книги из ГПНТБ / Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие

Pz (z) —

\ Р (") P{z-u)du.

(8)

о

§

24.

Задачи

к главе 2

1. Производится

серия независимых испытаний,

в

каждом

из

которых

с вероятностью р

(0 <

р

<

1)

может

иметь место исход А. Найти закон

распределения числа X испытаний, если последние прекращаются,

как

только

первый раз произойдет

А.

О т в е т :

Р(Х

=

k) =

q"^

р

(k

=

1,

2 , . . . ; q—

\

—р).

2.

Случайные

величины

Хь

X s , Х 3

таковы,

что

P(Xi ф Х2 ) =

0

и

Р{Х2фХ3)=0.

Доказать,

что

Р(Х, = £ Х 3 ) = 0 .

У к а з а н и е .

Так как

\Xi

— X3

\ < | Хг

— X , | - f I X,

— Х3\,

то собы­

тие

( | X, — Л3 1 >

0)

влечет

за

собой

( | Хх

— X , | >

0) +

( | X, — Х31

>

0).

3.

Случайные

величины

Х\

и Х2

таковы,

что,

каково

бы

ни

было

е >

О,

Р( | X,—Х2

|

3> в) =

0. Доказать, что

Р(Х,

Х2 ) = 0.

У к а з а н и е .

Если

е л

>

e n+i

(п =

1,

2 , . . . ) ,

11т Е„ = 0,

то

оо

(ХхФХъ)=

2

(«»•!< 1-^1-^1 <

«я) +

( 1 ^ 1 - ^ | >

e

i ) C

00

с 2 (i^-x3 i> t„).

4.

Случайные

величины X и X ' таковы, что Р(Х

фХ')=

0.

Доказать,

что X и X' имеют одинаковые

законы

распределения.

У к а з а н и е .

Пусть

А = (X £Д),

Л ' = (А" еД), В

=

(X =

X ' ) , где

Д — произвольный

фиксированный промежуток. Тогда

P ( f l ) =

1, АВС

А',

Л'ВСА

и

согласно замечанию

I I

в

§ 8

Р(АВ)

=

Р{А)Р(В)

=

Р(А)

к

< Р(Л'),

Р(А'В)

=

Р ( Л ' ) Р ( В ) = Р ( Л ' )

<

Р(Л) .

5.

X — произвольная

случайная

величина, {Мп)

—какая-либо

числовая

последовательность,

стремящаяся

к

+ о о . Доказать,

что 11m Р

(\Х\>М„)=0.

F(x)—функция

л-кэо

У к а з а н и е .

Если

распределения

случайной

величи­

ны

X,

то

Р (X > Мп) = 1

—

F Шп).

Р(Х

< — М„) <Р

(X

< — М„ +

I)

=

= F(-

Мп + 1).

величины X и У независимы и

распределены равномер­

6.

Случайные

но

на

отрезке [—Л,

h]

( Л > 0 ) .

Найти

плотность

вероятности

р

(г)

сум­

мы Z =

X +

У.

z

О т в е т :

рz(z)

=

(

1 —

на

отрезке

[—2/г, 2я];

(г) =

О

при

| г

| >

2/г.

величина X имеет функцию распределения F{x).

7.

Случайная

Найти

функцию

распределения

G(y)

—

Р(У <с t/)

случайной

величины

У

в

сле­

дующих

случаях- .

а)

У =

аХ

(афО);

б)

У =

о Х +

b

(а

0);

в)

У =

Х2 ;

г)

У =

( Х - С ) ' ;

Д)

Y =

\X\.

О т в е т :

a)

G(y)=

F(a-1y)

при

а >

О,

G(y)=

1 — F(a-ly

+ 0)

при а <

0,

~Р (У)

=

\а\~1р(а-1у);

б)

G(y)

=

F(а-1

(у — Ь))

п р и а > 0 ,

G(j)

=

l - F ( r ' ( j / - 6 ) + 0 )

при

а <

0,

р(у)

=

\а\-1р(а-Цу-Ь));

в)

G(y)

=

F(Vy)~F(-

У 7 + 0 )

(</>0)*,

р (</) = j p «

[р

+ Р ( -

/ й ]

(</ > о);

г)

0 ^ )

=

/ ? (1 /7+с ) — - F ( -

У 7 + С +

0)

(ff>0),

T(y)

=

^^[p(Vy

+

c) + P(-Vy

+

c)]

(y>0);

A) G(y)=F(y)-F(-y+0)

(y>0),

Р(У)

=

Р(У)+

Р(-У)

(У>0).

8. Положительная случайная величина X имеет

функцию распределе­

ния F(x). Найти функцию распределения

G(y)

случайной

величины

Y

в

следующих

случаях:

а)

У =

У~Х-

б)

Y=\nX.

Предположив дополнительно,

что X — непрерывная

случайная величина

с

плотностью вероятности р ( х ) , найти (в

тех

же случаях)

плотность

ве­

роятности р(у)

случайной

величины

У.

О т в е т :

a)

G(y)=F{y*)

{у>0),

р(у)

=

2ур(у*)

(у>0);

б)

G(y)=F(ey),

~р(у)=еУр(еУ).

9.

F(x)

есть функция

распределения

случайной

величины X,

f(x)

—

пределения

G(y) случайной

величины Y =

f(X). Предположив дополни­

тельно, что

X распределена

с непрерывной

плотностью р ( х ) и f(x) имеет

роятности р(у)

случайной величины

Y.

f(x)

О т в е т :

если

g(y)

— обратная

по

отношению к

функция,

то

G(y)=

F(g(y)),

когда

f(x)

возрастает

на

(—_оо,

+

оо);

G ( i / ) = 1 —

—

F(g(y)+0),

когда / ( * ) — убывающая

функция; р(у)=

|g'(y)\p{g{y)).

10. Пусть

X

и У — независимые

случайные

величины.

Показать,

что

1)

при

любых

постоянных а\,

02,

Ь\,

62 — случайные

величины, Xt

=

=

a i Z + a 2 ,

Yi

=

b\Y +

b2 независимы;

2)

каковы бы

ни

были монотон-

чайные

величины

Хт

и У"

также

независимы.

— дискретная

случайная

величина,

принимающая

значения

1 и

— 1 , каждое

с вероятностью ~ ,

a

У— непрерывная

случайная величина

с

непрерывной плотностью вероятности ру ({/). Считая X и У независимыми,

найти законы

распределения

их

суммы

и

произведения.

О т в е т :

и = X + Y

и

V =

XY — непрерывные

случайные

величины;

их

плотности

вероятности

Р,л(иТ{=

[ А Д и

— •) +

Р „ ( " +

')]>

A , (V ) =

=

~\PY{v)

+

PY(-v)\.

и

У

У

V

12. X — дискретная

случайная

величина,

принимающая

значения

Х\

> 0,

*г >

0,.. . , * „

>

0,

причем

Р(Х

—

х/,)

~

Р/с

[k

=

1,

2 , . . . , л),

а

У — непрерывная

случайная

величина

с

непрерывной

плотностью

веро­

ятности

ру

[у). Считая

X

и

У независимыми,

найти

законы

распределения

их

суммы

и

произведения.

О т в е т :

U — X +

Y -а

V =

XY — непрерывные

случайные

величины;

п

п

их

плотности

вероятности

р у

(и) =

2

Р*Ру

(" —

- Р ^ (»);=

2

~

*

х

1

1

х

X

Р у 1

13.

А" — дискретная

случайная

величина,

принимающая

значения

* i

> 0, ... .

хт>0,

* 0

=

0,

* i ' < 0 , . . . ,

.«„ <

0

с

вероятностями

p f

t =

=

Р(Х = х*)

(k

=

1

m),

ро =

Р(Х =

0),

р /

=

Р(Х =

* / )

0'

=

= 1, . . . , n ) ,

а У—случайная величина, имеющая

функцию

распределе­

ния Fy(y).

Предположив,

что X и У независимы, найти

функцию распре­

деления

произведения

V=XY.

Выяснить,

является

ли

V

непрерывной

слу­

чайной величиной тогда, когда У непрерывна.

m

п

О т в е т :

при

о >0

Fy

(о) =

р 0 +

^

Р*Л, Г —

^

+

2

Р/

Г 1

~

m

п

/JL+ОЛ!,

при

V <

O

F

( V ) =

2 "*^CirV 2"/Г

~ '

r C

t

+

' )

]

-

О т в е т :

f

(и) = 0

при

и < 0,

f

(ц ) = Т + ф ( " Т ) п р и

К

>

°'

15.

Случайная

величина

распределена

по

закону

Гаусса с плот­

ностью

ф(х;

а, а ) . Показать,

что при любых

о

ф

0 и

6

случайная ве­

личина

У =

аХ +

Ъ также

распределена

по

закону

Гаусса

с плотностью

у(у; аи

ffi);

вычислить ai

и

а\.

О т в е т :

a-i = аа + Ь, а 1 = | а | о.

р (п, ft) = Р ( * = ft) =

Chn?*q»-\

(1)

где q = 1 — р. Если 0 < ft, < k2 < п,

то

Р (ft, < X < k2) =

2

/> (п. *) =

2 Сл*рУ~А-

(2)

*=*,

ft=ft,

Вычисление вероятностей

(1)

и особенно

(2) при больших

предельных соотношений, справедливых при п

со.

Начнем с рассмотрения примера. Допустим, что в некото­

ром сосуде V заключены п молекул газа. Выделим в нем не­

большую область v. Тогда (см. § 7)

вероятность

р для лю­

бой данной молекулы в какой-либо

фиксированный

момент

о б ъ ем и

Р

объем V

' '

объем

V = Кп.

При

этом

Р = ~<

«>

где

в силу

(3)

X =

(объем

v)/K,

и формула (1)

примет вид

P{X=k)

= C

*

( ±

y ( l - ± y - \

(5)

Именно

в

таких предположениях,

когда

р

постоянно,

а затем тогда, когда р = Ал- 1 , будут найдены

пределы веро­

ятностей (1) и

(2) при л - v o o .

§ 26. Локальная теорема Лапласа

Положим

k — np

= х,

...

,/

U )

У npq

придадим k

такие

значения

kit

k2

чтобы при п -> со

kn

ПП

- у ^ Г

=

* « ^ - о

(2)

л

_

Х—пр

.

л. — •—,

У npq

Тогда

согласно локальной

теореме

Лапласа

Ш{УтР{Х^хп))

= -)=^е

2 ,

(3)

л-нх>

У *ТЕ

или, что то же самое,

iim [Vnpq

Р ( ^ = й п ) |

= - р1 = е

22 .

(4)

Л - Ю О

Из этой теоремы вытекает, что при п > 1

P(X=k)

= P(X = x)^-L;9(x),

(5)

Vnpq

где х

определено равенством

(1),

а <р(х)=ф(х;

0, 1) (см.

§ 21).

Доказательство

локальной

теоремы

Лапласа

может

быть

проведено

с помощью

формулы Стерлинга

_

л

+ 1

(6)

л! ~

л

е-п,

в которой ~

есть

знак асимптотического

равенства: левая и правая части

соотношения

(6)

представляют

собой

при я - ю о

эквивалентные

бесконеч­

но

большие

величины. Иначе

формулу Стерлинга

можно

записать в

виде

1

п\ЦУТ*

n

e-n)

=

1 + а,„

(7)

где

а„

0 при я ->• оо.

Для

а„ справедливы

приближенные

равенства:

1

и более

точное

1

1

а " ~ Т 2 л ~ 1

+

288 я

*

Не останавливаясь подробно на доказательстве локальной теоремы

Лапласа,

отметим

лишь

его основные

этапы. Из

соотношения

(2)

будем

иметь

k„ =

np + xn

VZpq,

n — kn

=

nq — x„ V~npq,

(8)

откуда следует, что, коль скоро

хп

имеет

конечный предел

Хо, kn

оо

и л — kn^-°°

при

л - *оо .

Опустив для

упрощения записи индекс п у к,

выразим

факториалы в правой

части

равенства

P C . - * ) -

fel(a-fe)!

P V ~ *

\_

1

f

k \ ь Г n — k

\п-ь

г

k (п. — k) \

2 ,

„

где

[см. (7)]

1

+ р« =

гт^;

• ря

•* °-

Произведение двух первых множителей в

правой части равенства (9) в

силу соотношений

(8)' можно

записать

в

виде

Прологарифмировав это выражение и воспользовавшись

формулой

In (1 +

г) =

г — - ^ 2 2 +

о (г*),

мы

увидим, что

произведение

(10)

стремится к

е 2

при

п - *оо . Что каса­

ется третьего множителя в правой части

равенства

(9),

то,

снова прибег­

нув

к равенствам

(8), обнаружим,

что

он

равен

л->- оо.

VnpqO+ln),

где

тл->- 0 при

§ 27. Интегральная теорема Лапласа

Теперь придадим k один раз значения

k\,

k2,...

, так, что­

бы при п

со

kn — np

Ynpq

затем значения

1и

12

так, чтобы

при /г->оо

1±рШ-

= Ьп-+Ь

(Ь>а).

(2)

Интегральная

теорема

Лапласа

утверждает, что для

слу­

чайной величины X, распределенной по биномиальному зако­

ну с параметрами

пир,

ъ

_х*_

\imP(kn<X<ln)

= -±=\e

2dx.

(3)

а

То же соотношение

можно

представить в виде

(см. § 26)

ь

_ & -•

\\тР(а„<Х<ЬП)=-1=\е

а

2

dx.

(4)

Из формул

(3) или

(4)

вытекает, что при n > 1 и k < /

ь

P ( f t < ^ < / )

=

P ( c <

X^b)^<\j<?{x)dx,

(5)

где

k — пр

^

I — nP

Ynpq

'

Vnpq

Изложим здесь набросок доказательства. При фиксированном п це­

лым

числам

k„, kn

+

\,

kn

+ 1

kn +

s =

/„

соответствуют значения

an ~

*o"*

• • • > хз'^

= bn

переменного x =

(k — np)\

Vnpq.

При

этом

Д4»> = M

_xin}

=

k„ +

U+l)-np

_

kn +

j-np

=

_ 1

7

/ + 1

y

]Лгр<7

Vnpq

Vnpq

'

Далее

Р ( А Я < * < / Л ) = р ( л ,

k„) +

p(n,kn+

l)+

...

+p(n,

/„)

(7)

и в силу локальной теоремы

Лапласа

где

о„, у-1-0

при

п -> оо. Согласно

равенствам

(6)

сумму (7)

можно

пред­

ставить в виде Si

+

S2 ,

где

л

л

s,

=

2

* (4Л ) ) <Ч'!) •

s * =

2 \

<йхТ-

w

у-о

у=о

47

резке an<x<bn+(npq)

при разбиении

его на

s + 1 равных

отрезков

длины

(npq)

2 ; при

п ^ о о

сумма

Si стремится

к интегралу

в

формуле

(3). Предел суммы Si

равен

нулю,

так как

6„, j

стремятся к

нулю

рав­

номерно

относительно

индекса /; последнее утверждение можно прове­

рить, внимательно рассмотрев предельный переход в равенстве

(9)

пре­

дыдущего параграфа.

Приближенное равенство (5) показывает, что, когда п ве­

лико, случайная величина

Х—пр

Vnpq

имеет

закон

распределения, близкий

к нормальному.

Форму­

ла (5) может быть переписана в виде

В частности, положив k = пр — h, I =

пр + h, получим

Р(\Х-пр\<к)^2ф(^^у

(10)

§ 25, формула

(5)]

Н п , » ) _ . ( . - . ) • • • ( . - » + • )

- 0 - - О

0 - ^ ) - 0 - ^ ) £ 0 - т Г .

мы обнаружим, что в предположении

(1)

lim р(п,

k)= е - х ^ - -

(2)

Предельное соотношение (2) составляет содержание тео­

ремы

Пуассона.

Оно показывает, что, когда п велико,

случай­

ная величина X имеет закон

распределения,

близкий

к

зако­

ну

Пуассона

(см. § 20).

Формула

(2) влечет за собой приближенные

равенства:

Р

(3)

и

Р № < * < Л г

) « е - *

2

i p ,

(4)

справедливые при и > 1.

§ 27, дающие нормальные

при­

Формулы

(5) § 26 и (5)

ближения

для

вероятностей

P(X = k)

и

Р (й, < X < /г2),

с успехом применяются при больших значениях

произведения

npq *; погрешность

таких приближений

мала при значениях

k, близких

к пр; с увеличением | k — пр | погрешность

замет­

но

возрастает.

Формулы (3) и (4)

настоящего

параграфа,

определяющие

пуассоновские

приближения,

дают

хорошие

результаты тогда, когда п велико, а пр (равное

А. согласно

условию (1))

мало. В тех случаях,

когда npq^> 1 и я р > 1 ,

применимы как нормальное, так и пуассоновское

приближе­

ния.

§ 29. Задачи к главе 3

1. При п — 14400

бросаниях монеты герб выпал

k = 7356

раз. Счи-

1

тая

вероятность

появления герба

при каждом

бросании

равной

р = ~ 2 '

имеем

k — пр =

156.

Вычислить

вероятность

получения

отклонения

|

Х-пр\>\56.

О т в е т :

0,01.

2.

Сколько

раз следует бросить монету, чтобы

с вероятностью 0,99

1

шени

с вероятностью

р = 0,75, производится

400

выстрелов. Пусть

X —

число

попаданий. При каких

целых

Л неравенства

300 — Л < X < 300 + /;

имеют

вероятность

> 0,97?

Сколько выстрелов

нужно

произвести,

для

того чтобы

отклонения частоты попаданий от р, меньшие

0,035, имели ве­

роятность

> 0,95?

О т в е т : h >19;

л > 5 8 6 .

* Нормальные приближения

считаются

приемлемыми тогда,

когда

npq > 10.

4—143

49