книги из ГПНТБ / Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие

§ 57. Теорема

Ляпунова

Следующая

весьма

общая

формулировка

центральной

предельной теоремы принадлежит Ляпунову.

Пусть

взаимно

независимые

случайные

величины

X),

Х2,

• ••,

Хк, . . .

(1)

имеют математические

ожидания

ак = Ж(Хк)

(k = \,

2,

. . . ) ,

(2)

дисперсии

°l = D(Xk)

(ft=l,2, ...)

(3)

и абсолютные

центральные

моменты

третьего

порядка

P^ =

M ( | * f t - a f t

| 3

)

( f e = l ,

2, ... ) .

(4)

Положим:

А„ = а! + а2 +

• • • + ап,

(5)

bl =

a2i + °l+

•••

+°1

(6)

с\ =

р! +

р! +

• • • +

Рп-

(7)

Тогда, если

lim

-£- = 0,

(8)

то законы

распределения

нормированных

сумм

п

Т " 2 (**-**)

(я =

1, 2,...)

(9)

сходятся

к нормированному

гауссовскому

закону.

Доказательство начнем со следующего замечания: допу­

стим, что случайная величина

X обладает

абсолютными

цент­

ральными

моментами:

Р = Щ\Х-а\).

о* = Щ(Х-а)*],

р» =

М ( | Л Г - а | » ) >

где а=М(Х).

Обозначим Х'=Х

— а

и рассмотрим матема­

тические

ожидания:

Ж[{\X'\+

= $ +2)£

+ J >0,

(10)

I

3

m\mX'\2

-4-1 A" | f

) 2

] =

^ 2

+ 2a2? +

p 3

> 0 .

(11)

Из неравенства (10) следует, что

( * 2 < ° 2 ,

(12)

а из неравенства

(11) —

о4

< w 3 .

(13)

а < Р .

(14)

Введем теперь обозначения:

Х'к = Хк-ак

(fe = l ,

2, . . . ) ,

Zkn)=±Xk

( f c = l ,

2,

...,n),

( n = l , 2, . . . ) ,

¥kn4t) =

<?z(n)(t)

2, . . . . n),

fN (0 =

<P» (0

( « = 1 ,

2, ... ) -

л

<Р£п) w = 1 - 4- -3- *2 + 4- w - р - t % •

(1 б)

где

| б^"'| <

1.

Обозначим

2

3

г п , й = - - 1 - ^ ^ +

4 - Г - | / з .

( 1 б )

Так

как для

k=l,

2,...,

п

в силу

неравенства

(14)

2

3

< 4 - | ' J

+ -r-|i'i5 <

<К^У"^КЬУ^-

<17>

то

согласно

условию (8)

z„,k (равномерно

относительно

k <

и) стремится к

нулю

с возрастанием

п при

любом фик­

сированном

t.

Итак,

выбрав

какое-либо t,

обозначим

с 1 = 4 ' 2

+ 4 - 1 ' 1 3

мы будем

иметь

оценки:

2

2

1 г » . * 1 < 7 ( т / 2

+ т 1 ' 0 = c

> l £ <*=

1 ' • • • •

^

и

с2

| 2 я . * | < С , - 2 -

( А = 1 ,

. . . ,

л).

(19)

Ь л

Рассмотрим *

In «p<")(f) =

1п (1 +

z„. *) = г„. *

1-гй. * +

- 5 -

гй. *

=

=

Z„, ft +

Z*. я ^

+

- y - 2„, ft

—

Согласно

неравенствам

(19)

при достаточно

большом

п

Y

+

"J- 2 «. *

Г Z «. * +

• • • | < С2

(* — 1, • • • . П),

где Сг — некоторая

постоянная. Поэтому для второй суммы

в правой части равенства

2 Ш

(0

=> 2

z„. * +

S z S . » ( - 4" + 4"

zn.

ft

)

(20)

* - l

ft=l

A=l

будем иметь

соотношения:

|2z '.*(--r

+ 4-z »'* —

) | <

n

n

p4

л

p3

< c 2

2z"-*

^ ^» 2 ~ f t 4 " = C 2 c? 2 - J T -

<-

ft=l

ft=l

л

ft=l

"

< C 2 C 2

( - g . ) 3 - 0

(n - »•») .

Что касается

первой

суммы

в правой части равенства

(20),

то

ft=l

ft=l

V

"

"

/

==

1

i "

о 3

Р 4- — V 8<Л> — t3

* Берется та ветвь

логарифма, для

которой

In 1=0 . В силу (19)

когда п достаточно велико,

l + z n

, « заключено в

малой окрестности точ­

ки z = 1.

Итак,

2 in <р(») (/) = in п -f[n)

(о =

in f„ (О -

-

4

следовательно,

И т / Л ( 0 = е

2 ,

и теорема Ляпунова доказана.

Заметим,

что Ляпунов доказал

теорему

при

несколько

более общих

предположениях:

вместо g*

он

предполагал

бо порядка 2+6 (6>0)

и вместо

условия

(8) выдвигал

тре­

бование

l i m

2 М (I Х„ -

ak

| 2

+ s ) = 0.

(21)

Заметим, что условие (8) заведомо

выполнено

тогда,

ког­

да существуют такие постоянные

с > 0

и С > 0 , что

4>с,

Р |

< С

для всех k. В самом деле, при этом

с*

\

Сп

1

_ 2-

_

1

п~г

с

2

6

/ е л

2

п

Обратимся теперь к частному случаю,

когда

случайные

величины Х „ равномерно

ограничены,

т.

е. существует

та­

кое М,

что

\Xk\<M

(А =

1, 2, .

. . ) .

(22)

Покажем, что при этом для выполнения

условия

(8)

необ­

ходимо и достаточно соотношение

lim &„= +

00.

(23)

л->-оо

Предположим

для

определенности,

что

Xk—непрерывные

случайные величины,

распределенные

с

плотностями

pk{x),

причем

согласно

(22)

pk(x) = 0 при | д: | >Л4. Тогда

(см. § 40

задача

3)

ок<М

(24)

м

м

pi = j

\x — ak \3рк (х) dx = j (* — aA,)21 -v — ак \ pk (x) dx <

-M

-M

M

f - < (2Aa)3 6„ 3

(n = 1, 2, . . . ).

(25)

lim

-J2. = 0.

Если же 6„

ограничены

сверху,

то

отношения

cjb„,

очевид­

но, к нулю не стремятся.

Заметим,

что условие

(23)

в сочетании

с

неравенства­

ми

(24) означает,

что при больших

п дисперсия

а£

каждого

из

слагаемых

Х\,...

,Х„

составляет

лишь

малую

долю дис­

персии суммы

k-l

я=1

В заключение сопоставим

теорему

Ляпунова с законом больших чи­

сел.

Известно,

что, каковы

бы ни были

случайная

величина

Z

и последо­

вательность положительных

чисел

{ул}. сходящаяся к

нулю,

непременно

(l„ 1) (вер.)

0

(см. § 50

задача

6). Покажем,

что

если

Zn—случай­

пределешш

некоторой

случайной

величины

Z

и

П т у л = 0

(уп

> 0 ,

п = 1 , 2 , . . . ) ,

то

(ул 2 „ )

(вер.) -

0.

Пусть F(z)—функция

распределения случайной

величины

Z.

Фикси­

руем произвольные Е > 0 , Т)>0 и выберем

такие

точки z < 0

и

г > 0 ,

в которых F(z)

непрерывна и

F(2)<-1.,

1 — F ( i ) < _3_ .

(26)

Далее возьмем такой номер Nit

чтобы

при

всех

n>N\

выполнялись

не­

равенства:

— < г,

—

> z,

7л

-

7л

И такое N>Ni,

чтобы при всех

n>N

P(Z„ < z ) =

F(z) +

^ ,

P(Z „ <7) =

F (z) +

V

Для таких значений п будем иметь

Р (I lnZn

I > е) = Р

^

| 2„ |

> _ L ^ =

Р ^

Z„

< -

_ i

- ) +

+ p ^ z „ >

_ L - ^ < P(Z„ < 2) +• P(Z„ >7)

=

=

P ( Z „

< 2) + [ l - P ( Z „

< ! ) ]

= f ( z )

+ r;,;

+

+ \\-F(7)~

rfn]=F(z)

+

[i -

F (5)]

+

- T,;,

откуда в силу

(26)

п

(27)

будут

следовать

неравенства:

Р (I Т«2П |

>

е) <

Р (2) +

11 -

F (7)]

+

К

| + | 'С | <

ч .

Мы

доказали,

что

последовательность

li„Zn}

сходится

по

вероятности

к нулю.

Теперь предположим, что последовательность взаимно независимых

случайных величин (I) удовлетворяет условиям

теоремы

Ляпунова и,

кроме

того, условию

Маркова

(см. § 49

формула

(11)). Последнее в при­

нятых

нами обозначениях может

быть

записано

в

виде

lim

h .

= 0.

(28)

п-мх>

П

При

этом законы

распределения

последовательности

нормированных сумм

1

"

-^^(Хк-аи)

( я = 1 . 2, .

. . )

тельность средних

арифметических

\

п

b

1 п

в силу условия (28)

сходится по вероятности к нулю.

центральной предельной

теоремы.

§ 58. Производящая функция неотрицательной

целочисленной

случайной

величины

Предположим, что X — дискретная

случайная

величина,

принимающая значения 0, 1, 2 , . . . , k,...

соответственно с ве­

роятностями ро,

ри

р2, • • •,

Рк>

Производящей

функцией

такой случайной

величины

называется

функция комплексно­

го переменного s,определяемая

формулой

Ф(*) =

Ро + P i s +

P2S2

+ • • • +

pksk

+••••

(1)

Радиус

сходимости

степенного

ряда (1)

не

меньше

единицы,

так как

=2pf t =

l. Далее,

сравнив

ty(s)

с характеристи­

< Р ( 0 =

2

е"'Рк,

замечаем, что

<р(0

=

Ф(е")-

Отметим важное

свойство

производящих функций: если

Х\,...,Хп

— взаимно

независимые целочисленные неотрица­

тельные

случайные

величины,

то производящая функция их

P(X=j)=P/

(j=0, 1, 2, ... ), P(Y=k)=rPfl(k=0,

1,

2,...)

и Z=X-\-Y\

так как X и Y независимы, то (см. § 23

форму-

ла (5))

P„ = P ( Z = n)=2p«pn_ft

(л = 0, 1, 2, . . .)

и

л

оо

оо

оо

оо

2 pnsn

=2

(2 р*Рп-н)sn=2

р*s*

2 PI S'-

л=0

л=0 Я=0

е-0 /=0

§ 59. Характеристическая функция

векторной

случайной величины

Характеристической функцией случайного вектора U[X, У}

называется функция

q>{s, t) = !AWx+tr>)

( - оо < s, t < +

со)

(1)

действительных

переменных

s, t.

Перечислим

без

доказа­

Функция

cp(s, t)

непрерывна

на плоскости

s, t;

она при­

нимает значение 1 при s = / = 0 ,

при всех s, t

|<p(s,

/ ) | < 1

и ф(—s, —t)=<p(s,

t).

Далее

<p(s,

0)=<?x(s),

ср(0, *) = ?,,(/);

если X и У независимы, то

„ у

положив s=t,

получим

9(t, t)~9x+r{t).

(2)

cp7 (s, 0 = е ' < ^ + 5 ' ) ; с р ^ ( а 5 , Tf).

(3)

деления случайной

величины U{X,

У ) : каковы бы ни были а,

Ь, с, d (а

< Ь, с <

d), при

которых

Р[ {X =

а) (с <

У < о')] =

= Р [ ( * =

6) (с < Г < d)] =

Р [(а < X < Ь) {У = с)] =

Р [(a

< 6 ) ( y =

d)]==0,

Р\[{а^Х<Шс<У

<b)}

=

=

П т

\

\

:

Z

<?{s,t)dsdt.

— A

—A

О т в е т :

е ш

\

pelt + q; (ре'7

+

q)n;

ех (е"

~ 1 ) .

2.

Вычислить

характеристические

функции

непрерывных

случайных

величин, приведенных в § 21.

О т в е т :

_ _ £ _ _ _ £ _ ; е

р

;

-

: е

2

it (Ь — а)

a —

it

У к а з а н и е .

В случае распределения Коши проверить при помощи

формулы

(4)

§ 53,

что

характеристическая

функция

е—\'\

соответствует

плотности

вероятности

n _

1 ( l + * 2

) _ I

;

в

общем

случае воспользоваться

фор­

мулами

(14) § 36

и

(11)

§

51.

В

случае

распределения Гаусса

положить

сначала

а = 0 ,

0 = 1 ,

затем

воспользоваться

теми

же

формулами.

3. Вычислить характеристическую функцию случайной величины, имею­

щей

плотность вероятности

р{х)

=

е

' (а

> 0).

О т в е т :

а2

+ Р-

•

4. Является ли ф(£) =sin(ft<)/(M)

( Л > 0 )

характеристической

функ­

цией? Какого

распределения?

^

О т в е т :

ф ( с ) =

Ф л ' 0 >

г д

е

распределена

равномерно на отрезке

[ - k

' h ]

-

5.

При

каком

условии,

налагаемом на неотрицательные коэффициенты

а.\,

а2

со

kt,

а0 ,

. . .

ф(0 =

2

ад

cos

является

характеристической

А=о

функцией?

Какого

распределения?

О т в е т :

при

a o + a i + а И

=

1

ф ( 0

есть

характеристическая

функ­

ция

целочисленной

случайной

величины

X,

для

которой

Р(Х=0)

=а0,

P(X=k)=P(X=-k)

=

-£*

( Л = 1 ,

2 , . . . ) .

6.

Доказать при помощи

характеристических функций, что

сумма

двух

независимых

случайных

величин, распределенных по закону

Гаусса,

также

распределена

по закону

Гаусса.

ожидание

и

дисперсию,

выразить ЩХ)

и

D(A') через

характеристиче­

скую функцию.

О т в е т :

ЩХ) = — «p'(0), D(X) =

[ср'(0)]2 — <р"(0).

9. Вычислить производящую функцию случайной величины, распре­

деленной

(а)

по

биномиальному закону,

(б)

по закону

Пуассона.

О т в е т :

a)

(ps+q)n,

б) e 4 s ~ l ) .

10. Выразить математическое ожидание и дисперсию (в предположе­

нии, что они

существуют) неотрицательной

целочисленной случайной ве­

личины через ее производящую функцию.

О т в е т :

ЩХ) = г|/(1), D(* ) = гр"(1)+i|>'(l) — [г|/(1)] 2 .

11. X—неотрицательная

целочисленная

случайная

величина, i|>(s)—

величин

Y=X+m,

Z=2X,

U = mX

(т — фиксированное

целое

положи­

тельное число).

О т в е т :

tyy

(s) = sm

<\> (s), ifz (s) =

(s»), ifv

(s) =

<|> (sm ).

12. X,

Y — независимые

неотрицательные

целочисленные

случай­

ные

величины;

tyx

(s),

y ( s ) — и х

производящие

функции.

Показать,

что для любого целого п

вероятность Р(Х—Y

=

п)

равна

коэффициен­

ту при s"

в разложении

по степеням s функции

\ | ) ^ (s )ify (s—').

13. Дана

последовательность

взаимно

независимых

случайных

вели­

чин

X ь, подчиняющихся

закону

Гаусса

с

параметрами

ЩХь)

= 0 и

п

&{Xk)=Ok-

Выяснить

поведение

суммы

У„ = S Xk

при п *оо в

предпо-

оо

ложении,

что ряд

Е

о |

а)

сходится, б)

расходится.

О т в е т :

в

случае

а)

законы

распределения

Yп

сходятся

к

нормаль-

0 и а2=

оо

°\

ному

закону

с параметрами

£

;

в случае

б)

не

существует

предельного

закона.

ft=i

У к а з а н и е .

Воспользоваться

теоремами

§ 55;

в

случае

б)

последо­

вательность

If

у

(t)}

сходится к разрывной функции.

п

14. Проиллюстрировать предельные теоремы теории характеристиче­

ских

функций

на следующих

примерах (1) — (4). В этих

примерах Fn (*)

и

<Рл (0 — функция

распределения

и

характеристическая

функция

случай­

ных величин Х„ (ге=1, 2 , . . . ) ; ^(д;)

и

q>(t)—функция

распределения и

характеристическая функция

случайной

величины

X.

1

*

С*-")3

1) Fn М

=

"п1

2

5 е

2""

d x ' г

д е

" т

а л = 0 ; показать,

что

—оо

Fn

(х)Е(х

— а)(х

Ф а) и ср„ (t) -* еЫ при п

со;

2) Х„

распределены

равномерно

на отрезках

[ с — h n ,

с + Л„],

где

0 < Л„ -+ 0 (п -* оо); показать, что Fn

(х) ->- Е (х — с) (х ф с)

и ч>„ (i)

-* e l c t

при

n -1- со;