить			в будущем,или что для любого				первоначального

состояния и этапа решения последующие решения должны быть опти - мальныыи по отношению к состоянию, к которому пришли в результате • начального решения.Этот очевидпый факт впервые в явном веде сфор мулирован в [гб]- : " Оптимальные управления обладают та» свойст вом, что каково бы ни было начальное состояние и начальное управ ление, последующее управление должно быть оптимальным по отноше-

нив к состоянию, подучающемуся б результате действия начального

управления " . Здесь у п р а в л е н и е - решение			по распре
делению	и перераспределению	средств (ресурса) . о п т и м а л ь
н о е	у п р а в л е н и е	- управление, при котором	критерий

эффективности всей операции достигает максимума. Таким образом, метод динамического программирования сводится к определению оптимальных решений с учетом ограничений на каждом этапе опера

ции. Основная идея метода - свести решение одной	сложной задачи
к решению нескольких, во более простых задач.
истоды в а р и а ц и о н н о г о исчисления	используются

в том случае, если критерий оптимальности представляется в виде


функционала. Если М		- множество		функций и к каждой функции lf(X )
принадлежащей	M W )0 € M )		, относится		определенное число	, то
говорят, что на множестве-			М	задан	функционал [2 7 ] .	Вариа
ционное исчисление устанавливает				условия,	при которых функциона
лы достигают своего		экстремума.		Решение	оптимальной задачи	по -

лучается не в виде совокупности значений конечного числа перемен

ных, а как совокупность функций,	в щ которых	заранее	не	известен.
Пример задачи вариационного	исчисления -	задача о брахмсто -
хроие. В вертикальной плоскости	даны две точки 0		и &	(рис.

3 - 4 ) , По какой линии должна	скатиться тяжелая материальная			точ
	ка, оставаясь в этой плоскости, из
	верхней точки в нижнюю за наимень
	шее время, Задача сводится к отыс-
	каниюш минимума функционала
	t . f j& g x f		fa .
	В общем случае функционал представ
	ляется в виде
	,Хг
	3 ^ ) = )	F fX .lj.ip d X ,		(3 -2 1 )
	гд е , р(Х,Ц 1 “	заданная функция		пере
	менных ЗС®	и	, a I J ( lj') -есть
	функции независимой переменной X .
Рис. 3 -4	На неизвестные,		искомые функ

ции, как и на функции классического анализа , могут быть наложе ны ограничения, чаще всего в форме дифференциальных уравнений.

Еоли какая-либо операция описывается системой нелинейных обык новенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных произ водных, то для оптимизации может быть применен п р и н ц и п

и а к с и ы	у	м a f 2в]. Он используется в случае	решения вариацион
ных задач,	но	решения не принадлежат к классу	непрерывных функций,

а на переиенные наложены ограничения в форме неравенств. Принцип максимума имеет большое значение при рассмотрении проблем автома тического регулирования, различных технологических процессов и

т .д . [28,2$].

Если ни один из вышеперечисленных методов не дает возможности решать оптимизационную задачу, то используются методы н е л и - п е й н о г о п р о г р а м м и р о в а н и я . Поэтому их еще

называют	п р	я м ы м и м е т о д а м и . Они применяются,когда
функция	цели	нелинейна и присутствуют, ограничения (линейные и не
линейные)	в форме равенств и неравенств.

При использовании методов нелинейного программирования непос редственно вычисляется функция цели, изменение величины которой и служит мерой эффективности приближения к оптимуму. Соотношения, определяющие критерий оптимальности, не обязательно должны записы ваться в явном виде. Задачи ясланейиого программирования могут быть решены только численными методами и поэтому требуют примене ния средств вычислительной техники.

Целевую функцию
можно рассматривать		как функцию, определенную в	Ц -мерном про -
странотве	переменных ; зависимость целевой функции от YI управ -
ляющих переменных образует п о в е р х н о с т ь			о т к л и к а
в ( ПН	) - мерном	пространстве. Для двух переменных поверхность

отклика представляет собой поверхность в трёхмерном пространстве,

как показано

на рис. 3-5

, заимствованном из

(351 .

Линии, соеди

няющие равные

значения

целевой

ЗДДЬ 5Ц7

Функции

(

М,

. . . .

d|, ...> = 0 ^ ,

образуют, линии равного уровня

целевой функции (например, СЦ со

ответствует

значению целевой

функции

48,23

тыс.руб/год ) ,

В общем случае

при отыска

нии оптимума целевой функции не--

обходимо определить такие' значе-

ния параметров

X ,

, X;,

, . . . , ко

’2Ц

-52

Т.ММ

торые обеспечивали

бы 'наименьшее

Рио.3 -5 . Расположение линий

(наибольшее)

значение

Ц (Х )во

равного

уровня в окрестностях

оптимума для двух дискретных

всей области

допустимых

значений

параметров: марки металлам и

параметров

•

диаметра

труб

пароперегревате

ля О. котла блока

800 МВт.

Оптим ум ,

для

к о т о р о го

U O O s U ( X ) f . а

Х 0 Х ,

СЭ- ? 2)

назы вается

глобальны м ; если

условие ( 3 - 2 2 )

вы полняется в

точке

Л к

в некоторой

окрестности

для

точек

т . е .

U ( X K) * U ( X m) , a х т е х т е х ,

т о оптимум буд ет локальным.

Точка гл об а л ь н ого

оптимума обозначена

через

на

р и с . 3 -5

и с о о т в е т с т в у е т

значению

целевой

функции

3 4 , 6 6

т ы с .р у б ./ г о д .

Из

рисунка видно

такж е ,

что

исследуемая допустимая

область изменения

параметров

является невы пуклой.

Это

следует

из

рассм от

рения значений целевой функции в точ к а х пересечения коорд инат.

Большинство методов нелинейного программирования основано

на

движении

( И - Ч

)

мерном пространстве

направлении

оптим ум а.

При этом

из

н е к о то р о го

исход ного

с о с то я н и я ,

ха рактери зуем ого .сово

купностью

параметров

5ск , производится переход

к ' состоянию Х к+(

изменением

вектора

Х к

на

величину

д Х к

, та к

что

Х К+1 = Х К + ДХц;

гд е

- шизмененияа г

вектора

Хк

части

методов

ш аг опред еляется как

функция

состояния

т . е .

й Х *.=

(Х^)

н новое

состояние

за

шаг

д Х к

;

= Х К + д Х х ( Х к)

( 3 - 2 3 )

В д р у го й

части

методов

шаг

дХ«,

опред еляется

как

функция

н е -

скольких

предшествующих

состояний

Д Х К =& Х к (Х к ,

, Х к_6) ,

Х к+(= х к + д Х <( Х к, х , . ь

. . . , х к. а) ,

( 3 - 2 4 )

зависимости

о т

способа определения

ш ага

д Х к методы

нелиней

н о го

программ ирования

можно

разделить

на

три

группы

[

2 9 ,

30 ]

град иентны е, безградиентны е н методы случайного

поиска .

Градиентом назы вается производная целевой функции

по

нормали

к п оверхности

отклика

Цех) =vll(X) = ^

(з-25)

Составляющие град и ента равны частным производным целевой функции по со о тв е тс тв ую ц ш управляющим переменным, т . е .

			i t u a w i t o t i i ,			(3 -2 6 )
				9 « 1

			7nU ( x ^ M		i
				оха
	Кроне того,		вектор градиента целевой функции совпадает по
направлению с направлением нанохорейюего возрастания целевой
функции.
	В г р а д и е н т н ы х			м е т о д а х поиск «тк н у т оояо-
ваи на вычислении н анализе производных целевой функции, А так'
как вид зависимости Ц(Х\				и производные		могут получать
ся	настолько		оложными, что могут не иметь шспжой практической
ценности, то обычно пользуются приближенным соотношением
аиш, дат , цех.....,Xi^i,->xrt)-uoc,„-)Xi,.x,)j о-г?)
~ Щ		а - ,			и ~ ~
где	дХ( -	приранение независимой переменной
	Один из градиентных методов -				метод релаксации-заключавтел
в отыскании		о с е в о г о		(по осям координат)		направления,вдоль

которого целевая функция уменмаетоя наиболее сильно(при воноке минимума). В начальной точке Хн (рко.Э-б а) для этого опреде

ляются производные 1ИХ) по воем переменным. Нанбольному зна чению производной (по модулю) будет соответствовать и какбыотрей-

шее	убывание функции Ц (X)	. Шага осуществляются во направле
нию	убывания целевой функция (	при прочих постоянных перемен

ных ) до тех пор, пока не будет достигнуто минимальное значение

по забранному направлению. После этого снова определяются произ водные по всем переменным, за исключением той, по которой осу -* ществлядся спуск, снова определяется направление наискорейшего убывания целевой функции, осуществляются шаги по этому осевому направлению и т .д .

В другом методе-методе градиента - каждый шаг совершается не посредственно в направлении наибыстрейшего уменьшения функции це ли (р и с.3 -6 б ). В начальной точке также вычисляются значения част

ных производных по всем независимым параметрам, осуществляется шаг в направлении наибыстрейшего убывания функции 11(Х) . При выполнении шага одновременно изменяются значения всех независи - мыхпеременных, причем эх приращения выбираются пропорциональны ми составляющей градиента по данной оси.

Следующий градиентный метод » метод наискорейшего спуска - со четает идеи метода релаксации и градиента. После нахождения гра диента и определения направления наискорейшего убывания функции


1Х(Х) в	исходной точке,		шаг делается в “этом направленииСрис.З-бв).
Если значение		функции в	этом	направлении		уменьшилось, то произ
водится	шаг в	том же направлении ( л			до тех пор,		пока в этом	н а ,
правлении Не достигается			минимум ) ;		после	этого	вычисляется	гра
диент	(производные по всем			переменным )		и определяется новое на

правление, Как и в релаксационном методе, в методе наискорейше - го спуска каждое новое направление движения к оптимуму ортого -

надьно предшествующему, но не ориентировано относительно системы координат, Это увеличивает скорость сходимости:к оптимуму. По сравнению с методом градиента, эта скорость также увеличивается за счет сокращения вычисления производных в конце каждого шага.

Понятие градиента может быть использовано в задачах с целе

выми функциями, имеющими несколько локальных экстремумов									для
поиска глобального			экстремума.
Например, метод " тяжелого шарика п основан на исследовании
процесса движения		тела		с массой		jc	("тяжелого	шарика ")	в сре
де с вязкостью			под действием			силы	VU(X)	:
				+ V	J ^ + v U (X ]rQ ,				(з -2 8 )
где	{ - время.			_	“
Целевая функция			Ц(Х)		, она же сила, зависящая от место -
положения	тела (	X	)	и времени,		определяется		интегрированием
уравнения	(3 - 2 8 ).							■ .
Наличие массы			р	позволяет благополучно				"проскакивать"

4 8

локальные		минимумы функции ШХ)	-	" Регулируя	" значения
р	и	^ можно гарантировать	нахождение глобального оптимума
целевой функции..
В	б с з г р а д и е н т п ы х			м е т о д а х	анализируются
не производные целевой функции, а			сравниваются значения самих

функций после выполнения очередного шага. Применяются при отсут ствии математического описания объектов оптикинации, чаще всего уже действующих. .

В методе покоординатного спуска (методе Гаусса-Зайделя) по - очередно изменяются все независимые переменные так , чтобы по каж

дой из	них достигалось	наименьшее ( наибольшее ) значение функции
U (X)	. Очередность	изменения переменныхпроизвольна; поиск

минимума по каждой переменной - любой, например, метод поиска экстремума функции одной переменной»

В методе сканирования поочередно просматривается критерий оп тимальности в ряде точек, принадлежащих области изменения незави

симых переменных; среди них находится	точка, в	которой достигает
ся оптимум. При достаточной " густоте	" течек	гарантируется до
стижение глобального оптимума.

Идея симплексного метода заключается в нахождении направления наибольшего уменьшения критерия оптимальности по известным значе ниям целевой фуккдаи. в вершинах выпуклого многограпикка-симплекса. Под симплексом понимается многогранник, имеющий в И. - мерном

пространстве ( II Ч	) вершин.	Симплексом в двухмерном пространст
ве ( на плоскости•)	является,	таким образом, треугольник (р и с.3 -D .

Свойство сииши-кса заключается в том, что против любой из вершин

симплекса (например, 0,				)	расположе
на только одна грань (				$С	) ,	на
которой можно построить новый симп
лекс, отличаюа\|ийся от прежнего рас
положения новой вершины					СЦ ,	тогда
как остальные вершины обоих симплек
сов совпадают.
При поиске наименьшего значения
целевой функции ( в нашем примере
двух переменных) вычисляются ее зна
чения в точках		0.	, В	и	С .	Из	Р и с,3 -7 . Поиск оптимума
найденных значений			целевой функции
выбирается наибольшее				( на рис.3-7			симплексным методом
это течка а	) .	Затем		стооится		но
вый симплекс	-	вершина		d	замеая-

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ