Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

3.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

ли, каковы бы ни были промежутки А\ и А2 числовой оси, со бытия (A'CAi) и (^б^з ) независимы, т. е. если

р [(Х£ д о ( к е м = Р (хе до Р ( К е д2 ). (i) Если равенство (1) нарушается для некоторой пары проме

жутков Ль Дг, то случайные величины X и Y называются

за

висимыми.

(i —

Говорят,

что случайные

величины

1, 2,...)

(в ко

нечном или счетном числе) попарно

независимы,

если, како

вы бы ни были индексы /

и Xj

независимы.

Говорят, что случайные величины Х\, Х2,...,ХП

взаимно

независимы,

если

при

любом

выборе промежутков Д ь

Дг,...

. . . , Д „

Р[(X,

6 Д,)• • • (Хп6

Л„)] =

Р № 6 А,).

(2)

Выбрав произвольные индексы i\,...,

(1 < t\ <

• • • <

im <

1 < / n < n ) ,

положив

Д , = Д о

для

значений

отличных

от

i\,...,im\i

опустив в

равенстве

(2)

достоверные

множители

слева под знаком

Р и соответствующие

числовые множители,

равные

единице, в правой

части, получим

Р К ^ е д , , ) . . . ^

6Д 1 Я 1 )]=

Р ( ^ е д , А

) .

(3)

Л—1

[Х\,

Случайные величины, образующие бесконечную систему

по определению взаимно независимы, если любая

конеч

ная

подсистема {Х^,

} . \ . ,

Х„],

содержащаяся

[X],

удовлет

воряет

условию (2) при произвольных Д], . . . , Д„.

Любые взаимно независимые случайные величины попар

но независимы. Обратное,

вообще говоря, неверно. В

практи

ческих задачах случайные величины Х\, Х2,... считают вза имно независимыми, если значения Xlt Х2,... формируются под воздействием факторов, «независимых» друг от друга в

обыденном понимании			этого	слова.
Предположим, что случайные величины X и Y независи
мы; взяв промежутки Д1 =				(—оо, х), А2	= ( — с о , у )	и приме
нив тождество	(1),	получим
		F{x,	y) =	Fx(x).Fy(y).		(4)
Тождество	(4),	коль скоро оно выполняется для				всех х и
у, достаточно для независимости X и У. В самом деле, для
промежутков	Д, =	[а,	Ь),	А2 — [с, d)	равенство	(1) будет
следовать прямо из (3) и из формулы					(3) § 17. Для других
видов промежутков		Д ь	Д2 равенство (1)		можно получить по

средством предельного перехода, используя общие свойства вероятностной функции и функций распределения.

Возьмем дискретную случайную величину U [X, К}. При меняя обозначения, введенные в § 18, покажем, что для не зависимости X и Y необходимо и достаточно, чтобы при всех / и k

			Pik =		PiPk-					(5)
Допустим, что (5) справедливо. Тогда,							если		Ai, Дг— произ
вольные	промежутки		и Xtm6	A t (m= 1, 2,...),				Уп1£.кг{п=\,		2, ...),
то
		Р [(Х£ Л,) (К 6 А2)] =			2	Р (0 =	ulmkn)		=
=	2	= 2	Pijkn	=	(	2 р / т	) (	2	Р*Я )	=
	т,п	т,п				т		я

=р ( х е д , ) Р ( г е А 2 ) .

Тождество		(5) в свою очередь вытекает			из независимости X
и У. Для того чтобы в этом убедиться,					достаточно			фиксиро
вать	i и k	и	применить равенство		(1)	к	промежуткам
Д 1 = = ( д , _ а ,		*, +	&), Д2 =	(£/А —8, y A - f 8),	выбрав		6 > 0		столь
малым, чтобы А\			содержал единственное значение х{						случай
ной	величины X,		а Дг— единственное значение				yk	случайной
величины У.
Пусть теперь			U {X, Y) — непрерывная			векторная			случай
ная величина, р(х, у)—ее				плотность вероятности. Предполо
жим, что
			Р(х,	У)=р(х)р(у),					(6)

где оба множителя справа неотрицательны, непрерывны всю ду, кроме, может быть, конечного или счетного (без точек накопления) множества значений аргумента и удовлетворяют условиям:

+ со + со

^ p[x)dx=	^ p(y)dy=	1.
— оо	— оо

Тогда компоненты X, Y будут независимыми непрерывными случайными величинами, для которых плотностями вероятно сти будут служить р(х) и р{у) соответственно. В самом де ле, каков бы ни был промежуток А,

Р ( ^ е д ) = р [ ( ^ е д ) ( г е д 0 ) ] =
= ^ ^ Р {х, y)dydx=^	^ р (х) р(у) dydx^^p	[х) dx.

Так же проверяется равенство

p(reb')=\p(y)dy.

	Если X,	У и	U [X,	Y\	— непрерывные		случайные	величи
ны,	имеющие		соответственно			плотности вероятности		р(х)	и
р(у)	и р(х,	у),	то, коль скоро X и У независимы, будет вы
полняться тождество (6) по крайней мере							при всех	тех	зна
чениях х —		х0	и у =	у0,	при	которых р(х)	и р(у) непрерыв

ны. Для доказательства следует взять малый прямоугольник

Q[A\,	А2],	содержащий точку			(х0,	у0),	применить		к	интегра
лам в	равенстве
		^	^ р(х,	y)ds=	^ р(х)с1х^			p{y)dy
теорему о среднем и, поделив обе						части		равенства		на пло
щадь	Q, перейти к пределу, стягивая						Q к точке (хо, г/о).
	§	20. Примеры дискретных				случайных величин
Рассмотрим			некоторые примеры				дискретных		случайных
величин.
Любую постоянную С можно рассматривать как случай
ную	величину		X,	принимающую			единственное			значение
Х[ =	С с вероятностью р\ =				1.
Предположим, что проводится						серия		испытаний,		которые

могут иметь исход А или А. Рассмотрим случайную величину X, «регистрирующую» исход А: X принимает значение 1, коль


скоро данное испытание имело исход А,								в	противном	случае
X принимает значение 0. Такая случайная									величина называ
ется		индикатором			события А. Итак, X принимает два					значе
ния		Х\ =	1 и х2	=	0 соответственно		с	вероятностями		р	=
=	Р(Л)		и q = 1 —		р =	Р(А).
	Пусть		теперь	даны целое положительное число п и						число
р,	подчиненное			неравенствам 0 <			р <	1; пусть далее q			=

=1 — р. Рассмотрим случайную величину X, принимающую

целые	значения & =		0,	1, 2, ...,п	с вероятностями		pk =
= Р(Х	=.k)	= CpV~	О	такой	случайной	величине	гово
рят, что она		распределена		по биномиальному		закону. К	тако

му распределению приводит, как мы видели, задача о повто рении испытаний (см. § 12, задача 10).

Рассмотрим теперь так называемое распределение			Пуас
сона: случайная величина X принимает всевозможные целые
неотрицательные значения с вероятностями pk		=• P{X—k) =
\ k
— K-gf,	где X—некоторое фиксированное	положительное
число. Из	условия

oo~j

32	ft=0

получаем К — е~\	таким	образом
Pft =	e-* £	(fe = 0, 1, 2, . . . ) .

Закону распределения Пуассона подчиняются, в частности, количество а-частиц, поступающих в данный промежуток времени в счетчик из некоторого радиоактивного источника, количество вызовов, поступающих в единицу времени на те лефонную станцию и т. д.

§ 21. Примеры непрерывных случайных величин

Сначала рассмотрим случайную величину X, равномерно распределенную на отрезке [а, Ь] (а < Ь) \ ее плотность ве роятности р(х) равна нулю на промежутках (—оо, а) и (Ь, +оо) и постоянной р0 на отрезке [а, Ь]. Из условия

		^	р (х) dx =	^	р0	dx =	1
		— оо		а
заключаем,		что ро=(Ь	— а ) - 1 . Заметим,				что если А — произ
вольный	промежуток,		содержащийся			в [а, 6], то Р(Х €		А) =
= j " pQdx	=	длина АIдлина		[а,	Ь].	Таким образом,		рав-
д

номерно распределенной на отрезке [а, Ь] оказывается абс

цисса X точки Я, положение						которой на		одномерной			области
D 0 =	[я,	Ь]	описывается		«геометрическими»					вероятностями
(см. §	7).
В тех случаях, когда значение какой-либо переменной х
округляется			до	n-го десятичного знака				после		запятой, т. е.
										п
х заменяется			приближенным			значением		х0 =	N -4- 2		ak^~k<
то ошибку округления
				X = X — XQ
часто	считают			равномерно			распределенной			на	отрезке
Далее		рассмотрим закон				распределения			Коши.
Он задается				плотностью		вероятности
				Р W = С 1 1.+			р » ( , _ а ) » •
где р >		0 и а — некоторые				постоянные. Из			условия
				+ оо
				^	p(x)dx=l					у	(1)
				— СЮ
				О
находим		С< = — •

3—143

Плотность вероятности

Опри х < О,

Р^Х)~	1 С2е~™	при	х>0,
где а > 0 задает так	называемый	показательный		(пли экспо
ненциальный) закон	распределения. Из		условия	(1) следует,

что С2 — а. Показательному закону подчиняются длина сво

бодного пробега молекулы газа, время								бесперебойной			рабо
ты	многих приборов, длительность						работы электронных				ламп
и т. д.				теперь нормальное распределение						распре
	Рассмотрим			теперь нормальное распределение					или	распре
деление		Гаусса,		играющее важнейшую роль в теории						вероят
ностей и в ее приложениях. Оно							определяется		плотностью
вероятности,			которую мы		обозначим
				<р(*;	а, о ) Н С 3 е		2 а а	,
где	а	и а >	0 — некоторые			постоянные. Условие			(1)	приво
дит	к тому,		что			_1_
						_1_	•
					^3	- г—	•
Таким		образом,
				ш(х; а,	*)=-±=е			™ .			(2)
						а У 2л

График функции (2) симметричен относительно прямой х =

=а, на промежутке а — о < х < а + и он направлен вы

пуклостью	вверх,	на промежутках		—оо < х <			а — а	и а +
+ а <С х <	+ о о — выпуклостью		вниз. Наибольшее значение,
	_	j _
равное о— 1 (2я) 2		,<р(х; а, а), достигает				при х =	а. Функцию
(2) при значениях		параметров	а =	0	и	о — 1 принято		обоз
начать ф(лг):
		• w = = l A	r e	~ 2	-			(3)

Таблица значений этой функции приводится во многих спра вочниках и учебниках теории вероятностей. Одновременно с ф(х) табулирована и ее первообразная

X	X	_z*
<D(x) = $«P(z )r f z == y t "	$ е	2 dz.	(4)

о" % о

Если	А' — случайная величина,	распределенная	с плот
ностью	вероятности ц>(х; а, а) и А =	[а, Ь], то
	Р ( Л Г 6 А ) « = Р ( а < Л ' < 6 ) = ^ <Р(Л; о, o)rfx.		(5)
		в

Сделав в интеграле (5) замену переменного

* ~ а =

г, полу-

чим

(ft-0)/9

P(a<X<b)

<?(z)dz

ИЛИ

(а—а);а

Р ( а < * < 6 )

= ф (

± ^

)

( ^

) .

(6)

Применяя

формулу

(6), надо

иметь в

виду,

что

функция

Ф(х)

нечетная. Положив а =

а — h,

6 =

а +

/г

( Л . > 0 ) ,

по

лучим

Р ( | А - - а | . < А ) =

Ф ( - Г ) .

(7)

Если h =

ka, то (7) примет вид

Р ( | А " — а | <fe») =

2 Ф(&).

(8)

При

1, 2, 3 правая часть

равенства

(8) принимает

соот

ветственно значения 0,683, 0,954, 0,997.

Следовательно,

Р ( | ^ - < х | > З а ) ^

0,003.

Считают

поэтому, что значения

нормально

распределенной

случайной величины практически не отклоняются от а боль ше, чем на За.

Закону распределения Гаусса подчиняются погрешности

большинства	измерений,	отклонения (по дальности			и	боко
вое) точки	попадания	артиллерийского		снаряда	от	точки
прицела, многие биологические			параметры	и т. п.
В теории	ошибок функцию		(2) записывают часто в виде
Параметр h, связанный с а соотношением				h — — ~ , называ-
ют мерой точности.

Постоянную величину С иногда рассматривают как пре дельный случай нормально распределенной случайной вели


чины при а =		С и а	0. Такой случайной величине припи
сывается	плотность		вероятности	о (л:—С)	(заметим, что в
теории	обобщенных		функций	любая	последовательность
{<р(х\ С, а„)),		коль	скоро ая -9-0, определяет обобщенную
функцию б(х — С)).

Двумерная случайная величина U {X, Y) называется нор мально распределенной, если ее плотность вероятности есть

р(х, у) = Ке~о^»,	(9)
' 3*	35

где
q(x, у) =	А(х-Хо)*	+ 2В(х-х0)(у-уа)+С(у-уо)2,		(10)
причем
	А>0,	С > 0 ,	АС — В2>0.	(11)
Условия	(11) означают, что q(x,		у) есть невырожденная	по

ложительно определенная квадратичная форма относительно

переменных х — хо, у — ул. Перенеся

начало координат в точ

ку (х'о, г/о) и

сохранив обозначения

координат,

запишем

q в

виде

q(x,

у) = Ах2

2Вху

Су2.

Положим У А =

а >

] / С = с > 0

В = —гас,

где | г | <

Тогда

q (х,

у) =

а2х2

— Ъ-асху

с2у2.

(12)

Если

г =

0, то,

обозначив

а 2

= - 2 ^ '

^ ~ S f

( 1 3 )

запишем

плотность

вероятности

(9)

виде

х'

у'

р(х,

0) =

/Се

1 ? е

а 3 .

(14)

Из условия (7) § 18 следует, что

Итак, в этом

случае, т. е. при г

р(*> # ) =

ф(*;

о-]) • q>(y;

0, а 2 ),

следовательно,

компоненты

случайного

вектора

представляют собой независимые нормально распределенные

случайные величины.					Oi и		oi
Тогда,	когда	^ ¥ =0,		зададим	Oi и		oi	соотношениями:
	0 , 2	=	2of	(1 — г2) '	с 2 =	=	2а» (1 — г»)				( 1 5 ^
и вычислим плотность				вероятности		р\{х)		компоненты		X	(см.
формулу	(10), §	18). Для этого			перепишем				q(x, у) в	виде
	q(x, у) =а2(\—т2)х2-\-						(су —		агх)2.
Тогда
					4- оо
	Р, {X) =		KerW-W		^	e-icy-raxV			dy,		(16)

— оо

Интеграл в правой части равен

= о2 У 2 к (1 — г2 ) ,

Т	w
а так как	^ pi(x)dx=l,	то

(17)

Таким образом,

Так же вычисляется плотность вероятности компоненты Y

р2(х)^-±=е	2°К	(19)
<s2	V 2~-
Мы видим, что и в общем	случае компоненты	нормально

распределенной случайной величины U \Х, У) распределены нормально, причем параметры сгь а2 связаны с коэффициен тами квадратичной формы (12) соотношениями (15). Поль зуясь формулами (15) и (17), можно окончательно записать

р(х, у) в виде

Р <*• У) - ^ t е Х Р { - Г ^ Г (щ - г ik +£)}' (2°)

Выражения pi(x), /?2(#) и /?(х, г/) в исходной системе коорди

нат можно получить, заменив х и у	соответственно	на х — х0
и у — у0-
§ 22. Функции случайной величины
Пусть X — случайная величина,	f(x)—функция	перемен

ного х, определенная на До или хотя бы на некотором про межутке, содержащем всевозможные значения случайной ве

личины X. Под f(X)			понимается случайная величина, которая
принимает значение f(x)				всякий раз, как X принимает			какое-
либо значение х.
Если	X — дискретная			случайная	величина,	принимающая
значения	хи хъ...		с вероятностями		р \ , ръ • • •,	то f(X)	будет
с теми же вероятностями				принимать значения		f{x\),	f{x2),...
При этом может случиться, что f (xt) = f{xj)						для некоторых
номеров	i и /	(г ф	j).
В общем		случае, если [(х) — монотонная функция, то, ка

ков бы ни был промежуток Д, множество значений х, при ко

торых f{x) 6	А, есть либо пустое множество, либо некоторый
промежуток	Д'. Следовательно,
	P [ f ( J 0 € A ] = 0	или	Р(Л"6Д').

т. е. в случае монотонной f(x), зная закон распределения X, нетрудно установить закон распределения случайной величи ны 1'(Х). Тогда, когда область определения f(x) можно раз бить на конечное или счетное множество промежутков, на

каждом

из которых f(x)

монотонна,

вычисление вероятностей

P [ / W

£ А] становится более сложным.

Вообще,

вероятности

P[f(->0

£ А]

существуют тогда,

когда М

= { х; [(х)

£ Д}

оказывается борелевским

множеством

при

любом

про

межутке

Д. Функция

f(x),

обладающая

таким свойством, называется

бо-

релевской

функцией.

При

этом

Y = f (X)

будет случайной

величиной

том смысле, как это было определено

в §

13.

Если

функция

f(x,

у)

двух

переменных

определена

на

всей плоскости

х,

у или хотя бы на

некоторой

области G,

со

держащей всевозможные значения векторной случайной ве

личины	U	{X,	Y], то можно рассмотреть случайную величи
ну Z =	f(X,	У). Следует заметить, что даже для совсем		про
стых функций			f{x, у) отыскание закона распределения Z	мо
жет быть затруднительно.

§ 23. Распределение суммы двух случайных величин

Пусть X и У — случайные величины, принимающие лишь целые значения. Обозначим


p{X =	k) =	pk,	P(Y =		l)=ph
P[(X	=	k)(Y	=	[)]=pk[
(k,	1=0,		± 1 ,	± 2 , . . . ) .

Если п — какое-либо целое число, то событие (X + У = п) происходит тогда и только тогда, когда происходит одно из событий вида

(X = k)(Y =чг —k)

(k = О, - ±1, ± 2 , . . . ) .

(1)

События (1) попарно несовместны, поэтому

P(X+Y	= n)=	2		P[{X=k)\(Y	=	n-k)]=>
	ft «	—	оо
	=	+	со
	=	2		Рь »-*•		(2)
	ft;=		—	оо

Если X и У принимают лишь неотрицательные целые значе ния, то для п > О

	л
(Х+ Y=*n)=	2 (X=k)	(Y =	n-k),

ft—о

и формула	(2)	примет		более простой		вид:
					и
		p(^T r=n)=2ft,»-*.						(3)
В том случае, когда			X и У независимы,				= pfep,	(см. § 19),
и формулы	(2),	(3)	запишутся в		виде
					+	оо
		Р(Х+У		= п) =	2	РмРп-*		(4)
И					к — — оо
И					л
					л
		Р ( * +		У = п)=	2	P*P»-A-		(5)

Пусть теперь X и У — непрерывные случайные величины, плотности вероятности которых суть р(х) и р(у), а р{х, у) есть плотность вероятности векторной случайной величины

U	{X,	У]. Тогда, каково		бы ни было z,				неравенство X +			У <
<	г равносильно тому, что				/7 окажется			в полуплоскости			Dz,
которая характеризуется				неравенством				х -f- у < z.		Следова
тельно,						+оо		г — х
						+оо		г — х
	Р ( Л Г + K < z ) = ^ р(лт,				y)ds=		\(^	\	Р(х,	y)dy}dx.
			Dz			—оо		—оо
Введя		новые	переменные	и = х,		v =	х + у,		выразим эту		ве
роятность в виде				2	+00
				2	+00
		Р(Х+	У<г)=		\	P(fi,	v —		u)du)dv.

—оо —оо

Дифференцируя по г, получим плотность вероятности случай ной величины Z = X + У

+оо

pz(z)=	J р(и, z — u)du.	(6)
Проведенная выкладка	—оо	р[х,у)
Проведенная выкладка	заведомо законна тогда, когда	р[х,у)

удовлетворяет требованиям, указанным в § 18 [см. вывод

формулы		(10)].			_
	Если X	и У независимы, то р(х,		у)	= р(х)р(у),	и формула
(6)	принимает вид
			+оо
		pz{z) =	^ р(и)р(г	— и)da.		(7)
			—со
Мы видим, что в этом			случае плотность вероятности суммы
Z =	X + У есть свертка		плотностей		вероятности	слагаемых.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20236.58 Mб3Васильев, Ю. В. Контроль производства химической чистки одежды.pdf
#
22.10.202314.52 Mб4Васильев, Ю. В. Северная сталь вчера, сегодня и завтра Оротуканского завода горного оборудования.pdf
#
24.10.20238.96 Mб20Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.pdf
#
24.10.20238.94 Mб10Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак.pdf
#
19.10.20234.06 Mб6Васильева, И. Г. Восстановление неметаллических покрытий.pdf
#
23.10.20233.91 Mб11Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf
#
23.10.20237.54 Mб18Васильцов Э.А. Бесконтактные уплотнения.pdf
#
19.10.20233.25 Mб7Васин, М. Д. Жидкая радуга.pdf
#
19.10.20234.42 Mб1Васкан, Р. Д. Принципы и средства автоматизированной обработки геологоразведочной информации.pdf
#
19.10.20235.63 Mб5Васманов, В. В. Технические средства оперативного управления.pdf
#
21.10.202310.08 Mб5Васнецов, В. А.pdf