Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

3.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

4. Вероятность «успеха» некоторого испытания		р — 0,001.	Какова		ве
роятность Р при 5000 независимых испытаниях		добиться	«успеха»		по
меньшей мере в двух испытаниях? Сравнить точное значение с его				нор
мальным и пуассоновскнм	приближениями.
О т в е т : Р = 0,958 [0,960 (приближение по		Пуассону),	0,924	(нор
мальное приближение)].	обслуживает п абонентов. В течение наиболее
5. Телефонная станция

напряженного часа дня каждый абонент ведет телефонный разговор в

среднем t минут. Какое число т				линий потребуется, чтобы в указанный
час	вероятность «потери вызова»			не превышала	ро? Рассмотреть			частный
случай: п =		200, t = 2 мин, р0 — 0,01.					то	пц	есть
	О т в е т :	если	пользоваться	нормальным приближением,
наименьшее целое т, для которых
если	пользоваться		пуассоновскнм	приближением, то т 2		есть	наименьшее
значение т, удовлетворяющее неравенству
			ОО
где	Х=пр, р = 1160. В предложенном частном				случае	1Щ =	14, т 2 =		15.
	6. Случайные величины Х„ распределены по биномиальному закону с
параметрами		р„ и п. Доказать, что если lim(np„			) = X > 0, то, каково бы
ни было целое k> 0,
			11 in Р(Л'„	= k) = e - j j - .

Г л а в а 4

НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

§30. Вводные замечания

Вэтой главе будут введены некоторые постоянные, свя

занные со случайной величиной X, которые, хотя и не зада ют, вообще говоря, однозначно закон распределения, но со держат полезные сведения об X.

Пусть задана некоторая случайная величина X. Предста


вим	себе, что на числовой прямой распределена									единичная
масса		таким	образом,		что на	любом	промежутке А оказыва
ется	ее часть, составляющая					ровно	\| . i ( A ) = P ( X 6			А)	грам
мов.	Если X дискретна и принимает значения х\,									х 2 , . . . , то
эта	масса оказывается сосредоточенной в точках									Х\,	х2,...,
причем		на долю хк		приходится масса, равная						pk=P(X=xk).
Если	X — непрерывная				случайная величина,				то соответствую
щая	ей масса распределяется с линейной плотностью										р{х),
равной		плотности вероятности.
Такое распределение масс может рассматриваться как
своего		рода	механическая			модель	случайной величины X.
Простейшие			числовые		характеристики,			которые		мы	сейчас
рассмотрим,— математическое ожидание								и дисперсия случай
ной	величины X — будут соответствовать							в этой модели			цент
ру масс и моменту				инерции.		Первая	будет		указывать		точку,
вокруг		которой группируются значения						случайной		величины
X, а	вторая		будет	служить		мерой разброса			X. Та и		другая

определяются здесь лишь для дискретных и непрерывных случайных величии. Указания, относящиеся к общему случаю, содержатся в § 35 и 36.

§ 31. Математическое ожидание случайной величины

Математическим	ожиданием	дискретной		случайной вели
чины X, принимающей значения хи			х2,...	соответственно с
'вероятностями р\,	р2,... , называется		число
	М(*) =	2	•	(1)
		к

Если множество \хи х2, . . . } счетное, и в равенстве (1) мы имеем сумму ряда, дополнительно требуется, чтобы этот ряд

сходился абсолютно. Если ряд (1) или ряд 2 1**1 РА	Р а с "
к

ходится, считают, что математическое ожидание случайной

величины X не		существует.		непрерывной		случайной		вели
Математическим ожиданием				непрерывной		случайной		вели
чины X, обладающей плотностью вероятности р(х),							называ
ется число
		M W =	J xp(x)dx.					(2)
			—ОО
В том	случае,	когда плотность		р(х)	равна	нулю	вне	неко
торого	отрезка,	интеграл (2)	заведомо		существует.		В против

ном случае выдвигается дополнительное требование, чтобы

несобственный	интеграл (.2) был	абсолютно		сходящимся.
		Н-ОО
Если интеграл	(2) или интеграл	\|	\х\ p(x)dx	расходится,
		—ОО

мы считаем, что математическое ожидание случайной величи ны X не существует.

Математическое ожидание обладает следующими свойст

вами.		X				20), то М(Х) = С.
I .	Если		s C	(см. §
I I .	Если	X	> 0	и	М(Х) существует, то Ift(X) > 0.
I I I .	Если	М(Х)		существует, то, каково бы ни было посто
янное	с, М(сХ)		также		существует и М(сХ) = сМ(ЛГ).
I V .	Если	М(Х)		и	М(У)	существуют, то М(Х-г-У)		также
существует и М (X + У) =						М (X) + М (У).
V .	Если X и У независимые случайные величины						и	М.(Х),
М(У)	существуют,			то	M(XY) также существует и		М ( Л Т ) =

=М(*)М(У) .


Свойство		I	очевидно.	Переходя		к свойству			I I , заметим,
что если случайная величина X					дискретна и			неотрицательна,
то в формуле		(1) xk >- 0		(ft == 1, 2, ... ) . Если				же	X	непрерыв
на и неотрицательна, то ее плотность вероятности										р(х)	тож
дественно равна нулю при х <					0 и	в формуле			(2)	интеграл
можно брать на промежутке [0,					+ о о ) . В		обоих		случаях по
лучим	неравенство Ж(Х)			>• 0.
Что	касается свойства			I I I ,	то	оно	очевидно			при	с — 0.
Предположив,			что с Ф 0,	рассмотрим сначала случай,							когда
X — дискретная			случайная величина,			принимающая				значения
х,, Хг,...	с вероятностями			р\, р2,...		. Тогда сХ с теми же ве
роятностями		принимает значения сх\, сх 2 , ... . При								этом
	М (сХ) = 2 (cxk) pk =				с 2 ЧРк = сЖ (X);

кк

если	множество \xk)		счетно, то			абсолютная		сходимость		ряда
2 xhpk	обеспечивает абсолютную					сходимость		ряда	Б {схк) рк.
Если	Х-—непрерывная		случайная величина,					распределенная
с плотностью_ вероятности				р{х),		то	Y = сХ	имеет плотность
вероятности р(у) = \с\-1р(с-[х)						(см. § 24, задача			7(a));	сле
довательно,
		-f-oo					+00
	Ж(сХ)=		^ УРШУ			= Щ	^	yp^JL^dy.
		—00					—ОО
Заменой переменного			у =	сх	придем		к равенству
				+CO
		М (сХ) = с		^	хр{х) dx = сМ [X).
				—СО
Свойства IV и V в их общей						формулировке не могут				быть
доказаны, ибо		Ж(Х)	определено			здесь лишь		для	дискретных
•л непрерывных		X, тогда		как сумма			двух непрерывных			слу

чайных величин, а также произведение двух независимых случайных величин, из которых одна дискретна, а другая не

прерывна,		могут не	быть	ни дискретны, ни	непрерывны			(см.
§ 24, задачи 13, 14). Поэтому мы докажем свойства IV и V
лишь для дискретных случайных величин. Итак, пусть X при
нимает	значения х\,		х2,...,	а У— значения	у\,	у2		Обо
значим
Р / ^ р ( Л - =		^ ) , р у =	Р ( К =	^ ) , Р ( , = Р1(Х =		=	у,)).	(3)
Тогда	X +	У будет	принимать значения xt		-j- yJt	a	XY — зна
чения	x,yj	соответственно с вероятностями Ру*; при этом
(см. §	18,	формулы	(3),	(4))

м ( * + п = 2 2 K + </M, = 2 U 2 Р У +

+ 2	УJ 2 pv = 2 ад + 2				ад=вд^м		(Г).
Если X и У независимы, то согласно §						19
		Pij = PtP/>
* Среди	сумм xi + yj	и произведений				могут встретиться рав
ные числа, если для некоторых			пар	индексов		(I'I, /1), (t2 ,	/ 2 ) , . . .
	хн	+ yh	= ДГ,-2	+ # / , =	•••

или

следовательно,

щхг)=

2 2 w v = 2 2

дай=

=2 з д - 2 ^ = м(^)М(К) .

Обе выкладки проведены формально, однако нетрудно

убедиться в том, что, коль скоро	ряды	2 xlpi	и Е	t/^.
абсолютно сходящиеся, ряды,	определяющие		М ( Х + У )	и

М(ЛУ), также сходятся абсолютно, и проделанные над ними

преобразования

законны.

Очевидным образом свойство IV распространяется на лю

бое конечное

число

слагаемых,

а свойство

V — на

любое

ко

нечное

число

взаимно

независимых

множителей.

32. Математическое

ожидание

функции

случайной

величины

Пусть X

У =

f(X)

— дискретные

случайные

величины.

Если

принимает

значения

xit

х2,...,

причем

pk=P

(Х=

xk)

( / г = 1 ,

2,...),

то

ЦХ)

принимает

значения

f{x\),

Д х г ) , . . .

соответственно

с теми

же вероятностями.

Следовательно,

M(K) =

M [ f ( * ) i = 2 f W P f t .

если этот ряд сходится абсолютно.

Пусть теперь X — непрерывная

случайная

величина,

рас

пределенная

плотностью

вероятности

р(х).

Предположим,

что

случайная

величина

У = f(X)

также

непрерывна,

11 Р(У)—ее

плотность

вероятности. Тогда

согласно

определе

нию

математическое

ожидание

случайной величины У есть

М (К) =

М [/(*)] =

\урШУ,

(2)

—оо

если этот интеграл сходится абсолютно. В то же время вы ражение Nl[f(X)], относящееся к дискретному случаю, под сказывает нам формулу

+оо
М(К) = М [f (X)] = $ / (х) р (х) dx.	(3)
—оо

В действительности, какова бы ни была непрерывная функ ция f(x), интегралы (2) и (3) сходятся абсолютно лишь од новременно и при этом

+оо	+СО
\ yp{y)dy=	^ f{x)p{x)dx,	(4)
—оо	—сю

так что для вычисления М[/(Х)] обычно пользуются форму лой (3). Доказательство этого предложения не может быть

здесь приведено. Мы ограничимся					тем, что докажем равен
ство	(4)	в	предположении,	что f(x)—функция			с непрерыв
ной	всюду		положительной	производной,		удовлетворяющая
условиям			lim f{x) — ± 0 0 . При этом (см. § 24, задача 9)
		-г->-±оо
	+оо		-foo		+оо
	^	yp{y)dy— ^ yp{g{y))g'iy)dy			= ^	f(x)p(x)dx.
	—00		—00		—00

Рассмотрим еще один частный случай, важный для даль нейшего, когда f(x) = (x—с)2. Воспользовавшись результа том, полученным в § 24 (задача 7(г)), вычислим математи ческое ожидание Y = (X — с)2 :

	y\p(Vy		+	c) + p(-Vy		+	c)]-^~dy==
	О						2	Уу
	О
4-со				-г-оэ
\	yp{Vy	+ c)-rir=dy+			^ yp{~Vy		+	c)~—dy.
Сделав в первом		слагаемом замену				переменного У у - j - с = х,
а во втором — ] / у + с = х',					получим
-foo			—оо				+00
^ (х - с)2 р (х) dx — ^				(х' — e)2p(x')dx'=			^	(х — с2 ) р {х) dx.
с			с				— оо
В заключение этого				параграфа		заметим, что если f(x) не
является	линейной		функцией,		то, вообще говоря, М [ / ( ^ ) ] ^

§ 33. Математическое ожидание векторной

случайной величины

Рассмотрим дискретный случайный вектор U [X, Y], спо

собный принимать	значения ukl [xk, у^		с вероятностями	ри
(k = 1, 2, ... ; / =	1, 2,...). Математическим ожиданием			слу
чайной величины 0 называется		вектор
	т = М(У) =	2 и 4 Л ,	(1)
		ft, 1

•в предположении, что ряд в правой части сходится абсолют но, т. е. что одновременно с рядом (1) сходится числовой ряд

^ \uki\Pki-

Воспользовавшись

формулами (3)

(4)

18,

представим

вектор т в виде

(xJ+yi

7)Ры

ft, i

( 2

2 / О '

Г 2

У1 2

Pki)7^al+bJ,

где

а =

М(Х),

Ь =

М (П -

Если

U {X,

У] —непрерывная

случайная

величина,

р{х,

у)—ее

плотность вероятности, то, по определению,

мате

матическим

ожиданием

этой

случайной величины

служит

вектор

m =

M.(U)=^

^u][x,

у}р(х,

y)dxdy,

(2)

—оо —оо

если

такой

несобственный

интеграл

сходится

абсолютно.

Представив и в виде xi + yj и проведя выкладку, подобную предыдущей, получим равенство

	Nl(U) = ai + bj,	(3)
где а — ЩХ), Ь =	М{У).
Если Vr=f(X,	У)—функция случайных величин X	и У,
то, коль скоро X , У дискретны, применяя обычные обозначе
ния, будем иметь

ЩИ, n]=2/(ft. УдРы	(4)
ft. I

(в предположении, что этот ряд абсолютно сходится). Для того случая, когда X, У — непрерывные случайные величины и

—>

р(х, у) — плотность вероятности случайного вектора/7 {X, У], зададим M(V) сразу формулой, подобной формуле (3) пре дыдущего параграфа:

+ СО + C O

mif(X,	У)]=]	\	/(*. У)Р(Х,		y)dxdy.	(5)
		— О О —со
Отметим следующий частный случай: для J(x, у)=ху						бу
дем иметь в дискретном		случае		согласно	формуле (4)
	м ( * п = 2					(6)
а в случае, когда	множители		X и У непрерывны,
		-Ьоо +со
М ( Л Г ) =		\	\	хур(х, y)dxdy.		(7)
		—СО —00

Сказанное здесь без труда переносится на я-мерные слу чайные векторы и функции п случайных величин.

§ 34. Понятие об интеграле Стильтьеса

Возьмем какой-либо

отрезок

[а, Ь] и предположим,

что

на промежут

ках Д С [а,

Ь] задана

конечная,

неотрицательная

сг-аддитивная

функция

Я(Д). Требования, предъявленные к Я(Д),

означают следующее:

Р(А)

определена,

частности,

для

Д =

[а,

Ь];

2) Р(Д) > 0 для любого

А С

[а, Ь];

3) если промежуток Д разбит на конечное или счетное число проме

жутков

Д[,

Д г , . . . , попарно

без общих

точек, то

Условимся говорить, что функция Р(Д) задает некоторое

распределение

масс, при котором любой промежуток

Д CZ [а,

Ь]

несет

массу Р ( Д ) ; весь

отрезок [а, Ь] несет конечную массу

ро =

Р([а,

Ь]).

На

отрезке [а,

Ь]

может оказаться конечное или счетное множество точек

сосредоточения

массы,

т. е. таких точек

х',

что

на

отрезок

б = [х',

х'],

состоящий

из

единственной точки, приходится ненулевая масса

/ > ( б ) > 0 .

Пусть на отрезке [а, Ь] задана ограниченная функция

f(x).

Возьмем

точки

а =

х0\<

*,<•••<

* „ _ !

< х„ =

(1)

и разобьем

отрезок [а,

на

попарно

непересекающиеся

промежутки

Aft = [*A-i. хк)

(k =

л — 1),

Д„ =

[хп-ъ

х п

\ ,

(2)

выберем в каждом Д^ произвольную точку | ^ и рассмотрим сумму

Введем еще функцию точки			F(x):
	F (а) = О,		F (х) = Р ([а,	*))		(а < х < Ь);			(4)
предположим,	наконец,	что	F(b)=po*.	Тогда		для	любого		промежут
ка (2)
	=	^ (Jfft)-F(jr*_i)			( * = 1		п),
и сумме (3) можно придать			форму
		п
		*=ii
* Это предположение несущественно				и	введено		лишь	для	упрощения
представления	а в виде	(5). Оно означает,			что	х=Ь	не	является точкой

сосредоточения массы. Если последнее условие не выполняется, то можнс

взять	какое-либо b\>b		и	рассмотреть вместо [а,	Ь] отрезок [а, Ь{\; при
этом	следует	доопределить		функции Р(Д) и f(x),	положив Р((Ь, 6 , ] ) = 0
и [ (х)	=0 для	Ъ < х <	Ь\.
					Б7

Если суммы сг имеют предел

при X =

max

(х/.— х и—i)-y0.

то

этот

предел называется

интегралом

Стильтьеса

функции

{(х)

на

отрезке

[а, Ь]

относительно

функции

промежутка

Р(А)

или

относительно

интегрирую

щей функции

F(x)

и обозначается

f(x)P(dx)

(6)

или

/ =

/(ЛГ)^(ЛГ).

(7)

f(x)dx

Очевидно,

обычный

интеграл

есть частный

случай

интегра-

ла

Стильтьеса,

когда

Я(Д)

длина Д

соответственно

-Ff-v) =

длина

[о,

.х) =

х —

а*.

Интеграл

(6)

заведомо

существует

при

усло

вии, что f(x)

непрерывна

на [а,

Ь].

Интеграл Стильтьеса обладает многими свойствами обычного опреде

ленного

интеграла;

так,

например,

он зависит

линейно

от

функции

f(x)

и неотрицателен при

f(x)

>- 0.

то

же

время

отличие

от

обычного

интеграла

интеграл

(6)

может

измениться при

изменении значений

функ

ции /(.v) в конечном числе точек

х',

х"

коль

скоро

хотя

бы одна из

них окажется точкой сосредоточения массы.

Отметим два простых частных случая. Сначала допустим, что суще

ствуют m точек сосредоточения массы а<Х\<Сх3

<i • - • <xm<

Ь,

таких,

что

P(bi)=pi>0

на

отрезках

б/ =

[дг,-,.r,-J н,

каков

бы

ни

был

проме

жуток

Д СГ [а,

Ь],

Р(Д)

равно

сумме

тех

рь

которые

соответствуют

точкам л-,-, попавшим в Д;

другими

словами,предполагается,

что

вся

мас

са

ро =

Р([а,

Ь])

сосредоточена

точках

х ь

хг,...,

л',„.При

разбиении

отрезка

[а,

Ь]

на

достаточно

малые

промежутки

(2)

некоторые

Д л- не

попадает пи одна из точек

л:;, в

другие— Д Л

] ) A f c j

> .

. . , Aftm (&i

< < ! « < • • • <

<km)—попадут

соответственно

хи

л'г,. . . ,

хт.

При

этом

сумма

(3)

при

мет

вид

°=

2/(Ц)Рл

(8)

/=1

Если

f(x)

непрерывна

точках

xi(i=

1, ... ,/л) ,

то

при

\->0

сумма

(8)

будет

иметь предел

f(x)P(dx)

<9)

а;=i

Теперь

допустим,

что

функция

(4)

имеет

производную р{х),

интегрируе

мую

на

отрезке

[а, Ь].

В терминах

распределения

масс

существование

производной функции

F(x)

означает,

что

Я(Д) =

р(х)

• длина

Д +

о (длина

Д),

щей

* Так как

выражении

а входят

лишь

приращения

интегрирую

функции,

то

F(x)

всегда

можно

заменить

функцией

вида

F(x)-\-C.

частности,

J f(x)dx

интегрирующей

функцией

служит

также

Fi(x)=x.

когда	Д стягивается к	точке	х.	Применив	к разностям	F(xk)—F(xk—\)
в формуле (5) теорему		Лагранжа,		запишем а	в виде
		2	/№)Р ( & ( * - * * - ! ) •			(10)
		А=1
Если	одновременно с суммой		(10)	рассмотреть	сумму

то	нетрудно	обнаружить, коль		скоро	непрерывна,	что	о' — о	->0
при	X -*• 0	и,	следовательно, суммы о		и о' будут иметь	один	и тот	же
предел. Таким			образом, в этом	случае

*ь

^ f(x)P(dx)

^ f(x)p(x)dx.

(12)

аа


Теперь		рассмотрим		промежуток	Д0	= (—°о, + ° ° ) . Снова					предполо
жим,	что задана функция промежутка					Р(А),	удовлетворяющая				условиям:
Г)	Р{А)	определена,		в частности,	при Д =		Д0 ;
2')	Р(А)	>	0 для любого ДСГД0 ;		Д		,	на	конечное	или счетное
3')	если какой-либо промежуток				Д	разбит		на	конечное	или счетное
число	попарно		непересекающихся промежутков					Дь	Дг	то	Р(А) =

=2 Р ( Д * ) .

Зададим на Д0 функцию точки

F ( . v ) = P ( ( — о о ,

л;)). Пусть на До опре

делена

функция

f(x).

Функция

промежутка

Р(А)

задает

некоторое

рас

пределение

массы

на

любом

отрезке

[а, Ь].

Если,

каковы

бы ни были

а и

Ь ( о < й ) ,

существует

интеграл

Стильтьеса

f{x)P(dx),

(13)

который

как

функция

переменных

и 6

имеет

конечный

предел

при

а ->•—оо,

6->--|-оо,

то

такой предел

называется

интегралом

Стильтьеса

функции

f(x)

относительно

функции

Р(А)

или

относительно

интегриру

ющей

функции F (х)

на

промежутке

Д 0 = ( — о о ,

+ ° ° )

обозначается

+оо

fWP(dx)

(14)

— С О

f(x)dF(x).

(15)

Такой интеграл заведомо существует тогда, когда f(x)

непрерывна

ог

раничена

на До-

Отметим в заключение, что приведенные здесь

определения

интег

ралов

Стильтьеса

(6)

(14)

не

являются

самыми общими,

но они

до

статочны для

наших

целей.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20236.58 Mб7Васильев, Ю. В. Контроль производства химической чистки одежды.pdf
#
22.10.202314.52 Mб21Васильев, Ю. В. Северная сталь вчера, сегодня и завтра Оротуканского завода горного оборудования.pdf
#
24.10.20238.96 Mб81Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.pdf
#
24.10.20238.94 Mб24Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак.pdf
#
19.10.20234.06 Mб16Васильева, И. Г. Восстановление неметаллических покрытий.pdf
#
23.10.20233.91 Mб25Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf
#
23.10.20237.54 Mб57Васильцов Э.А. Бесконтактные уплотнения.pdf
#
19.10.20233.25 Mб22Васин, М. Д. Жидкая радуга.pdf
#
19.10.20234.42 Mб8Васкан, Р. Д. Принципы и средства автоматизированной обработки геологоразведочной информации.pdf
#
19.10.20235.63 Mб15Васманов, В. В. Технические средства оперативного управления.pdf
#
21.10.202310.08 Mб12Васнецов, В. А.pdf