книги из ГПНТБ / Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие

бтсюда, в частности, следует,

что

Р(А)<Р(В).

Полученное неравенство

в предположении, что

А с: В,

выра­

жает свойство монотонности вероятностной функции.

Если Л б А,

£ £ А ,

то

А + В = А + (В — АВ).

При

этом А (В — АВ)=0

и В — АВ с: В,

следовательно,

Р(Л + 5 ) =

Р ( Л ) +

Р(В—АВ)

< Р(Л) +

Р(В) .

Рассмотрим последовательности

событий

\Ап) с А

и

\Вп) с А, подчиненные

условиям:

А%

с

Л2

cz . . . с Л„ с . . . ,

(4)

5 г

=) 5,

з . . . з

з . . . .

(5)

Положим

л=2л„,

в=Пвп.

(6)

л=1

п=1

довательно, согласно аксиоме

аддитивности

Р(Л) =

Р ( Л , ) +

2 Р ( Л л + 1 - Л „ ) .

л=1

А „ ) =

Так как

Л „ с Л л +

1 ) то

Р(Л„+ )

-

Р ( Л л + ] ) - Р ( Д )

и

оо

р (Л) = Р (л,) + 2 [Р (ля+1) -

Р (лп)],

т. е.

Р(Л) =

11тР(Л„).

(7)

л->со

Что касается

последовательности (5),

то, применив

полу­

ченный

результат

к противоположным

событиям

B~i с

Д> с

• • • с

с

• • •,

получим

равенство

Р (

2 Bn)

=

\\mP(B„),

^

/7=1

^

Л-»-СО

но по принципу

двойственности

со

2 вп

= в

л =1

и так

как Р (ВП)

=

1 - Р (£„).

Р(В)=

1 — Р(В),

то

Р ( 5 ) =

11тР(5л ).

(8)

В

частности,

если

последовательности

(4) и

(5) таковы,

что

со

со

2А , = £.

П В „ = О ,

то

л=1

л=1

Н т Р ( Л л ) =

1,

Н т Р ( Д я ) =

0.

(9)

СВОЙСТВО вероятностной функции Р(Л), выраженное ра­

венствами (7) и (8) в предположениях (4), (5)

и

(6), назы­

вается

непрерывностью.

Р (Л)

в смысле

Фреше.

Пусть Л ь

А%,...,

АП,...—

произвольное

счетное

множество

событий из

А. Из

соотношений

оо

оо

Р ( 2 А . ) <

2 Р(А„).

(Ю)

4 л=1

у

л=1

Сумма

ряда

в

правой

части

неравенства

(10) может

быть

бесконечна.

§ 6. Классическое поле вероятностей

Поле

вероятностей

(А,

Р)

назовем

классическим,

если

А

содержит

конечное

число

п

событий

£ ь . . . , Еп,

таких,

что

А£А{Аф

О) есть сумма

1)

любое

вида

A = Eh

+

•••

+ £ l | f l ( l < f , <

• • • < » „ , < * ;

l < m < n ) ;

(1)

2)

Е\

+ ...

+

£• „ =

Е

(достоверное

событие);

3)

Е\,...,Е„

попарно

несовместны;

4)

Р

(

k

=

l

п).

Таким

образом,

А

есть конечное

множество,

состоящее

из

2" событий: О, Еи ...

, Еп,

£, + Е2,

...

, Еп_х 4- Е„,

Et +

+ Е2-\-

Е3, ...

, Et-\-

• • • + Е„ =

Е.

Оно, очевидно,

является

а-алгеброй.

Его элементы Ei,...,

Еп

называются элемен­

тарными

событиями.

Условия

1, 3

и 4

однозначно

определя-

ют

вероятностную

функцию Р(Л) . В самом

деле,

Р(О)—О

и согласно аксиоме аддитивности для любого

события Л ви­

да

(1)

Р(Л) =

Р ( £ , 1 ) + - . - + Р ( £ , л ) = - ^ .

Предположим,

что статистический эксперимент

обладает

ментарных исходов» Ей . . . , Е,„ таких,

что при любом

испы­

тании происходит одно и только одно

из Et

и любой

исход

испытания равносилен сумме

некоторых из Ег

Если условия

S таковы, что нет оснований

ожидать, что какой-нибудь

один

«элементарный исход»

будет иметь

место

заметно

чаще

какого-либо другого «элементарного

исхода» EJt

то, как по­

казывает опыт, такой статистический

эксперимент

описывает­

ся классическим

полем

вероятностей,

определенным

выше.

Ту же мысль выражают, говоря, что

такой

статистический

эксперимент подчиняется

классической

схеме.

§ 7.

Геометрические вероятности

A D = ( P £ D ) ,

(1)

руемые

области

D cz D 0 .

Если условия

5 эксперимента тако­

вы, что частоты

P N ( A D )

не должны зависеть ни от

формы

области

D , ни от ее расположения в Do, а могут зависеть

лишь от площади Д то, как показывает

опыт, в поле

вероят­

ностей

(А, Р),

описывающем данный

статистический

экспе­

должна

принимать

значения

р / д ч _

площадь

D

.

r\nD)—

п л о

щ а д Ь

д 0

•

W

В

отличие от

классического

поля

вероятностей

мы

сталкиваемся

здесь

с

известными трудностями

при

попытке

охарактеризовать всевоз­

можные

события

А,

входящие

в

А. Каковы

бы ни

были

множества

MkczD0

(k =

1, 2, ... )

в конечном

или счетном

числе,

для

которых со­

бытия А

=

( Р 6 М/г)

входят в

А,

сумма

м

к

> А м Г { Р е \ ! М к )

( 3 )

П Ам = (Р G П АЩ

(4)

Q = {(*. у);

<*i

< х <

Ьи а 3 < у

< Ь2 ) С

D0.

Поэтому в силу (3) и (4) А

должно

содержать

события

соответствующие произвольным

борелевским

множествам

М С D0.

В силу

свойств вероятностной функции

(см. §

5),

Р(А)

на таких

событиях

долж­

на принимать значения

(Ам> ~

площадь

D0~

т (£>0) •

( 5 )

События А =

(Я £ М),

соответствующие различным борелевским

множе­

ствам M(ZD0<

образуют наименьшую cr-алгебру событий, охватывающую

всевозможные

события вида (1).

D0 есть

Все сказанное почти

дословно переносится на случай, когда

ранстве Е„. В зависимости

от

размерности

Е л

в равенстве

(2) будут фи­

гурировать отношения

длин

промежутков

(при га =

1),

объемов

кубируе-

мых

областей (при

п

— 3)

или

л-мерных объемов

(при

п >

3).

В том случае,

когда п >

2,

в формуле (5)

мы будем

Иметь

отноше­

ние

борелевских мер

множеств

М и D0 в

пространстве Е„.

ски

исключены при немногократных

(в частности,

единич­

ных)

испытаниях. В то же время исход испытания

В в стати­

стическом эксперименте, для которого

Р(В) равно

1 или хо­

тя бы близко к 1,- практически достоверен.

Эти

два утверждения, очевидным

образом равносильные,

составляют содержание так называемого принципа

практи­

ческой

уверенности.

m N (А)

р„(Я) =

т

(В)

p N { A ) = - ^ - ,

-

^ .

Предположим, что pN{B)=^0

и pN{B)^0,

т. е. в рассмат­

имел место,

а в некоторых — не

имел места;

число

первых

равно mN(B)=£0,

число вторых

mN

(В) = N — mN

(В) ф 0.

Рассмотрим

частоту

pN{A\B)

исхода

А лишь

в тех

испыта­

временно частоту pN

(А

| В)

исхода А лишь в тех испытани­

ях, в которых событие В не

происходило;

очевидно,

что

mN

(АВ)

mN

(АВ)Ш

^

pN

(АВ)

р " ( Л | Я ) = - ^ ( 5 ) - =

% ( В ) / Л / =

R f f ( B )

-

(О

т

(АВ)

т

(AB)jN

р

(АВ)

pN(A\B)=

=

N

_ .

(2)

m„WIN

PN{B)

Числа (1) и (2) называются

условными

частотами исхода

А

соответственно в предположениях, что имел место

исход

В

или В. Равенство

pN

(A\B)

=

pN(A\B),

если оно выполняется

(хотя

бы

приближенно),

свидетельст­

вует о том, что исход В не влияет на частоту исхода

А, т. е.

ни В, ни В не учащают исход А.

(А,

Р)—не ­

Перейдем

от частот

к

вероятностям. Пусть

которое поле

вероятностей,

Л б А

и

В 6 А, причем

Р(В)Ф0,.

Р(В)Ф0.

(3)

Числа

Р(Л|Я) = - ^ - ,

(4)

Р(А\В)

=

^

-

(5)

Р{А\В)=Р{А\В).

(6)

Р(АВ) _

Р(АВ)

=

Р {АВ) + Р (АВ)

р ( Я )

Р(В)

Р(В) + Р(В)

Так как

Р ( В ) + Р ( В ) = 1 и (АВ)(АВ)=0,

то

Р(ЛВ) +

+ Р(АВ)=Р(А(В

+ В))=Р(АЕ)=Р(А).

Таким

образом,

Р(А\В)

= Р(А\В)

=

Р(А),

(7)

т. е. в предположении

(6) условные

вероятности

Р (А | В) и

Р (А \ В)

совпадают с вероятностью

Р(Л) *. Итак,

- Т $ Г = Р И ) ,

(8)

откуда вытекает

равенство

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

(9)

Равенство (9)

отличается от

равенства

(6),

следствием

правны, и для того

чтобы оно выполнялось или не выполня­

лось, не нужны

предположения (3).

Сформулируем

теперь

следующее

определение:

события

Л€А,

BzA

называются независимыми,

если для них вы­

полнено условие (9). Если последнее нарушается,

говорят,

что события А и В

зависимы.

Говорят,

что события At ( i = 1, 2,...) попарно

независи­

мы, если

Р ( Л Л ) = Р ( Л ) Р ( Л )

(*¥=*)•

(Ю)

Говорят,

что события

Ai (i =

1 , . . . , п)

взаимно

незави­

симы,

если для

любых индексов

i u ...

, im

(1 <! i , < i2 < • • •

Р ( П \ )

= П Р ( Л Л ) -

(ii)

^ f t = l "J

fe=l

*

л

п

Р ( П Л Л = П Р ( Л Д

(12)

^ Е ^ Е ,

(1)

i

EjEk = 0 {}ФЩ.

(2)

Р ( Л ) = 2 Р(Л|Я,)Р(Я,).

(3)

Р(Л) = Р(АЕ)

= Р ( А 2 £ , ) =

Р ( 2 Л £ , ) =

2 Р (АЕ/)

и представить P ^ i : , )

(t = 1, 2,...) по формуле

(1)

преды­

дущего параграфа.

§

11. Формула

Бейеса

Пусть Л, Ei,

Ei,...

имеют тот

же смысл,

что

в § 10.

статистическом

эксперименте

непременно

сопровождается

одним

и только

одним из событий Е( (i =

1, 2,...). Если из­

вестны

абсолютные вероятности Р(£",-) ( / = 1 , 2 , . . . ) и услов­

ные вероятности Р ( Л | £ г )

( / = 1, 2, ... ),

то формула (1)

ся данным исходомЕ,.

Гипотеза, гпгтптпипл п том пи пГАТТ*"^

2 - 1 4 3

I яаучво-т*хн«;*

^

1 библиотек"

* - ^

1 Р (А) — Р ( B ) | < Р [ {А + В) -

АВ] = Р (АВ + АВ) = Р (А8) + Р (АВ).

4. Имеется буквенный замок, состоящий из пяти секторов, на каждом

из которых нанесены цифры 0,

1, 2, 3, 4, 5. Какова

вероятность,

набрав

наугад пятизначное число, открыть замок?

О т в е т :

б-5 « 1,3- 1(Н.

5. Какова вероятность, выбрав наугад три карты из полной колоды,

получить тройку, семерку и туз?

О т в е т :

4 3 / G g 5 « 2,9-10-3.

Указание. Масть

извлеченных

карт не

имеет

значения,

поэтому среди

сочетаний из 52 карт по 3 заданная

ком­

бинация

встретится

64

{ = 43 )

раза.

6. Из полной колоды наугад вынимаются одна за другой три карты.

Какова вероятность того, что в первый раз будет извлечена тройка, во

второй раз — семерка, в третий

раз — туз?

О т в е т :

43

/ 52-51 -50 « 4,8-10-4. Указание. Воспользоваться теоремой

умножения.

N

m =

7k

7. В

партии

из

изделий

содержатся

бракованных. При

этом

k изделий

имеют

брак a,

k изделий — брак

b, k

изделий — брак

с,

k

изделий — брак а

и b, k

изделий — брак b

и с, k

изделий — брак с и а,

k

изделий — брак а, Ь и с. Являются ли попарно независимыми события А,

В а С, состоящие в том, что наугад выбранное изделие из числа m

бра­

кованных имеет

соответственно

брак

а,

Ь или с?

О т в е т : нет.

пг =

k

8. В

партии

изделий

содержатся

4/г

бракованных. При этом

изделий

имеют

брак a,

k

изделий — брак

b,

k

изделий — брак с, k

изде­

лий — брак а, 6 и с. События А, В, С состоят

в том, что наугад выбран­

ное изделие из числа ш бракованных имеет соответственно брак а, Ь, с.

Независимы ли А, В, С попарно? Являются ли А, В, С

взаимно незави­

симыми?

О т в е т : А,

В,

С попарно независимы,

но не взаимно независимы.

9. По некоторой цели производится п выстрелов,

причем вероятность

попадания при

каждом выстреле равна р и

результаты

отдельных

вы­

стрелов взаимно независимы. Вычислить вероятность р\ хотя бы одного

попадания.

О т в е т :

рх

= 1 — (1 —р) п -

Указание.

Если А^ (k =

1 , . . . , re)—попа­

дание

при k-м

выстреле,

то pi

= 1 — Р(Л, А2...

А,,) =

1 — П Р (А^)

(в

_

_

А

силу

независимости

Ai,...,A„).

п

10. ( З а д а ч а

о п о в т о р е н и и

и с п ы т а н и й.)

Производятся

независимых испытаний, в каждом из которых некоторый исход А имеет

вероятность

р. Вычислить

вероятность

p n

k

того, что

исход А будет

иметь

место

ровно

в k

испытаниях.

*

'—

О т в е т :

РП k =

C j p f t g n _ f t

(q =

1 — р).

Указание.

Независимость

'

.18

'

"

'

торяется

множитель А и п — k раз — множитель А. Вероятность каждого

В в силу

предположения есть

pkq"-k,

a D есть сумма попарно несовмест­

ных слагаемых вида В, число

которых равно С* •

П. Шар, на который нанесена

сетка

географических координат,

бро­

шен на плоскость. Считая, что вероятность

попадания точки касания

в об­

ласть

G на поверхности шара

зависит лишь от площади G, найти вероят­

ность

того, что точка касания

окажется между в1,1 и 6'3' (0 < 6J < fig < 90°)

северной

широты.

ления

в

приемник

двух сигналов. Если первый сигнал

поступает

в мо­

мент

t,

то приемник

«перерабатывает»

его в течение

т

секунд и

регист­

рирует второй сигнал, поступающий в момент s, лишь

в том случае, ког­

да « >

t -f- т. Какова

вероятность

того, что приемник

зарегистрирует оба

сигнала?

f

т

V

О т в е т :

I 1—~jr )• Указание.

Используя

метод

геометрических ве­

роятностей,

берем

в

качестве D0 квадрат

{(s, 0". 0 < s, г < Г} в плоско­

сти 5, t. Искомая

вероятность равна

отношению к Т2

суммы

площадей

треугольников, для точек которых 11 — s | > т.

13.

Электрон

атома может находиться на счетном множестве орбит.

Если в момент t0

электрон

находится

на /-й орбите, то вероятность появ­

ления

его на k-й

орбите в

момент

t0 + т

равна

C/e~a '-'_ f t ' (a >

0 — не­

О т в е т : 1) С / = , ^

— е

; 2) Q £

,

C k ^ ] ~ k

^ k ' 1 . У ка-

1 + е

/

к=\

зание. Мы считаем

достоверным, что в момент ta-\-x электрон

окажется на

одной из орбит. Если А — событие, состоящее

в том, что в момент

4 + 2 т

электрон

окажется

на l-н орбите,

— появление

электрона

на k-ц орби­

те в момент t0 + т, то Е £fc = Е, EkEm

= 0 (k Ф m) и А = £ АЕк;

при-

k

к

менить

теорему

о полной

вероятности

(см. § 10).

14. Партия

изделий содержит 90% высококачественных

изделий, 8%—

изделий

низкого

качества и 2%—бракованных

изделий. Если подвергнуть

изделия

некоторому

испытанию,

то, как обнаружено, все

высококачест­

венные

изделия

его

выдерживают;

из

числа

изделий

низкого

качества

60%

проходят это испытание; что касается бракованных

изделий, то лишь

10%

их выдерживает

это испытание. Какова

вероятность

того, что наугад

выбранное изделие, прошедшее

испытание,

относится к

числу

высокока­

чественных?

0,95. Указание. Пусть А—событие,

О т в е т :

«

состоящее в том, что

изделие

прошло

испытание,

£ ь £г, £ з — «гипотезы», что выбранное

изде­

лие

соответственно

высокого качества,

низкого

качества и

бракованное.

По

формуле

Бейеса

(см. § 11)

следует

найти

Р ( £ | |

А)

по

заданным

Р ( £ , ) и Т>(А\Е()

(« =

1, 2, 3).

2*

19