Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Сапрыкин Г.С. Исследование операций в энергетических расчетах учеб. пособие для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей теплотехн. каф., аспирантов и студентов специальности 0305

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

5.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Ш.	ОПТИМИЗАЦИЯ
Как ош ечалось, одной из		задач ИСО является выбор оптималь
ных решений. О п т и м а л ь н ы м и			будем называть		р е ш е
н и я , которые по каким-либо		соображениям предпочтительнее дру
гих. О п т и м и з а ц и я	-	э т о	о п р е д е л е н и е
н а . и л у ч ш и х ( о п т и м а л ь н ы х )				р е ш е н и й в
с о о т в е т с т в у ю щ и х		у с л о в и я х .
Процесс оптимизации, таким образом, заключается в нахождении
элементов решения I , ,	Х г	. . . в уравнении		(2 - 1 ),	которые бы
обращали критерий эффективности И в максимум				(минимум) при задан
ных условиях

Выбор целевой функции и нахождение ее максимального или мини мального значения при условии выполнения ограничений являются сутью оптимизации.

§ 3 -1 . Целевая функция ( критерий оптимальности )

. Конкретный вид целевой функции IX зависит от характера рассмат риваний операции, задач исследования, целей мероприятия.

Если проводится ряд операций ,по повышению тепловой эффектив н о с т и , например, энергоустановки, то показателем эффективности

является её к .п .д .

Если проводятся мероприятия по повышению надежности какого- -лнбо изделия, то целевой функцией может быть среднее время без отказной работы, вероятность безотказной работы, среднее, время восстановления и т .д .

В экономических оценках энергоустановок при их проектирова -

кии в качестве кгчтерия эффективности должна быть принята вели -

чина расчетных затрат [ г г ]	; в процессе эксплуатации - себестои
мость электроэнергии, норма рентабельности		капиталовложений	,
прибыль, норма прибыли.
Предположим, что критерии оптимальности по надежности,			по
тепловой' эффективности и другие удалось		свести к экономическим
Тоща .должен быть выполнен	п р и н ц и п	о д н о з н а ч н о

с т и - минимизироваться (максимизироваться) только одна и толь

ко одна целевая функция ( прибыль, объем продукции, расчетные затраты, себестоимость или какой-^ибо другой показатель). Поэто

му формулировка	"	достижение максимального	эффекта при мини -
мальных затратах	"	не подходит для целей оптимизации. Задача

оптимизации- —"достижение максимального эффекта при заданных за

тратах", либо " достижение заданного эффекта		при минимальных
затратах " .
П р и н ц и п	с о о т в е т с т в и я	заключается в том,
что характер функции U. (в общем случае) должен определяться ис
ходя из наиболее	успешного проведения операции (в некоторых слу
чаях даже с точки	зрения всего народного хозяйства ) .
П р ' и н ц и п	у п р а в л я е м о с т и	заключается в том,

что целевая функция должна быть выражена через управляющие пере менные, т .е . должна быть свобода выбора элементов решения. Целе вая функция, не выраженная через управляющие переменные, беспо - лезна.

П р и н ц и п п о д х о д я щ е й ф о р м ы состоит в том,

что "желательно" пользоваться целевой функцией, имеющей экстре -


мум. К нежелательным формам целевой функции относятся функции							,
имеющие разрыв (р и с.3-1 а ) , функции с локальными						экстремумами
(р и с.3-1	б)	и неоднозначные функции (р и с.3			-1 в ) .	Сказанное спра
ведливо,	если „желательная" форма функции не				противоречит природе
описываемого явления			. Целевые функции,	не имеющие экстремума,
могут быть		найдены	только при наличии	ограничений.
Принцип		е с т е с т в е н н о г о		р а с п о л о ж е н и я
рассмотрен ранее. Из практики известно,				что если вся совокуп			-
ность уравнений,составляющая модель, находится в						логической или

причинно-следственной связи, то вычислительная модель целевой функции устойчива. Кроме того,модель будет устойчивой, если каж дое из уравнений будет решено относительно той неизвестной , при которой в данном уравнении коэффициент имеет наибольшее эна-

ч е н в е , т . е . относительно наиболее значимой неизвестной перем енной.

Риг,, 3-1

	Остановим ся подробнее		на принципе од нозначности . Он выполня
е т с я , если		разнохарактерны е	критерии	м о гу т быть	сведены к одном у,
чаще	в о е го	экономическому	критерию .	Если должны	быть оптимизиро
ваны	две целевые функции		§ и К ,	то их можно	объединить в од

н у целевую

функцию

путем

линейной комбинации

U « J i S + J f K ,

0 - 1 )

Где

весовые

коэффициенты.

Если

год овая

себестоим ость прод укции , а

К -

капи

таловложения в

теплоэнергетическую у с т а н о в к у , то Ц в

уравнении

С 3 - 1 )

и буд ет

пред ставлять

собой суммарные расчетны е

затраты

если

принять

= 1 и

у =

коэффициент

эффективности

капиталовложений

)

U = 3 ’ S + p K

( 3 - 2 ) .

Величина

оценивает

кол ичество ж и в о го ' труда

по уста н ов к е

за

год (

Й =

1 ) ,

величина

количество прошлого

т р у д а , а

коэффи

циент

(

е го

величина

)

вы би рается,исход я из достижения обще

г о народ нохозяй ственного

эфф екта, что полностью

о тв е ч а е т

принци

п у с о о тв е тс тв и я .

х о т я

способ

получения

правом ерность использования

целе

вой функции в виде ( 3 - 2 )

обсуж дается и до настоящ его

времени

еще сложнее

о б с то и т дело

при оптимизации по нескольким разнород

ным критериям .

Это

о т н о с и т с я ,

наприм ер, к м ногоцелевой оптимиза

ции эн е р го уста н ов к и или

электростанции по надеж ности, капи тал о

вложениям,

срокам

с т р о и т е л ь с т в а , по к ол и ч ес тв у живого т р у д а ,

u a -

п е в р е н н о с ти , размещению,

по огра н и чен н ости водных и топливны х

р е с у р с о в ,

загрязнению

атмосферы, отторжению земли и

т .д .

Не существует odmero реисиня,котеке обращало бы п максимум

(минимум) несколько целевых функций Ц\| ,	U2 , . .	Ц ^ и одковре-
менно в минимум (максимум) несколько других	Ц	, Ц

В этом случае может все же оказаться полезным количественный ана лиз, позволяющий отбросить явно нерациональные варианты.

Рассмотрим простой пример. Пусть эффективность операции оце нивается по двум показателям: один ( Ц, ). должен быть максималь

ным,

второй (

) минимальным. Известно конечное-

число, напри

мер,

1C различных

вариантов решения,

в к

о;;

из

которых

из -

вестны значения

показателей

Ц ,

U 2 .

Эти варианты представ

лены в-виде точек

на рис. 3 -2 . Рациональные

вапканты по критеоип Ц,

должны лежать на верхней границе обла

сти решений, а' по критерию [1г на ле

вой границе области. Очевидно, что при

оценке операции по двум критериям ва

рианты, отвечающие одновременно верхней

и левой границе области (пунктирная

линия на рисунке), и будут-близки к оп

тимальным. Таким образом, из

рас

сматриваемых вариантов

подробному ана

лизу и сравнению подлежат только четы

ре варианта ( X ,

, ЭС2 ,

Хъ

Х ч

) .

Такой процесс отбраковки вариантов же

лательно проводить перед решением за

дачи исследования операций с несколь

Ц .

кими показателями.

Ввиду того, что оценка эффективно

сти операции по нескольким критериям

затруднена, а

в некоторых случаях

не

возможна, то иногдапрсдлагаются"со-

ставные"

критерии,

виде

"взвешенной

суммы "

отдельных

деле -

вых функций

Ц.г а,Ц.,+а 1И1+ .. . +а к11ц ,

( 3- 3)

где

Я,-

- положительные, или

отрицательные

коэффициенты.

Абсолютные

значения коэффициентов Up.

соответствуют

степени

значимости критериев Ц ^ .

В некоторых' случаях задачу с несколькими критериями можно све сти к оптимизации по единственному критерию. Для этого надо выде лить главный показатель, например, IX, ; оптимизировать только его, а на остальные наложить ограничения типа

, . . . , U-k^U -ц и т .д .

Зти ограничения вводятся в комплекс ограничений d ^ , oi2

т .е . все показатели, кроме главного, вводятся в разряд заданных условий. Варианты решений,не укладывающиеся в заданные границы,

отбрасываются.

Составной критерий обладает существенным недостатком - наличи ем возможности компенсации различных показателей. Кроме того,

ослиется открытш вопрос об учете ограничений . Что будет пред

ставлять собой область допустимых решений, "взвешивать" ли огра ничения, не появятся ли в процессе решения дополнительные огра ничения и т .д .?

Однако при"умелом " подборе коэффициентов Q. и при отсут

ствии ограничений составной критерий может иметь некоторую огра ниченную ценность. Степень субъективности решений' можно умень - шить, если вместо оценок коэффициентов Q.. одним лицом ввести средние оценки, проведенные группой лиц, но независимо друг от друга. Из опыта известно, что такие экспертные оценки оказывают ся достаточно совпадающими. После таких оценок для окончательно

го упорядочивания важности критериев может быть использован							ме
тод измерения полезности критериев (целей ),				разработанный в [ б ] .
Алгоритм измерения полезности следующий :
1.	Все И,	целей (критериев) упорядочиваются по их				предпо
чтительности.		Пусть	U , - наиболее важный критерий,				наи
менее важный.
2 .	Приписывается полезности результата			Q.	или q (	значе
ние I .	и по отношению к ним приписываются числа остальным кри
териям.
3 .	Рассматривается список вариантов выбора (таб л .3 - D ,						на
чиная с	верхней строки левого столбца. Если левая часть перво
го варианта выбора			предпочтительнее ( > )	или	эквивалентна

(= ) правой части, то осуществляется переход к верхней строке вто рого столбца и т . д ..

4 . Проверяются числа, полученные на шаге (2^ и определяется их удовлетворимость неравенствам, принятым на шаге (3 ) , В случае несоответствия меняются в минимально возможной степени числовые оценки так, чтобы они удовлетворяли логическим неравенствам.

	Таблица 3-1
а, илиала4+•■•а*	йг илиCLj+fV"--^*
а, или: аг+йз+ - +\|1пнQt илийз+Оц*-+Qn.,
Q-I плиQi+'Q.i+-	аг илиQ.3+iv-"+an.i
CL, или1Qj+Q.3	at или Qj+Q4

3 ч

Рассмотрим следующий пример» Предположим.что необуолимо выбрать структуру энергосистемы - удельный вео станции каждое типа^Кл;, ГЭС,«АЭС, ГАЭС и ГТУ). Этот выбор необходимо провести,исходя из

достижения			следующих		целей	С они упорядочены)			:
	1. Максимума надежности электроснабжения,
	2.	Минимума капиталовложений.'
	3 . Минимума потерь энергоресурсов.
	4 . Минимума срока строительства.
	5 . Максимума регулировочного диапазона.
	6. Минимума ограничений на размещение.
	7.	Минимума времени на ввод мощности.
	в . Минимума затрат живого труда при эксплуатации.
	Наиболее важным критерием является надежность электроснабже
ния С И, =1 ) .
	В общем случае оценка					целей по отношению к Q.,				должна быть
проведена экспертами. Преподожим, что оценки целей										следующие :
йг =	0 ,7	;	й5 = 0,15;		0.,,=	0 ,1	;	Q5= 0 ,0 8 ;	Q6=	0 ,0 7 ; Q7= 0,06
0 g =	0 ,0 5 .
	На основании			табл. 3 -1		оцениваются варианты выбора. Предпо
ложим, что должны быть выполнены следующие условия (также по
оценкам):
	(1 )	Q , > Q s.+Q 5 + a1(
ч (2)		£ u * a x* £ v a 5 + . . . + a e -.
		Q.-S	^ Q.ii *" C L g * * **"dg j
	W	а г > а ^ а 5>
	) 6l	a j ^ + d s +			i V
	) 6l	di, » d 5 + a 6-,
	( 7) a * <-d6 + d 7.
	Пересматриваем оценки, начиная с последнего неравенства:
	(7 )	Этому неравенству цифры удовлетворяют.
	(6 )	Числа противоречат равенству. Поэтому изменим оценку
		йч	на (d s+ d 6) =0,t5,
	(5 ) Неравенство удовлетворяется.
	(4 )	Цифры не удовлетворяют неравенство. Приписываем, поэтому,
(^значение 0 ,2 .
	(3 ) Неравенство удовлетворяется.
	(2 )	Приписываем значение					Q.j=	0,2-Ю ,15-Ю ,08-(0,07-Ю ,0б +
+ 0,05=		0 ,6 1 . _
	( I )	Неравенству оценки				удовлетворяют.'
	Таким образом,			оценки целей			следующие :

а4 а, .	й г	й 5	CL\|,	0.5	Q,j	0-т	0-8
_________ I	0 ,6 1	0 ,2	0 ,1 5	0 ,0 8	0 ,0 7	0 .0 6	0 ,0 5
Перечисленные выше цели и оценки целей рассмотрены как один
из вариантов	при многоцелевой оптимизации в ^ 23 J					- В этой	работе

бшо получено на основании экспертных оценок 12 вариантов важно сти целей и на основе методов оптимального планирования проведе на оптимизация структуры энергосистемы.

Однако выводы,полученные на основе анализа оптимальных реше ний, имеют очень малую ценность. Оказалось,что

1)на выбор оптимального варианта наибольшее влияние оказыва ет оценка важности цели ;

2)при выборе наиболее важной цели - надежности электроснабг.е-

пия—повышается удельный вес станций, удовлетворяющих этому требо ванию;


3) при выборе минимума капиталовложений						в	качестве важнейшей
целя повышается доля "дешевых" электростанций							;
Я) .1ри выборе важнейшей целью минимума затрат живого труда
повышается удельный вес			ГЭС н т .п .
Здесь мы сталкиваемся с положением, которое Е.С. Вентпель наз
вала переносом произвола из области выбора решении г										область	выбо
ра математической модели и целевой функции [ 12]								-	постулированием
целевой функции, важности целей, общего количества									целей и т .д .
А именно выбранные критерии и определяют решения.
Существует еще целый ряд				критериев выбора			оптимальных решений
в условиях неопределенности.				Пусть	0, , 04 , . . . , 0			j ,		. . . ,	Qrt -
возможные результаты (выигрыши) от выбора решений									С<		Си .
Cm ; U (Q j,C 0	-	полезность		от результата		0 ;		,- достигнутая в
результате решения		CL	. Согласно		к р и т е р и ю					В а л ь д а ,

в качестве оптимального выбирается решение, при котором минималь ный выигрыш максимален (принцип мзксимина )

(3 -4 )

.По этому критерию неооходимо ориентироваться на худшие уело - вия и выбирать то решение, при котором в этих условиях выигрыш максимален.

По к р и т е р и ю С э в и д ж а (мишшакса) необходимо выбирать решение, обеспечивающее наименьшее значение потерь (рис ка) в самых неблагоприятных условиях

munmay.tu.(Q;,COl .		(3-5)
■ Qj CL	i	(3-5)
По этому критерии рекомендуется избегать		большого риска	при
принятии решений.
Оба приведенных критерия -	критерии крайнего пессимизма.		Кри

терий, основанный на различной степени оптимизма, предложен Гурви-

цем. Критерий	п е с с и м и з м а - о п т и м и з м а Г у р -
в и ц а имеет	вид

		т а г {jj'mta[u(0j,CO]+(l-^m in [u ( Oj, C-j]},		(з-б)
где	0	С;	0.
где	0	< 1 .	*
	Если	^ =0, то критерий Гурвица сводится к максимину,		если
^	=1, то	к максимаксу (	критерий крайнего оптимизма). В послед

нем случае он будет приводить к решению, которое максимизирует

максимальный выигрыш.			При 0 < ^ <:1 получается среднее между
крайним пессимизмом и			крайним оптимизмом.
Последний критерий			имеет все тот же недостаток - выбор коэф
фициентов	^	зависит	от субъективных оценок. Однако, если ре
комендации	всех	трех критериев совпадают , то можно руководство

ваться рекомендуемыми ими решениями. Если же решения не совпада ют, то выбор подходящего из них должен быть произведен исследо вателем.

§ 3 -2 . Методы решения задач оптимизации

Ранее было показано, что в самом общем случае математическая модель принятия решений имеет вид

				a - - u ( d f)		с з -7 )
где	,	х г	-	управляющие параметры	;
o£.f	,	d t	-	неуправляемые (входные)		переменные.
В модель			могут входить ограничения типа

. (3 -8 )

Если уравнение (3 -7 ) известно и известны условия ( 3 - 8 ) , то считается, что математическая модель построена. Задача оптимиза

ции заключается-в том, чтобы при заданных условиях найти			решения
Х 4 ,	. . . . которые превращали бы критерий Ц	в максимум (мини
мум) ,
Вид модели, постановка задачи в значительной		степени	определя-
			37

пт выбор того или иного способа решения задач оптимизации.
Если известен аналитический вид зависимости критерия						Ц	от
независимых	переменных	2с( ,	. . . .	то’могут быть использова
ны методы к	л а с с и ч	е с к о г о		а н а л и з а	исследуе
мых функций,	м е т о д ы	п о и с к а		э к с т р е м у м а ,
которые известны каждому инженеру.
Для функции многих переменных (.3 -7 ;, имеющем непрерывные
производные первого и второго по£ядка				по всем переменным		X t
С L •= 1 , 2 , . . . , ft X необходимым условием экстремума в точке							Х а
служит равенство нулю в		этой	точке частных производных			по всем

переменным. Значения параметров, при которых возможен экстремум

функции U- определяются из	решения системы				уравнений
•ч	Х&.	- - 0	,	( Н		.ft)	С3 -9 )
ЭХр

Для проверки, действительно ли точка				ЭС„	,	удовлетворяющая

системе уравнений (3 - 9 ), является точкой экстремума функции (3 - 7 ),

уже недостаточно			проверки экстремальности по всем переменным в
отдельности.
Знак	приращения функции
		& U = U ( X ) - l i ( X a) ~ [ . Z ^ ^ i f u ( X 0)					( 3 - 1 0 )
в окрестности		точки		Х 0	определяется	производными второго	по
рядка от	U	( X	)	по всем переменным,		включая и смешанные	про
изводные	; правая часть				при любых малых приращениях &Х;. должна

оставаться положительной для точки минимума и отрицательной для точки максимума.

Однако этот простой метод в задачах исследования операций может быть использован главным образом там, где относительно про сто можно найти аналитические зависимости для параметров, входя

щих в	критерий оптимальности. Причины относительно		ограниченного
применения		этого метода следующие:.
1 .	При	достаточно большом числе аргументов Х (	,	. . . сов

местное решение системы уравнений, полученных дифференцированием основной зависимости (целевой функции), не проще, а сложнее, чем непосредственный поиск экстремума. Полученные путем приравнива

ния нули,производных.		уравнения, как правило, нелинейны и их при
ходится	решать на ЭЦВМ.с использованием все тех же численных ме
тодов,	что и при решении исходных зависимостей.
2 . В случае,, когда		на решения Х (	, X * . . . наложены ограни
чения,	экстремум часто	наблюдается не в	точке, где производные

обращаются в нуль, а на границе области возможных решений. Воз

никает	задача " но. ска	экстремума при наличии ограничений " .
3 .	Могут не существовать сами производные критерия		Ц .на
пример,	при дискретном	изменении параметров X t , Х г , . . .	Сили
одного	из них).

Применительно к небольшим энергетическим задачам, когда опти

мизируется одновременно ограниченное число параметров и отсутст вуют ограничения,этот метод использован в [18,19,24' и д^. В об

щем же, метод исследования функций классического анализа может быть полезным при предварительном анализе даже сложных задач .

Кроме того, он является тем основанием, на котором базируются все современные и более общие методы оптимизации.

Если на переменные X ,. ,		Х а . . . наложены ограничения^имев-
щие вид равенств, то для	решения задач		оптимизации используется
м е т оГд н е о п р е д е л е н н ы х			м н о ж и т е л е й
Л а г р а н ж а .
Целевая функция для	этого	случая

Ц. -U (<А| чс/-2,,.., З4, X j,..,, ЗСЛ),

а переменные

X j

С 1 = 1 , . . . , И

) связаны

в свою очередь

соотнош е

ниями

4*1

( X , ,

d i t . ■

» X j , . .

(<*1,

d.г , ••

■ ,X 0

X l t .. •j Х ц ) = 0 ;

( 3 - I I )

'fm ( о ( ( ,

о1г , ...,x h x lr ■■>xn)--0

Для решепия задачи

составляется функция Лагранжа

F=UU,,cL2)...IXbXl ....JXn)+ I l s'P8^

)cll ....»X,>l ll...),(3-I2)

S=l,2,

...,171

) - неопределенные множители Лагранжа.

где Aj (

В функцию (3 -1 2 ) помимо

переменных

X L

входят

еще

fit

переменных

Ад

.Искомые

значения неизвестных

Х^

/Ц

опредг

. ляются решением системы

уравнений

З Е . - Ж + 7 ]

M lsn

(1НД, ...,Н )

яж.

h M W

и>

(3 -1 3 )

...^Q (S=U,...,m)

При этом необходимо иметь в виду,	что метод множителей	Лаграв-
'	. 3	9

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ