Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

3.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Г л а в а 2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 13. Понятие случайной величины

Весьма часто в практике ставится статистический экспе римент, который состоит в серии измерений некоторой пере менной X, принимающей те или иные значения под действи ем случайных факторов. В качестве примеров отметим ре зультаты измерения любой физической константы, сумму вы игрыша по лотерейному билету, количество вызовов, посту пивших в течение часа на телефонную станцию и т. д. Все это — примеры случайных величин.

Условимся обозначать буквой А (может быть, с индекса ми) всевозможные промежутки на числовой оси; пусть, в ча

стности,

До =

( — с о , + оо) —сама

числовая

ось. При

некото

ром замере величины X могут

происходить

события

вида

А =

{Х€

Д),

частности

В =

(X = х),

С =

(X <

х')

и т. д.

При каждом замере мы считаем событие

(X £ До)

досто

верным,

а события (Х=Х\)

(Х=х2),

где

хх

Ф х2,

несовме

стными.

Говорят, что переменная X представляет

собой

случайную

величину,

если

имеется поле вероятностей

(А,

Р),

охватыва

ющее события

(X (: М),

где

образуют

некоторый

класс

множеств,

заведомо содержащий

всевозможные

промежутки

Д числовой

оси:

Так же как в § 7, можно убедиться в том, что

А содержит события

вида

(Х&М),

где М — произвольное борелевское

множество

на

число

вой

оси.

Часто рассматривают одновременно конечную или счет ную систему случайных величин Х\, Х2,--. • При этом целе сообразно требовать, чтобы А содержало всевозможные произведения вида

UiX^Mt); i

в А будут входить и события вида {Xk£ М), так как

(xktM)= П^е^),

если положить Мк — М и Mt = До при всех i Ф к.

Любые две случайные величины X и X', обладающие тем свойством, что Р(Х Ф Х') = 0, мы условимся считать тожде ственными, другими словами, мы не будем различать две случайные величины, если их совпадение почти достоверно.

§ 14. Функция распределения случайной величины

Будем говорить, что задан закон					распределения	случай
ной	величины X,		если	известны вероятности Р(Х 6 А) собы
тий	(Х£ Д)	для	всех	промежутков Д.
	В этом	параграфе		мы покажем,	что закон распределения

случайной величины полностью определяется заданием не

которой	функции			F(x)	числового			аргумента х,		определенной
на ДоЭто — функция					распределения				случайной		величины
X:F(x)	есть	значение			вероятностной функции					Р(Х	6Д) для
промежутка		Д = ( — о о ,			х), т. е.
				F(x)=P(X				<х).			(1)
Установим некоторые простые свойства функции распре
деления. Прежде				всего, ясно,			что
					0 < F W < 1 .						(2)
Далее, если		х\	<	Х2, то	(X	<	х\)	cz (X	< х2),	поэтому
т. е. F(x)	— возрастающая					функция.
Рассмотрим			произвольную				убывающую			последователь
ность				Xi > х2 > ...
				Xi > х2 > ...			>	х„ >	...,
стремящуюся		к —оо. События					Ап	•= {X	< хп)	(п =	1, 2,...)
будут связаны			соотношениями:
				Аг ZD Аг		ZD • • • ZD Ап ZD
и, кроме	того,

оо

П АП = 0 .

Следовательно (см. § 5),

11тР(Лл ) = 11т/=•(*,,) = О,

п-»оо п-ки

таким образом,

Пгп7? (х) = 0.

(3)

Х-т—СО

Возьмем теперь произвольную возрастающую последова тельность

Х\ <С х2 < . . . < xn<z\...,

стремящуюся к

События

Вп =

(Х <х„)

(п =

1,2,...)

будут удовлетворять

условиям

Вх

cz В2

с • • • с: Вп

с • • • ,

и сумма

&п

будет достоверным

событием. Следовательно

л - 1

(см. § 5),

WmP(Bn)

\lmF{xn)=\,

л-*-оо

л - н»

итак,

11m

F(x)=\.

(4)

Функция F(x),

-Г->-+оо

будучи

монотонной, имеет

в каждой точке

пределы справа и слева. Покажем, что F(x)

непрерывна

сле

ва

в каждой

точке. В самом

деле,

фиксируем какое-либо XQ

рассмотрим

произвольную

возрастающую

последователь

ность

Х\ <

х2

<....<

хп<

...,

сходящуюся к хп.

Если

обозначить

Сп =

<С хп)

(п=\,

2,...), то

будем

иметь

С, cz С2 с: • • • с С„ е • • •

С„ =

( * < * „ ) .

Согласно § 5

л=1

Ига Р (С„) =

Hm F (хП) = P(X<x0)

= F (х0).

л - к я

л - « о

Итак, в любой точке Хо

F ( x 0

- 0 ) = F(x0).

(5)

Отсюда,

в частности,

следует,

что

F(x)

полностью

опреде

ляется своими значениями в точках непрерывности.

Покажем теперь, что, каков бы ни был промежуток А, ве

роятность

Р(Х

А)

выражается через

функцию

распреде

ления.

[а,

Ь),

Действительно, если Д есть полуинтервал

вида

где

а < Ь, то

(а

<Х

Ь) =

{Х <

Ь) — {Х <

а),

так

что

Р (a ^

(&)-/=• (а).

(б)

Фиксируем какое-либо число а, возьмем убывающую по

следовательность

х\

> х2

> ...

> х„ > ..

сходящуюся к а, й рассмотрим

события

t)n

— (а < X

< х„)

(я =

1, 2,...).

При

этом

••• э £ ) „ з

• • •

оо

Д , =

( * = а ) .

Следовательно,

согласно § 5

Р(Х=а)

Urn Р (£>„) = iim [F (хп)

F (а)],

т. е.

л-*-со

п~*-оо

P(Z

a) =

F(a

Q) — F{a).

(7)

Если Л =

[а,

6], то

(ХеЩ

= (а<Х<Ь)

(а^СХ<Ь)

-\-(Х=Ь)

и согласно формулам

(6)

(7)

P{a^X<b)=F(b

+ 0)-F{a).

(8)

Если А =

(а, Ь),

то

{Х£А)

= {а<Х<Ь)

(а<Х<Ь)-(Х=а)

и в

силу тех же формул

Р{а

<b)=

F(b)~F(a

0).

(9)

Переходя к бесконечным промежуткам, заметим, что по

определению функции

F(x)

Р(—оо

b)=

F(b).

(10)

Далее нетрудно

установить

равенства:

P(-oo<X<b)

F(b

+ 0),

(И)

P(a<X<+oo)=l-F(a),

(12)

Р ( а <

J <

+ о о ) = 1— F(a +

0).

(13)

Формулы

(6) — (13)

показывают,

что

закон

распределения

случайной величины X однозначно определяется функцией

распределения

F(x).

Заметим еще, что вместо того, чтобы говорить о «случай

ной

величине,

имеющей

тот

или иной закон

распределения»,

говорят просто о «законе распределения» или о «распреде лении».

§ 15. Дискретные случайные величины

Случайная величина X называется дискретной, если она способна принимать лишь определенные значения Х\, х2, образующие конечное или счетное множество; тогда, когда множество [хи х2, ...} счетно, предполагается, что оно не имеет точек накопления. Последнее требование означает, что

любой конечный промежуток содержит не более конечного числа значений случайной величины X.

Предположим, что заданы вероятности

pk = P{X = xk) (ft = 1,2,...). (1)

Тогда мы можем указать закон распределения случайной ве личины X. Действительно, каков бы ни был промежуток Л,

	Р ( * < Е Д ) =		2	/>*•	(2)
В частности, положив	А =	( — о о ,	х),	получим функцию	рас
пределения случайной	величины X
	?{х)=	2	Pk-		(3)
		хк<х

Заметим, что для любой дискретной случайной величины ве роятности (1) подчиняются условию

(

)

(2)

Для того чтобы в этом убедиться, достаточно в равенстве

положить

Л =

До.

Если

—два «соседних»

значения дискретной

слу

чайной

величины

(т. е. между хк

xt нет других ее значе

ний), то функция распределения F(x)

постоянна

на

полуин

тервале (xk, xt\.

Если среди хк

есть наименьшее

значение

хт,

то F(x) = 0 при

— оо <^х

- < л т

; если

существует

наибольшее

значение хп,

то F(x)

= I

при

хп<_х

< + со .

§ 16. Непрерывные случайные величины

Случайная

величина X

называется

непрерывной,

если

су

ществует заданная на До =

(—оо, + о о ) функция

р(х), всюду

неотрицательная,

имеющая

на

любом

конечном

промежутке

не более конечного числа точек разрыва и связанная

с X сле

дующим свойством: каков бы ни был промежуток Д,

Р ( * 6 Д ) =

p{x)dx.

(1)

Такая функция называется

вероятности

случай

ПЛОТНОСТЬЮ

ной величины X.

Положив'в

(1) Д =

До, обнаружим,

что

^ p{x)dx

(2)

—оо

Взяв в качестве Л промежуток

(—оо, х), получим выражение

функции

распределения

F{x)=

p(x)dx.

(3)

—00

Отсюда следует, что в точках непрерывности плотности ве роятности

Р(х)=£-	(4)
Каково бы ни было а,
а
Р(Х = а)=^ p(x)dx	= 0,

следовательно, вероятности для X принять какое-либо зна чение из отрезка [а, Ь], интервала (а, Ь) или полуинтерва лов [а, b), (а, Ь] одинаковы

Р ( а < X<b)	= P(a<X<b)	=	P(a<X<b)	=
		ь
=	P(a<X<b)	= ^	p{x)dx.	(5)
		а

Заметим, что дискретные и непрерывные случайные вели чины далеко не исчерпывают совокупность всевозможных случайных величин.

§ 17. Векторные случайные величины

Будем рассматривать плоскость, на которой выбрана си стема декартовых координат х, у. Говорят, что переменный

вектор	U [X,		Y\ представляет	собой	векторную	случайную
величину		(или	случайный вектор), если имеется			поле	вероят-
ностей	(А,	Р),	охватывающее	события	вида ( t / g	М),	где М

образуют некоторый класс множеств на плоскости, заведомо

содержащий все множества вида

Q =

{{x,

у);

xgAj,

уб ^ г !

(Ai,

Аг — произвольные

промежутки).

Соотношение

U(• М

означает, что точка с координатами X и У принадлежит к

множеству

М.

Можно

убедиться

том,

что

содержит события

вида

где

(У £ М),

М — произвольное

борелевское

множество

точек

на плоскости.

Упомянутые

в этом определении

множества

Q =*{(*, у);

лсбД,,

у£Аг),

(1)

где

Аь Аг — какие-либо

промежутки,

условимся

называть

прямоугольниками

и обозначать

кратко Q[Aj, А2 ].

вектор-

Будем

говорить,

что

задан закон распределения

ной случайной

—*

У),

если, каков

бы

ни

был

величины U {X,

прямоугольник

вида

(1),

известна

вероятность

Р(С/ €

Q) =

= PL[(ATG Ai)(K€ Д2 )]. Закон

распределения

U [X,

иначе

называется совместным законом

распределения

и У.

2»

Функцией	распределения	векторной	случайной	величины
U называется	функция
f(x,	У) = Р\(~ со	< * < * ) ( - с о	< У<у)].	(2)

Нетрудно показать, что функция распределения однозначно задает закон распределения. Отметим лишь, что в случае прямоугольника

	Q={(x,		у); а < * < 6 ,			c<y<d}
вероятность P(U б Q) выражается						посредством		функции	(2)
следующим	образом:
P(0e		Q) =	Р [(а < X < Ъ) (с < У < d)] =
=	F(6,	d)-F(b,		c)-F(a,		d)+F(a,		с).	(3)
Так же, как в § 14, можно					показать, что F(x,			у)—возрас
тающая функция от х (от				у)	при	любом	фиксированном у
(соответственно при любом				фиксированном			х),	lira F(x, у)	=
							х,у-++оо

=1 и lim F(x, у)= 0, lim ^(л;, у) — 0. Из (3) вытекает, что,

каковы бы ни были h > 0 и k > 0, вторая разность

F(x + h, y + k)-F{x + h, y)-F(x, y + k)+F(x, у)

функции распределения F(x, у) должна быть неотрицательна.

Закон		распределения		векторной			случайной величины
U [X,	У)	однозначно	определяет			законы			распределения		ее
компонент — случайных			величин X			и	У. В самом деле, если,
как обычно, До = (—сю, + о о ) ,					а А — любой				промежуток чис
ловой	оси,	то
и		( * е л ) = ( * е д ) ( Г б л 0 )
		р(ед) = р [ ( е д ) ( г е д 0
								) ] .			(4)
В частности, если F(x,			у)—функция				распределения			U,	то
функция распределения			F'x(x)		компоненты X выражается						че
рез F(x, у) следующим образом:
		/%,(*) = Р(Л < х ) =			Р [ ( - с о			< * < * ) Х
		Х{-са<У	<	+	&>)] =		F(X,	+ао).			(5)
Точно так же
и		р ( Г е д ) = р [ ( * € Д , ж е л ) ]

		FY{y)		= F(+™,			У).				(6)
Все сказанное в этом параграфе почти непосредственно
распространяется на n-мерные					векторные			случайные		величи

на

HbiU{Xi, .... Xn). В общем случае несколько сложнее вира-

—•

жается вероятность P(U € Q), где Q — n-мерный «паралле лепипед» {(*!, . • •, хп); а, < я, < bh i=l, ..., п) — через функ цию распределения

(*,

*«) =

Р К*. < *i) • • • № <

*„)]•

Так, при п =

Р [fa

< Л, <

bt)(a2

<Х3<

Ья)(а, <

* 3

6.)]

/="(6ь Ь2, b3)~[F(ah

b2, b3)+F(bu

а2,

b3) +

F{bu

b2, а3 )] +

[F(au

a2,

b3) + F(au

b2, a3)

+ F(bu a2,

a3)]

— F(au

a2,

a3).

18.

Дискретные

и непрерывные векторные случайные

величины

Векторная случайная величина U {X, У)

называется

ди

скретной,

если ее компоненты

X и

У представляют

собой

ди

скретные случайные величины. При этом, если X способна

принимать значения

Х\, х2,...,

У— значения

у\,

г/г,...,

то

{X,

У\

может принимать

лишь

значения

иш {xt, yk)

=1, 2 , . . . ; k — 1, 2, ... ), образующие конечное или счетное

множество

(в последнем

случае—без

точек

накопления),

с определенными

вероятностями *:

Р(0

= щк) =

Р \{Х= х,)(У

= ук)\

p/fe

( i = l ,

; fe =

l ,

2,...).

(1)

Коль скоро

вероятности

(1) известны,

можно

указать закон

—•

любого.прямоугольника Q

распределения U: для

P{U

6 Q ) =

Pik-

(2)

Вероятность того, что X принимает значение xt,

обозна

чим Pj, а вероятность того, что У примет значение ук,

обозна

чим р k .

Тогда

(Х=

х,) =

= Xl)

[(У = у,)

(У =

у2)

• • • ]

(Х^х1)(У

= у,) + {Х=х1)(У

у2)+

•••

откуда

следует, что

P ( *

* , ) =

^Р[(Х=х1)(У

ук)],

* U принимает, вообще говоря, не все значения

и ik,

так как при

не

которых i и k события

=xi)

и ( У =

ук)

могут быть

несовместны;

для

таких (', А полагаем

ptk

P I = Skp / *		V=.h 2, . . . ) •	(3)
Так же доказываются	равенства
Pk=	liPik	( £ = 1 . 2, ... ) -	(4)

Переходя к определению непрерывной векторной случай ной величины, условимся, говоря о кривой в плоскости, тогда, когда она ограничена, разуметь гладкую или кусочно-глад кую кривую; в тех случаях, когда рассматривается неограни ченная кривая, будем предполагать, что она состоит из счет ного числа гладких дуг. В частности, мы будем рассматри вать области, границы которых представляют собой такого рода кривые.

—•

Векторная случайная величина U называется непрерыв ной, если существует определенная на всей плоскости х, у функция р(х, у), неотрицательная, с точками разрыва (если они существуют), расположенными на конечном числе кри вых, и связанная с U следующим свойством: какова бы ни была область D,

p ( t / e ; D ) = l[p{x,	y)ds.)	(5)
D

Функция р(х, у) называется плотностью вероятности случай-

ной величины U.

В формуле (5) в качестве D можно, в частности, взять

любой	прямоугольник		Q[Ai, Дг]; при этом
	P(t/ € Q ) = P [(^6^)(K6A 2 )] =								[\р(х,	y)ds.	(6)
									Q
В частности, при Ai =			Д2	=	До будем				иметь
		+ оо	+ сю
		5	\	р(х,		y)dxdy=\.					(7)
		— ОО — О О
Положив в (6)		Д1 = ( — о о ,			х),	Д2	=	(— со,у),		получим	выра
жение функции		распределения
				х	1
	F(x,y)=>\				\	р(х,		y)dydx.			(8)
			— оо — со
Функция распределения					Fx(x)		компоненты			X случайного
вектора	U будет выражаться формулой
				X	+ оо
		Fx{x)	=	\	J	р{х,		y)dydx.			(9)

— ОО — оо

Если плотность вероятности р(х, у) непрерывна и внутрен

ний интеграл	в (9) сходится равномерно относительно х хотя
бы в малой окрестности точки			х =	х0, то Fx(x)	будет иметь
непрерывную	(в точке х =	х0 )	производную
	рх{х)=	^	р(х,	y)dy.	(10)
		- - ОО

Если это имеет место при всех Хо, кроме, может быть, конеч ного или счетного (без точек накопления) множества, то X оказывается непрерывной случайной величиной с плотностью вероятности (10). Сказанное справедливо в применении к не прерывным векторным случайным величинам, обычно встре чающимся в приложениях. Соответствующие утверждения

—•

относятся и ко второй компоненте У случайного вектора U, в частности,

+ оо

— оо

Содержание этого параграфа может быть без труда рас пространено на /г-мерные векторные случайные величины.

§19. Независимые случайные величины

В§ 17 было показано, что закон распределения вектор-

ной случайной величины U \Х, Y) однозначно задает законы распределения ее компонент. Обратное не имеет места, т. е.

закон распределения

U {X,

К),вообще

говоря, не

определяет

ся

законами

распределения

Л" и У. В

самом

деле,

пусть X

принимает

значения

— 1 ,

1 соответственно

вероятностями

Т'

~2'~4

Р а

с с м о

т Р и

случайные

величины

Y\ =

и Y2

—X,

имеющие

то

же

распределение, что

и X.

Случайный

вектор

{X,

К,}

будет

принимать значения

«, ( — 1 , — 1],

-»

с вероятностями

случайный

и2

(0, 0}, и3{\,

, у

вектор

U {X,

Y2]

— значения и\{—

1),

и\[0,

0),

и,{1, — 1)

соответственно с теми же

вероятностями.

Итак, для

того чтобы, зная законы распределения

I и

У,

можно

было

восстановить

закон

распределения

векторной

случайной величины

{X,

Y], нужны

какие-то

дополнитель

ные условия. Важнейшим из таких условий является условие

независимости X

и Y.

Случайные величины X

и У называются

независимыми,

ес-

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20236.58 Mб3Васильев, Ю. В. Контроль производства химической чистки одежды.pdf
#
22.10.202314.52 Mб4Васильев, Ю. В. Северная сталь вчера, сегодня и завтра Оротуканского завода горного оборудования.pdf
#
24.10.20238.96 Mб19Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.pdf
#
24.10.20238.94 Mб10Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак.pdf
#
19.10.20234.06 Mб6Васильева, И. Г. Восстановление неметаллических покрытий.pdf
#
23.10.20233.91 Mб11Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf
#
23.10.20237.54 Mб17Васильцов Э.А. Бесконтактные уплотнения.pdf
#
19.10.20233.25 Mб7Васин, М. Д. Жидкая радуга.pdf
#
19.10.20234.42 Mб1Васкан, Р. Д. Принципы и средства автоматизированной обработки геологоразведочной информации.pdf
#
19.10.20235.63 Mб5Васманов, В. В. Технические средства оперативного управления.pdf
#
21.10.202310.08 Mб5Васнецов, В. А.pdf