книги из ГПНТБ / Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие
.pdf3) |
X распределена равномерно |
на |
отрезке [а, 61; случайная величи- |
|||||||
на Xп |
принимает |
значения а + — - |
а "Ь "2~''л ' • • |
• >а |
+ |
|
^л ( я л = |
|||
= (6—а)/л) |
с вероятностями |
1/я; показать, что . РлМ ~у |
F (х) |
и |
<Ря (О- *- ? (О |
|||||
при л ->- оо; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) случайная величина X имеет непрерывную плотность |
вероятности |
|||||||||
р(х), равную |
нулю вне отрезка [а, Ь]; случайная |
величина |
Хп |
принимает |
||||||
значения а+ |
^А—_1_^л„ |
(hn=(b |
— а)л - '; k=\,... |
,п) соответственно |
||||||
с вероятностями |
р ^ п ) = Р ( а + ( й — 1) /г„ < Х < a+kfi„). |
Показать, что при |
||||||||
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
п ->- оо |
Fn (х) -* j р (дг) djf и <р„ (0 -> <р(0- |
|
|
|
|
|||||
15. |
|
—со |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказать |
при помощи характеристических |
функций |
интегральную |
|||||||
предельную теорему Лапласа. |
|
|
|
|
|
|
||||
У к а з а н и е . |
См. § 27; достаточно |
установить, что |
последователь |
|||||||
ность характеристических функций нормированных случайных величин X |
||||||||||
сходится к |
/" К |
|
|
|
|
|
|
|
||
16.Доказать при помощи характеристических функций предельную теорему Пуассона (см. § 28).
17.Случайные величины Х„ распределены по закону Пуассона с па
раметрами %п> причем Хл -»-+оо. Доказать, что законы распределения
А.п 2 (Х„—Х„) сходятся к нормированному гауссовскому закону.
18. |
Взаимно |
независимые |
случайные |
величины |
Х и Х |
п |
подчиняют |
||||||
ся закону Гаусса |
с |
параметрами а = 0 , а = |
1. Вычислить |
характеристи |
|||||||||
ческую |
функцию |
случайной |
величины |
у?—Х\ |
-\ |
\-Х2п- |
|
|
|
||||
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т : (1—2it) |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
У к а з а н и е . |
При любом |
комплексном а |
с положительной |
действи |
|||||||||
тельной |
частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ / г - 1 e-at dt = T{-f |
(г > 0). |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
Убедиться |
в том, что случайная |
величина х 2 имеет |
плотность ве- |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
л |
, |
|
х |
|
|
|
|
|
роятности р(х)= |
|
х |
Т _ |
|
Т" |
|
|
|
|
|
|||
|
|
е |
|
(х > 0). |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+оо |
|
|
л |
|
У к а з а н и е . |
Достаточно |
проверить, |
что |
j " eltxp[x)dx=(\— |
2it) 2 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
20. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной ве |
|||||||||||||
личины X2- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т : М (%2) = я , D (x 2 ) = 2 я . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
У к а з а н и е . |
См. задачу 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
21. |
Дисперсия |
каждой |
из 4500 |
взаимно |
независимых |
одинаково |
рас |
||||||
пределенных случайных величин Х\,..., |
Х^0о |
равна |
5. Найти вероятность |
||||||||||
того, что их среднее |
арифметическое |
отклонится от математического |
ожи |
||||||||||
дания не более, чем на 0,04. О т в е т : « 0 , 7 7 .
ПО
|
У к а з а н и е . |
Если |
М ( ^ ^ ) = |
а, |
то |
(см. § |
56) |
закон распределения |
||||||||||
У= |
—!—- ( Л | + - • -+^4500) |
близок |
к |
нормальному |
с |
параметрами |
а и |
|||||||||||
|
4500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = |
1/30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
Дана |
|
последовательность |
взаимно |
независимых |
случайных |
вели |
||||||||||
чин |
Х{, Х2,..., |
|
Хь,.., |
в которой |
Хк принимает значения ±kx |
с вероят |
||||||||||||
ностями—L_и |
значение |
0 |
с |
вероятностью |
1 — Д - , |
где |
% |
( 0 < Х < 1 ) — |
||||||||||
|
|
26х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6х |
|
|
|
|
|
|
фиксированное |
число. |
Применима |
ли к |
такой |
последовательности |
цент |
||||||||||||
ральная |
предельная |
теорема? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
О т в е т : |
[Хк] |
удовлетворяет |
условиям |
теоремы |
Ляпунова. |
|
|||||||||||
|
У к а з а н и е . |
Интегрируя |
в |
пределах |
от х=0 |
до |
х=п |
неравенства |
||||||||||
Xх < |
[Е(х) + \ ] х <(х+ |
1)х |
, |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
_ ± |
- |
л * + 1 |
< |
f x < |
|
[{п |
+1 ) Х + 1 |
~1 ] |
< т т т ( л + |
; |
|||||||
пп
так как (см. § 57) b\ = Е kx , с3п = Е А2 Х , то при л ->-оо ft=i k=i
|
|
|
|
|
|
|
|
Л И Т Е Р А Т У Р А |
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
В. |
И. |
Г л и в е н к о . |
Курс |
теории |
вероятностей. М., |
ГОНТИ, |
1939. |
|||||||||||
2. |
Б. |
В. |
Г н е д е н к о . |
Курс |
теории |
вероятностей. |
3-е |
изд. М., |
Физ- |
||||||||||
матгиз, |
1961. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Н. |
А р л е й |
и |
К. |
Б у х . |
Введение |
в теорию вероятностей и мате |
||||||||||||
матическую |
статистику. М., Изд-во иностр. лит., |
1951. |
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
В. |
Ф е л л е р . |
Введение |
в |
теорию |
вероятностей |
и ее |
приложения. |
|||||||||||
Т. 1, 2. |
М., |
«Мир», |
1967. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Н. Д. |
Г и л е н к о. Задачник по |
теории |
вероятностей. М , Учпедгиз, |
|||||||||||||||
1943. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Л. |
Д. |
М е ш а л к и н. |
Сборник |
задач |
по |
теории |
вероятностей. М., |
|||||||||||
1963. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Сборник |
задач |
по |
теории |
|
вероятностей, математической |
статистике |
||||||||||||
и теории случайных функций. Под ред. А. А. Свешникова. М., «Наука», 1965.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О Г Л А В Л Е Н ИЕ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стр. |
Предисловие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
Г л а в а |
1. ПОЛЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ |
|
|
||||||||
§ |
1. |
События |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
§ |
2. |
Статистический |
эксперимент |
|
|
|
|
7 |
|||||||
§ |
3. |
Некоторые |
свойства |
частот |
|
|
|
|
8 |
||||||
§ |
4. |
Понятие |
|
поля |
вероятностей |
|
|
|
|
8 |
|||||
§ |
5. |
Некоторые |
свойства |
функции |
Р(А) |
|
|
9 |
|||||||
§ |
6. |
Классическое |
поле |
вероятностей |
|
|
|
И |
|||||||
§ |
7. |
Геометрические |
вероятности |
|
|
|
|
12 |
|||||||
§ |
8. |
Условные |
вероятности. Независимые |
события |
|
14 |
|||||||||
§ |
9. |
Теорема |
|
умножения |
|
|
|
|
|
16 |
|||||
§ |
10. |
Теорема |
|
о |
полной |
|
вероятности |
|
|
|
16 |
||||
§ |
11. Формула |
Бейеса |
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|||||
§ |
12. |
Задачи |
к |
главе |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
||
|
|
|
Г л а в а |
2. |
|
СЛУЧАЙНЫЕ |
ВЕЛИЧИНЫ |
|
|
||||||
§ |
13. |
Понятие |
|
случайной |
|
величины . . |
|
|
|
20 |
|||||
§ |
14. |
Функция |
распределения |
случайной |
величины |
|
21 |
||||||||
§ |
15. Дискретные |
случайные |
величины |
|
|
|
23 |
||||||||
§ |
16. |
Непрерывные |
случайные |
величины |
|
• |
24 |
||||||||
§ |
17. |
Векторные |
случайные величины |
|
|
|
25 |
||||||||
§ |
18. |
Дискретные и непрерывные векторные случайные величины |
|
27 |
|||||||||||
§ |
19. |
Независимые |
случайные |
величины |
|
|
29 |
||||||||
§ |
20. |
Примеры |
дискретных случайных |
величин |
|
32 |
|||||||||
§ 2 1 . |
Примеры |
непрерывных |
случайных |
величин |
|
33 |
|||||||||
§ |
22. |
Функции |
случайной |
|
величины |
|
|
|
|
37 |
|||||
§ |
23. |
Распределение суммы двух случайных величин |
|
38 |
|||||||||||
§ |
24. |
Задачи |
к главе |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|||
|
|
Г л а в а |
|
3. П Р Е Д Е Л Ь Н Ы Е |
ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
ПУАССОНА |
|
|
|
||
§ |
25. |
Постановка |
задачи |
|
|
|
|
|
|
|
44 |
||||
§ |
26. |
Локальная |
теорема |
Лапласа |
|
|
, |
|
45 |
||||||
8—143 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
113 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стр. |
§ |
27. |
Интегральная |
теорема |
Лапласа |
|
|
|
|
47 |
||||||
§ |
28. |
Теорема |
Пуассона |
|
|
|
|
|
|
|
4 8 |
||||
§ 29. |
Задачи к |
главе |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
49 |
||||
|
Г л а в а |
4. |
НЕКОТОРЫЕ |
ЧИСЛОВЫЕ |
ХАРАКТЕРИСТИКИ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
СЛУЧАЙНЫХ |
ВЕЛИЧИН |
|
|
|
|||||
§ |
30. |
Вводные |
замечания |
|
|
|
|
|
|
|
51 |
||||
§ 3 1 . Математическое |
ожидание |
случайной |
величины |
|
|
51 |
|||||||||
§ |
32. Математическое ожидание функции случайной |
величины . . |
54 |
||||||||||||
§ |
33. |
Математическое |
ожидание |
векторной |
случайной |
величины . |
55 |
||||||||
§ |
34. |
Понятие |
об |
интеграле |
Стильтьеса |
|
|
|
57 |
||||||
§ |
35. Общее определение математического ожидания |
|
|
60 |
|||||||||||
§ |
36. |
Дисперсия |
случайной |
величины |
|
|
|
60 |
|||||||
§ |
37. |
Дисперсионная |
матрица |
векторной случайной |
величины . . . |
64 |
|||||||||
§ |
38. |
Моменты |
случайной |
величины |
|
|
|
|
65 |
||||||
§ |
39. Некоторые другие числовые характеристики |
|
|
66 |
|||||||||||
§ |
40. Задачи к |
главе |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
66 |
||||
|
|
|
Г л а в а |
5. ЗАКОН |
БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ |
|
|
||||||||
§ |
41. Неравенство |
Чебышева |
|
|
|
|
|
|
68 |
||||||
§ |
42. |
Сходимость |
последовательности случайных величин в |
среднем |
|
||||||||||
|
|
и по |
вероятности |
|
|
|
|
|
•.. |
|
69 |
||||
§ |
43. Теорема Чебышева и ее обобщения |
|
|
|
72 |
||||||||||
§ |
44. |
Коэффициент |
корреляции |
|
|
|
|
|
75 |
||||||
§ |
45. |
Пространство |
|
Н |
|
|
, |
|
|
|
|
79 |
|||
§ |
46. |
Пространство |
Но |
|
|
|
|
|
|
|
81 |
||||
§ |
47. Аппроксимация |
вектора |
Y |
линейными |
комбинациями |
векторов |
|
||||||||
§ |
48. |
Хи...,Ха |
|
|
|
средних |
арифметических |
попарно |
ортогональных |
32 |
|||||
Сходимость |
|
|
|||||||||||||
|
|
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84 |
|
§ |
49. |
Теорема |
Бернштейна |
|
|
|
|
|
|
|
86 |
||||
§ |
50. Задачи к |
главе |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
87 |
||||
|
|
Г л а в а |
6. |
ЦЕНТРАЛЬНАЯ |
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА |
|
|||||||||
§ |
51. Характеристические |
функции |
|
|
|
|
91 |
||||||||
§ |
52. |
Характеристическая |
функция |
суммы |
взаимно |
независимых |
|
||||||||
|
|
случайных |
величин |
|
|
|
|
|
|
|
93 |
||||
§ |
53. Формулы |
обращения |
|
|
|
|
|
|
|
91 |
|||||
§ |
54. |
Сходимость |
законов |
распределения |
|
|
|
95 |
|||||||
§ |
55. Предельные теоремы теории характеристических |
функций . . . |
98 |
||||||||||||
§ |
56. |
Предельная |
теорема |
Линдеберга — Леви |
|
|
99 |
||||||||
§ |
57. |
Теорема |
Ляпунова |
|
|
|
|
|
|
|
101 |
||||
114
|
|
|
|
|
|
Стр. |
§ |
58. |
Производящая |
функция неотрицательной |
целочисленной слу |
|
|
|
|
чайной |
величины |
|
105 |
|
§ |
59. |
Характеристическая функция векторной |
случайной величины |
107 |
||
§ |
60. |
Задачи |
к главе |
6 |
|
108 |
Литература |
. . |
, |
|
112 |
||
Корректоры О. А. |
Сафронова, |
Н. Н. |
Поспелова |
|
Техн. редактор Н. М. |
Генкина |
|
|
|
Л-75856 |
|
Сдано в набор 20/XII-1972 г. |
||
Подп. в печать 17/IX-1973 г. |
Формат 60X90Vi6. |
Объем 77ч п. |
л. |
|
Тираж 1000 экз. |
Цена 50 коп. |
Заказ |
143 |
|
Типография |
МИФИ, Каширское ш., 1 |
|
||
