Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

3.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

+ 2 (u*-*;i>o) и p ( i K n - y ; i > « ) < 2 Р ( - 1 - | А * - А ; | >

>~T>7T^+	2	P * ; C M - А а л е е з а Д а ч У 8 -
2N	ft=/V+l
	ft=/V+l

Г л а в а 6 ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

§ 51. Характеристические функции

Пусть w(x) = и(х)-{- iv(x)— комплексная функция дейст вительного переменного х. Математическое ожидание комп лексной случайной величины ш (X) = и(X) + iv(X) по опре делению есть

M[w(X)]=M[u(X)]

+ M[v{X)],

(1)

если математические ожидания в правой части равенства су ществуют.

Рассмотрим функцию eltx действительного переменно го х, содержащую действительный параметр t. Характери стической функцией случайной величины X называется

ср(0 = М(е'*)

( - с о < * < + с о ) .

(2)

Иногда функция (2) будет обозначаться <px{t). Опасность спутать характеристическую функцию с нормальной плот ностью распределения ф(лг)=<р(л:; 0,1) (см. § 21) исключе

на, так как	аргумент характеристической	функции	будет
обозначаться	t.
Если X дискретна и принимает значения		хи дг2 ,... с	веро
ятностями ри	р 2 , . . . . то

<Р(9= 2	(3)
к
Если X непрерывна и распределена с плотностью	вероятно
сти р(х), то
+0О
tp(*)= ^ eitxp(x)dx.	(4)

—СО

В общем случае, если F(х) —функция распределения случай ной величины X, tp(£) выражается интегралом Стильтьеса

[ e»*dF(x).

(5)

—00

Так как \е"х\= 1, то ряд (3) и интеграл (4) сходятся абсолютно и равномерно (относительно t); следовательно, функция ф(/) определена при всех t\ нетрудно показать, что она непрерывна. То же справедливо и в общем случае, ког да q>(t) выражается интегралом (5).

Отметим еще некоторые простые свойства характеристи ческой функции, непосредственно вытекающие из ее опреде-

ления:	ф(0) =	1; при всех ^lcp(i')	\| < 1 и	<р(—t)=<p{t);	если
р(—х)	з = р ( х ) ,	то ф(^) принимает	лишь	действительные	зна
чения.

Допустим, что случайная величина X обладает абсолют ными моментами M ( | r V | m ) порядка m < n . Тогда ф(£) имеет непрерывные производные порядка < я. В самом деле, при этом в случае непрерывной X интеграл (4) можно я г ( < я ) раз дифференцировать по t под знаком интеграла, в результате чего получатся абсолютно и равномерно (относительно t) сходящиеся интегралы

срО") (/) = ^ е"* (ix)m p{x)dx (т=\, ... , я).

(6)

—оо

Тогда, когда X дискретна, аналогичное рассуждение приме нимо к ряду (3), следовательно,

<Р«"> (0 = ^	Шт	Рк	im =		1, • • - , я).	(7)
к
Положив в (6) или в (7) ^=0, получим
«p(m)(0)e x*am		( m = l , . . . , n ) ,				(8)
где a m = M ( A ' m ) — м о м е н т порядка				т	случайной	величи
ны X (см. § 38). Таким	образом,		если	ат (яг< я) существу
ют, то
	л
= ! + 2 ^ t			m + o(n			(9)

В частности, если случайная величина X обладает математи ческим ожиданием М(Х)=а, то ее характеристическая функ ция имеет непрерывную первую производную; при этом

ф ( * ) = 1 +iat-\-o{t).

(10)

Отметим еще одно простое свойство характеристических функций: если Y=aX+$, то ЩеиУ) = М(е" <«*+?>)=е'Р'М(е<°'* ), т. е.

b(t) = e>V<tx(at).

(11)

В частности, если существуют М(Х) = а и D(X) = а2, то для

нормированной случайной			величины			Х=-^-{Х				— а)
		=	4	(	7 -	) .					(12)
	§ 52. Характеристическая функция суммы
	взаимно независимых случайных							величин
	Пусть X и У— независимые			случайные				величины			и Z =
=	X + У. Если допустить что е"х				и e"Y		также			независимы,
то,	воспользовавшись	известным		свойством				математического
ожидания, получим
	<PZ (*) = М (eltz)	= М ( в " i X +		r ) )	=	М (е'7 А ' • eilY)				=
	= М( е " А ') - М( е ' 7 1 , ) =				срх (0срк (0-
Итак, для независимых X, У
	W W		= ?x(0«Py(0.								(1)
Вообще, если Х[,...,		Xп	взаимно независимы,						то
	<?Xt+...+Xn(t)		=	<	?	X	l	(	t	Y -	( 2 )

Доказательство независимости е"х и е"у сопряжено с из вестными трудностями. Поэтому мы приведем здесь прямое доказательство формулы (1) для случая, когда X и У имеют непрерывные плотности распределения р(х) и р(у). Тогда (см. § 23 формула (6))

-fOO

+ ОО - f ОО

<P (Q =	5	e	"*(	\	P(x)p{z-x)dx	)dz	=
Z		e			>
	—00			—00
	+00			+00
=	^ JD(A-)^				^ e!tzp{z — x)dz^dx.
	—CO			—00

Сделав замену переменного z — x = и, получим

+oo	+oo
<P2(') = \ e»*p(x)dx-	^ el<»p(u)du = <px{t).<?y(t).

Заметим в заключение, что из соотношения (1) менаду характеристическими функциями величин X, У и X-\-Y неза висимость X и У не вытекает.

§ 53. Формулы обращения

Напомним читателю некоторые сведения из теории ин теграла Фурье. Если функция f(x) определена на всей число вой оси, непрерывна, всюду имеет правую и левую производ ные и абсолютно интегрируема на ( —оо, 4 - ° ° ) , то f(x) мо жет быть представлена в виде

		-Ьоо
	/(*)=	^	C(u)e^du,	(1)
		— О О
где		+О0
		+О0
	С(и) = -^	$	f(x)e-'»*dx.	(2)
		—оо
Рассмотрим	теперь непрерывную случайную			величину А'
с плотностью	вероятности	р(х), для которой		существу

ет М(А'). При этом ее характеристическая функция ср(/) бу

дет всюду иметь производную		(см. §	51).	Допустим, кроме
того,	что (p(t) абсолютно интегрируема		на	всей числовой оси.
Тогда	формулу
	<р(0 = \	e"*p(x)dx		(3)
	—оо

можно истолковать как представление ф(^) посредством ин

теграла Фурье. При этом			согласно			формуле (2)
				+оо
				\ e-"x<?(t)dt-							(4)
				—оо
Так как по нашему		предположению
		+оо
		^	\<?(t)\dt<			ОО,
		—оо
то интеграл в правой части формулы							(4)	сходится		абсолют
но и равномерно		(относительно			х),	и	его	можно	интегриро
вать по х под знаком интеграла. Следовательно,									каковы		бы
ни были х'<х"	приращение			функции			распределения			F(x)	на
отрезке [xf, х"]	выражается			в виде
			+оо		—Мх'		— Их"
F [х") -	F (х') = ±			J	е " Х	~	е " Х	<р (0 dt.			(5)

— О О

Из формулы (5), в частности, следует, что для любого х

F{x)=4z

+2°

-их' _

.-их

(6)

lim

- i

<?(t)dt.

—со

Можно доказать

(здесь

это доказательство

не приводит

ся), что для произвольной

случайной величины X с функцией

распределения

F(x)

справедливы

формулы,

подобные

(5)

и (6), если только х'

и х", а также х в формуле

(6) —точки

непрерывности

F(x),

а под несобственными

интегралами по

нимаются их главные значения. Таким образом, в общем

слу

чае, если F(x)

непрерывна

в точках х' и х",

F(x")-F(x')=^

= i

(7)

и, если F(x) непрерывна в точке x,

_ L

F[x) = ^r

lim

llm

e "

~ e '*

<?(t)dt.

(8)

—A

В формуле (8) x'

стремится к — со по множеству

точек не

прерывности функции распределения.

Х\, х2,...

Если

X — дискретная

случайная

величина,

— ее

значения, р\, р2,...

— соответствующие вероятности,

то, фик

сировав

какое-либо

хк

выбрав

х'=хк—h,

x"=xk-±-h

(/г>0)

так, чтобы

отрезок

[х', х"]

не содержал

значений X,

отличных от хк,

получим согласно (7)

Р к

= ± -

lim

e - u ' * ^ < t i t ) d t

(k =

. . . ) .

(9)

—А

Мы

видим,

что закон

распределения

случайной

величи

ны X однозначно определяется характеристической

функци

ей. Формулы

(4), (6),

(8) и

(9), при

помощи

которых,

зная ф(0, можно при различных предположениях		относитель
но X восстановить закон	распределения X, носят	общее на
звание формул обращения	в теории характеристических функ

ций.
§ 54. Сходимость законов		распределения
Рассмотрим последовательность		случайных	величин
Xi, Х2,...,	X „	, . . . ,	(1)
имеющих соответственно функции распределения
Fi{x),F2(x)		Fn{x),-...	(2)

Пусть далее

F(x)—функция

распределения

некоторой

слу

чайной величины X. Говорят, что последовательность

законов

распределения

случайных

величин

(1)

сходится к закону

рас

пределения

случайной

величины

если

Iim

Fn(x)

F(x)

(3)

л-<-со

во всех точках непрерывности функции

F(x).

Из

(3)

следует,

что,

каковы

бы

ни

были

точки

( а < 6 ) ,

в которых F[x)

непрерывна,

Urn [Fa(b)

-F„(a)]

/*(6)

-F{a),

n-*ao

т. e.

11m P{a^Xn<b)

P(a<X

<b).

Я - К О

Покажем, что из сходимости

\Хп)

к X

по вероятности вы

текает

сходимость

законов

распределения.

самом

деле,

предположим, что

Хя(вер.)

Х.

(4)

Пусть

х0

— любая

фиксированная

точка,

которой

непре

рывна

функция

распределения

F{x)

случайной

величины

Возьмем произвольное

е > 0

и выберем

т]>0 так,

чтобы

f(*o + ri) —F(xt>)

P{x0<X<x0+nX-j-

F(x0)

—

F(x0

—

r\) — P(x0

— т] <X<X„)<-Y

•

Согласно

(4)

существует

такое

n0, что

при

всех

п~>пй

Р(\ХП-Х\>-ц)<^-.

Обозначим:

А„ = (Хп < х0),

А — (Х<

х0),

В =*{х0<Х<х0

+ т\),

С =

(Х>х0

+ г1),

D ~(x0

— r\4CX<х0),

F =

(X<x0-ri).

Ясно, что

A = D + F,

Л ~ = В + С,

причем

DF = ВС — О. При

п>п0

будем

иметь (см. §

12,

задачи 2 и 3)

| F„ (х0)

F (х0)

| =

| Р (Ая)

Р (А) | <

Р \(An

А) -

AnA\

Р (А„А + АПА)

Р[АП(В

+ С)+

J „ ( D

F)}~

= Р (АПВ) 4- Р (AnD) + Р (AnC + AnF).

Так как	. ;	^
и	AJB с В,	AnD с D
и	AnC +	AnFc(\Xn-X\>-n),
то	AnC +	AnFc(\Xn-X\>-n),
то
Р (АпВ) < Р (В)< - i - ,		Р (Д£>) < Р (£>)< ,

Р(А»С + A ^ X - f .

Итак, при л > л 0

\FM-F(x0)\<z.

Из сходимости законов распределения Хп к закону рас пределения X соотношение X„ (ее/?.) -»- X, вообще говоря, не вытекает. Так, например, если X принимает значения — 1 и

1 с вероятностями	-^-и Xгк_л=Х,		X2k = —X(k=l,			2,...),
то все Х„ и X имеют одну и ту же функцию					распределения
		О	при	х < —	1,
Fx(x) = Fx(x) =		42-	при	— 1 < ж < 1 ,
		1	при	х > 1.
Таким образом,	Fxn{x)->	Fx	(х)	(л-»- оо),		тогда как
1^—^2*1—1 и, следовательно, при			е <	1 Р(\Х—		X2k\>е)=1

( £ = 1 , 2 , . . . ) .

Отметим один частный случай, когда сходимость по ве роятности и сходимость законов распределения равносильны. Предположим, что X постоянна и равна с, следовательно, ее

функцией распределения служит

F(x)	= E(x-c)=	f	,0 при х < с,
w	v	11	при	лс>с.
Если		( 0	при	* < с,
		( 0	при	* < с,

то для произвольных е > 0 , TI>0 и для достаточно больших л

^ „ ( с — < - f - » 1 — ^ ( C + T I X - J - .

При этом , Р(|Л„ - С| > 7,) = Р(*„ < С - ц) + Р(Х„ > С + 7 ) ) <

< Р ( ^ „ < С - i - 7 ) ) + P ( ^ n > C - | - 7 ) ) =

= / 7 n ( c - 4 - 7 ) ) + [ i - ^ ( c + ^ ) ] < e .

7-143

§ 55. Предельные теоремы теории характеристических функций

В § 53 было показано, что между законами распределе ния и характеристическими функциями существует взаимно

однозначное соответствие.

Следующие

два

предложения —•

так

называемые

предельные

теоремы теории

характеристиче

ских

функций — устанавливают

непрерывность

этого

соответ

ствия.

Если

законы

распределения

случайных

величин

Х\,

Х2,...

Хп,...

сходятся

закону

распределения

случайной

ве

личины

то последовательность

характеристических

функ

ций

? х

(л = 1 , 2 , . . . )

(1)

сходится

к характеристической

функции

(2)

Если

последовательность

характеристических

функций

(1)

сходится

характеристической

функции

(2),

то законы

рас

пределения

случайных

величин

{Хп}

сходятся

к закону

рас

пределения

Доказательства

обеих теорем

читатель

найдет,

например,

в учебнике

Б. В. Гнеденко

[2]. В качестве

иллюстрации

пре

дельных теорем докажем следующую теорему Хинчина.

Последовательность

одинаково

распределенных

взаимно

независимых случайных величин Х\, Х2,...,

, . . . , облада

ющих математическим ожиданием JA(Xk)=a

(fe=l,

2,...),

подчиняется закону больших чисел.

Утверждение теоремы означает, как известно, что после

довательность средних арифметических|_L2^*! п=\, 2,... J

сходится по вероятности к постоянной а. В самом деле, со гласно § 51 (см. формулу (10))

	*xk	(t)=<p(t)	=	l +	iat+o(i)
и для средних арифметических
		УП = -У(Х,+		---+Хп)		(3)
в силу	взаимной	независимости		слагаемых
	, л о = Ч ( о = [ 1		+	^ + < 4 - ) Г		(4)
(см. §	51 формула (11)).		Из	(4) следует, что при		любом
фиксированном t
		lim	<on(t) =		e,ai.	(5)
		п-юо

Правая часть равенства (5) представляет					собой	характери
стическую		функцию	постоянной	У = а. Следовательно, функ
ции	распределения		случайных	величин	У„	сходятся к
Е (х—	а)	при всех	х ф а. Последнее, как		мы видели, равно

сильно утверждению, что У„ [вер.) -> а.

§56. Предельная теорема Линдеберга — Леви

Втеории вероятностей и ее приложениях важную роль

играет группа	теорем, имеющая		общее	название	централь
ная предельная	теорема.	Содержание		этих теорем	таково:
если
	Х\,	Хъ,...,	ХП,...		(1)

— взаимно независимые случайные величины с математиче

скими ожиданиями M(Xk) = ak	и дисперсиями D(Xk)~al	и
Yn = X,+ ---+Xn	( я = 1 , 2, . . . ) .	(2)

то при некоторых условиях законы распределения нормиро ванных сумм:

Гл

= -г(Уп~Лп)

( « = 1 , 2 , . . . ) ,

(3)

где

A„ =

+ ---+a„,

Ь\ =

а\ +

• • • +

а\,

сходятся

к нормированному закону

Гаусса, т. е. при всех

Ига Р ( К „ < * )

- 1 =

(4)

2dx.

—оо

Практическое применение этой

теоремы

состоит

в том,

что

при выполнении соответствующих условий, когда

л >

1, сум

мы

(2) имеют

закон

распределения,

близкий к нормальному

с параметрами

а=А„,

о—Ьп

(см. §

задача

15).

Следо

вательно, при любых

c < d

Р(с<Х,+

••• + ^ Я < Й ) ^

Ф ( ^

)

- Ф (

^ ~

^ )

(5)

(см. § 21

формула (6)).

Простейшей теоремой такого рода является интегральная

теорема

Лапласа

(см. § 27). Действительно,

случайную

ве

личину X, распределенную по биномиальному закону с па

раметрами пир,

можно рассматривать как сумму п взаим

но

независимых

случайных

величин Х\, Х2,...,

Хп,

каждая

из

которых принимает лишь

значения

1 и 0

соответственно

с вероятностями

р и

«7=1—р,

и утверждение

интегральной

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20236.58 Mб3Васильев, Ю. В. Контроль производства химической чистки одежды.pdf
#
22.10.202314.52 Mб4Васильев, Ю. В. Северная сталь вчера, сегодня и завтра Оротуканского завода горного оборудования.pdf
#
24.10.20238.96 Mб19Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.pdf
#
24.10.20238.94 Mб10Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак.pdf
#
19.10.20234.06 Mб6Васильева, И. Г. Восстановление неметаллических покрытий.pdf
#
23.10.20233.91 Mб11Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf
#
23.10.20237.54 Mб17Васильцов Э.А. Бесконтактные уплотнения.pdf
#
19.10.20233.25 Mб7Васин, М. Д. Жидкая радуга.pdf
#
19.10.20234.42 Mб1Васкан, Р. Д. Принципы и средства автоматизированной обработки геологоразведочной информации.pdf
#
19.10.20235.63 Mб5Васманов, В. В. Технические средства оперативного управления.pdf
#
21.10.202310.08 Mб5Васнецов, В. А.pdf