книги из ГПНТБ / Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие

1**|Р*<4"С** + \)рк,

и из сходимости рядов %рк и ^хкрк

будет следовать

вовать

математическое

ожидание случайной

величины

(X-\-с)2,

а из существования М [ (/Y-|-с)2 ] при некотором с

вытекает

существование

Ш(Х2). Это следует из

сказанного

положив X + с = X', заметить, что X'2 = X2 +

2сХ + с2 и

X = Х' — с.

Теперь покажем, что, коль скоро

существуют

математиче­

ские ожидания квадратов случайных

величин X и У, сущест­

X и У дискретны, X принимает

значения хи

х%

, У; значе­

ния у\, у2,...

обозначим,

как обычно,

Pl==p{X

= Xl), pk = P(Y = yk),

р „ = Р [(* =

*,)

=

Так как при всех i и к

то

Pik <

Р<>

Pik < РА.

i

i Pik < 4" (*' + y *) p <* < 4" ^

+ 4"y* p*-

( 1 }

Если же X, Y \\U [X, Y) — непрерывные случайные

величины,

имеющие

соответственно

плотности вероятности

р(х),

р(у)

и р(х,

у),

то

\ху\р(х, у)^-±-(х2

+ у2)р(х,

у).

'

(2)

Коль

скоро существуют

М(А"2)

и М(У2 ), из неравенств

(1) и

интеграла, представляющих M(XY)

(см. § 33, формулы

(6)

и (7)).

Если существуют M(/Y2 ) и М(У2 ),

то при любых с ь

с2

произведение (X — Ci) (У — с2 ) также

будет

иметь математи­

ческое ожидание. В частности, выбрав

Ci =

а =

М(Х), с2 =

п= Ь — М(У), в результате несложной

выкладки

получим

Щ(Х — а) (У — 6)] =

М(ХУ)— аЬ.

(3)

ностыо,

равной

единице,

постоянна

(см. §

35

последний

аб­

зац). Свойство

I I I доказывается

следующей

выкладкой:

D (X)

=

М (X2 —

2аХ + а2)

=

М (X2) —

2аМ (X) + а2

=

=

M(Z 2 )

— а 2 .

Отсюда,

в частности, вытекает

неравенство

[ Л С Д ] 2

< M ( Z 2

) .

(9)

Переходя к свойствам IV и V, предположим, что

с — ка­

кая-нибудь постоянная и М(Х)=а;

тогда

V(X

+ c) — M[[(X+c)

— (a + с)}2} = М [{Х-

а)2] =

D (X)

и

D(cX) =

М[(сЛ: — с а ) 2 ] =

с2 М[(Х — а ) 2 ] =

c2 D(X).

Теперь

допустим,

что

X

и

У

независимы,

Ж(Х)—а,

М ( У ) = й

и,

следовательно,

М(X +

У) =

а +

6.

В

силу

(4)

0(Х+У)

= ГА[{Х + У-а-Ь)2]

=

IA \[(Х-

а) + (Г -

б)]2 )

=

=

M[{X

— a)2+(Y

— b)2

+

2{X — a)(Y—b)]

=

=

M[(X

— a)2] +

M[(Y—b)2]=D(X)+D(Y).

Свойство V I очевидным

образом

распространяется

на

любое

конечное число попарно независимых слагаемых.

Заметим

далее,

что

согласно

свойству

V, если

случайная

величина

X

имеет

определенную

размерность

dim X,

то

dim D(X)

=

(dim X)2.

Желая

получить меру разброса

случай­

ной величины X, имеющую ту же размерность, что и X, вво­

дят величину

о(Х) = у-Щх),

(10)

которая

называется

средним

квадратичным

отклонением

слу­

чайной

величины X

(от ее математического

ожидания). Свой­

ства V и V I дисперсии

могут

быть

сформулированы

так:

а(сХ)=\с\а(Х);

(11)

для независимых X и У

а2(Х-\- У ) =

a2(X)

+ a2(Y).

(12)

Введем еще некоторые понятия, полезные для дальнейше­

го. Случайная

величина

называется

центрированной

*,

если

ее математическое ожидание

равно

нулю. Очевидно,

если

су­

ной

величиной. Таким

образом,

«центрирование» случайной

величины достигается

специальным выбором

начала отсчета.

*

Точнее говоря, центрированной

математическим

ожиданием.

* = т ш - ( * - а > -

( 1 3 )

Х=аХ

+ а,

(14)

где а =

а(Х).

§ 37. Дисперсионная матрица векторной

случайной

величины

Пусть

векторная случайная

величина U {X, V]

такова,

понент.

Аналогом

дисперсии

для U {X,

У) служит

дисперси­

онная

матрица

с элементами

ft,,

=

Щ(Х~а)2]=

D(X),

b22

=

M[(Y-b)2]=D(Y),

(2)

b12

=

b21 =

M[(X-a)(Y-b)],

(3)

где

а=М(Х),

6 =

М(У). Постоянная

(3) называется

кова-

риацией

или

корреляционным

моментом

случайных

величин

X и

У.

' <

Как

показано

в § 36 (см. формулы

(3) и (4)), в том слу­

чае, когда X и У независимы,

bi2 = ft2,

=

0, и В оказывается

диагональной

матрицей.

—>

Для /г-мерного случайного вектора

U (Л,,

Хп]

с компо­

нентами Хь

для которых

существуют

М(Л^,)==а,. и

М(А",-2)

(i =

1,...,/г),

дисперсионная

матрица

/

Ъп

& 1 2

. . . ft,,

I

\

bni

b n i

. . . b„

(4)

определяется

аналогично

blk = bki

= m [(X, - a,) (Xk - ak)} (i, k — 1

n). (5)

ат = Ж(ХП,

(1)

но с а т существует абсолютный

момент порядка m

Рт = Ш(\ХГ).

(2)

Если М(Х)= а, то центральным

моментом порядка m

назы­

вается

^Т = Щ{Х-аП

(3)

M(]X-a\m).

(4)

Мы

замечаем,

что

математическое

ожидание случайной

величины

есть си — момент

порядка

1, а дисперсия — цент­

ральный

момент

порядка

2. Нетрудно

показать, что, коль

скоро

существует

момент а„, порядка

пг, существуют момен­

ты а г

порядка 1<т,

а из существования центрального мо­

мента

\im

порядка

т

следует существование

центральных

моментов

IXi порядка

I < т. Заметим,

что абсолютные мо­

менты

(2) и (4) могут быть определены и для дробных m > 0 .

Применяя обычные обозначения, запишем выражения мо­

ментов (1), (2) и (3) для дискретной

случайной

величины X:

««=2

Р„,= 2ЫТ Р*.

rS*=2(**-a)m /V

(5)

ft

*

ft

Для непрерывной случайной величины X, распределенной с

плотностью

вероятности

р(х),

ат

= ^ хтр (х) dx, р„, =

^ | х |тр (х) dx,

—оо

—оо

+оо

IV =

\ (х-a)mp(x)dx.

(6)

—оо

5—143

65

В

общем случае

постоянные

(2) — (4) выражаются

посредством ин­

теграла

Стильтьеса с

функцией

распределения F(x) в

качестве интегри­

рующей функции.

Р(Х<х0)=Р(Х>х0)

=

~ ,

называется медианой случайной

величины

X. Если

существу­

ет

плотность

вероятности

р(х),

то медиана

х0 характеризует­

ся

условием

х0

+оо

J p(x)dx

= J

P(x)dx =

-2-.

(1)

Тогда, когда

есть такое с, что

=

+

( й > 0 ) ,

(2)

единственной

модой, называется

унимодальным.

В качестве меры разброса случайной величины X приме­

няется

иногда

среднее

отклонение

Et

=

M(\X-a\),

где

й =

М (X)

*.

Тогда, когда

выполняется

условие

(2) и,

следовательно,

с =

а,

вводится

также

вероятное

или

срединное

отклонение

Е случайной величины X, определяемое соотношением

Р(\Х-а\<Е)=:Р(\Х-а\>Е)

=

~ .

О т в е т : если X — индикатор

события А, то

М.{Х)=р,

D(X)=pq;

для

биномиального

и пуассоновского

распределении

М(Х) равно соответствен­

но пр и %, D{X)

есть npq и X.

О т в е т : для X, равномерно распределенной (на

отрезке

[а, &]), име­

ющей

показательное распределение, нормальное распределение М(А')

равно

соответственно

(а+Ь),

а-1

и

а, D(X)

равно

(6 — а ) 2 ,

а - 2 и

а2 . В случае распределения Коши 1Л{Х) н D(A') не существуют.

3.

Значения

случайной величины

X

заключены

в отрезке [а, Ь].

Доказать, что а <

М(Х) < 6 и а(Х)

<-1_(6 — а) . Возможно

ли при этом

ft

4. Дискретная

случайная

величина

X

принимает

значения

Xk= 2"

с

вероятностями

рк

= 2 ~ f

t

( й = 1,2,...).

Показать, что

М(Л')

существует,

а

1Л(Х2)

не существует.

X

5. Дано

целое

/ п > 0 . Дискретная

случайная

величина

принимает

значения

Xft = 2*^m + I )

с

вероятностями

рд = 2 - *

(k = 1,

2 , . . . ) . Показать,

что момент

а,„ существует, а

момент

ат+,

не

существует.

6. Показать, что нормальное распределение имеет центральные мо­

менты всех

порядков. Вычислить

ц и

( т = 1 ,

2 , . . . ) .

О т в е т :

\im

= 0

при

нечетных

т;

при

т = 21

ц2 ;

=

(2l~\)\\ail.

7. Показать, что случайная величина, распределенная по закону Пуас­

сона, имеет моменты а т

любого

порядка.

8. Пусть Х\, Х2—независимые

случайные

величины,

для

которых

существуют

моменты

а ^ " = М(Хт ) и

i 1 ^ 1

=

Вычислить

момент

порядка т суммы Xi +

Хг.

т

О т в е т :

£

С1т а'1» «£>_,

=

М[(Л*),

/ =

1, 2).

г=о

X,

9. Для

случайной

величины

распределенной

по

закону

Гаусса,

пользуясь

таблицами

функции

Ф(х),

выразить

постоянные

Е

и £ |

(см. § 39)

приближенно

через среднее

квадратичное

отклонение.

О т в е т :

£ « 0 , 6 7 8 о,

£,=0,797 ст.

->

10.

Предполагая,

что

абсолютная

величина

У = | и |

скорости

моле­

кул газа

распределена

по

закону

Максвелла,

т.

е. имеет

плотность

веро­

ятности

p(v)=

/

^ _ t > 2 e ~ /

w ( и > 0 ) ,

найти для

V

моду

(«наивероятней-

V «

О т в е т :

мода V равна / Н , ЩУ) =

2 _

Л - 1

«

1,13

ft-i,

У М (Ка )

=

У Т.

11.

Пусть

AT— непрерывная

случайная

величина, для

которой

суще­

ствует а2. Показать, что Ш[(Х—с)2]

достигает

наименьшего

значения

(равного D(X))

при c = M ( A f ) .

12.

Пусть

X — непрерывная

случайная

величина с

непрерывной

плот­

ностью вероятности. Предположив, что существует М(А'),

доказать,

что

при любом с М( \X-cj

) существует

и достигает

наименьшего

значения,

когда с равно

медиане

х0.

порядка

пг

случайной

величины

А

13.

Факториальным

моментом

называется

и,(

т ) = М[Х(Х—1)---(А'—

m-f-1)]-

Доказать,

что

если

су­

ществует а% то Ь(Х) =

р , ( а ) — а(а—1),

где

а = М ( Х ) .

14.

Вычислить факториальный

момент

]х(т)

случайной

величины,

рас­

пределенной по закону

Пуассона.

О т в е т :

Кт.

5*

67

Г л а в а

5

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

§ 41.

Неравенство

Чебышева

Рассмотрим неотрицательную случайную величину X, име­

ющую математическое

ожидание

М(Х)=а>

0.

Для нее

справедливо

следующее неравенство:

Р{Х>\)<а.

(1)

Действительно,

если

X

дискретна и

принимает

значения

х А > 0 с вероятностями рк

(k = 1, 2,...), то

Р(*>1)=2/>*<

2 4Pk<li4Pk

= a-

Если X непрерывна и обладает плотностью

вероятности р(х)

(равной нулю

при х <

0, в силу того что Х^>0), то

+оо

+О0

+О0

Р(Х>\)

— ^ p(x)dx<

^

xp{x)dx<C

^

л;/?(.*)fifjc = а.

1

1

о

р[±-{Х-а?>

l ] < - i - D ( * )

Отметим, что неравенство

(2) представляет

интерес

лишь

для

значений

/г, превышающих среднее

квадратичное, откло­

нение;

при / г < а ( Х )

оно тривиально.

Положив

h =

ko(X),

мы

сможем записать

неравенство Чебышева в виде

P[\X-a\>ko(X)]^^r.

(3)

Фиксируем произвольное число k0 >

1 и зададим

случай­

ную

величину

X, принимающую значения х\ — —/г0, х2

= О,

Хз =

k0

соответственно с вероятностями

Р] = — [ j - ,

р., =

1 —

r j -

-

Р3 —

OTJ-'I

при этом М (X) = 0, а (X) —

1 и

P[\X\>k0c(X)]

= P(X = ka) + P(X^-k0)

= ± .

Для этой случайной величины соотношение (3)

при k =

kQ

превращается в равенство. Этот пример показывает,

что не­

равенство

Чебышева

нельзя

улучшить,

не сужая

класса

рас­

сматриваемых

случайных

величин. С

другой

стороны,

во

ства

\Х— а | > ka(X)

оказывается весьма грубой. В сле­

дующей таблице сравниваются значения Рк= Р (| X — а | > ko)

с kr2

для нормального

распределения

с параметрами а и а.

k

Pk

1

&

1

0,317310

1,000000

2

0,046002

0.250000

3

0,002700

0,111111

4

0.000064

0,062500

§ 42. Сходимость последовательности случайных

величин

в среднем и по вероятности

Пусть

Хп

( л = 1,

2,...)

и X — случайные величины, для

которых

существуют

М(ХЙ )

и М ( Х 2 ) .

Говорят,

что

последовательность

{Хп} сходится

в сред­

нем к случайной

величине X, если

НтЩ(Хп-Х)2]

= 0.

л-»оо

При этом мы пишем

Хп{сред.)^Х.

(1)