книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

Определим объем тела, ограниченного поверхностью вращения. Н а рис. 510 по­ верхность вращения задана производящей кривой линией AB в меридиональной плос­ кости и вертикальной осью. Объем поверх­ ности ограничен плоскостями крайних па­ раллелей.

Рассматриваемый объем можно считать составленным из бесконечно большого числа бесконечно малых объемов цилиндров, пло­ щади основания которых равны площадям кругов параллелей, а высоты Д/і бесконечно м а л ы . Объем такого слагаемого цилиндра равен nr2Ah.

Во фронтальной меридиональной плос­ кости отложим от оси поверхности враще­

ния, придерживаясь масштаба измерения, по направлениям радиусов параллелей ве­ личины я г 2 . Таким построением наметится кривая CD, для которой вертикальная ось поверхности является осью ординат. Отсек площади, ограниченный этой кривой ли­ нией, осью ординат и абсциссами, расстоя­ ние между которыми бесконечно мало, по числовой величине равен я г 2 Д й , т. е. бесконечно малому объему слагаемого ци­ линдра.

ми, равна (в принятых единицах измерения) объему заданной поверхности, ограниченной плоскостями крайних ее параллелей.

соответствующих точках траектории АК. Выбираем оси координат. По оси абсцисс откладываем длины дуг траектории АК, а по оси ординат — площади FQ найденных про­ екций производящего контура на плоскос­ ти Q, перпендикулярные к касательным в соответствующих точках траектории АК. Здесь единица площади FQ представляется

висимости. Площадь, ограниченная кривой графика, осью абсцисс и крайними ордина­ тами, численно равна искомому объему за­ данного геометрического тела с поверхно­ стью переноса.

Рассмотрим задачу на определение объе­ ма конической улитки вращения.

Пусть улитка вращения задана непод­ вижным аксоидом-конусом и производящей замкнутой плоской фигурой, составленной из двух • ветвей циклоиды, находящейся в касательной к конусу плоскости.

На рис. 505 представлена развертка ко­ нуса и производящая линия поверхности в начальном ее положении в плоскости, каса­ тельной к аксоиду-конусу; определен центр тяжести Ос площади производящего кон­ тура, который является в рассматриваемом случае и центром симметрии фигуры.

Если фигура сложная и асимметричная, то центр тяжести площади фигуры опреде­ ляется по формулам:

Определив центр тяжести, измеряем рас­ стояния от центра тяжести площади фигуры до ряда образующих конуса-аксоида, вокруг которых вращается плоскость производящей линии. Определяя сферическую индикатрису нормалей, находим величины углов ß пово­ рота касательной плоскости. Строим график зависимости гс =ФФ)- Этот график дает возможность определить длину дуги траекториігттентра тяжести площади произво­ дящего контура.

Объем конической улитки вращения ра­ вен произведению площади производящего контура на длину траектории центра тяжести площади этого контура, т. е. V=F-LC.

Известно, что согласно теореме Галилея,

площадь, ограниченная аркой циклоиды и ее основанием, равна утроенной площади про­ изводящего круга.

П л о щ а д ь производящего контура

F =2- Ъшг

Объем тела, ограниченного заданной по­ верхностью, равен

V=F-Lc,

с т ью Qv, горизонтально-проецирующими плоскостями NOH и NIH крайних положений производящей линии и горизонтально-про­ ецирующими цилиндрами кривых линий ааі, a'aî и ЪЬі, Ь'Ы. Горизонтальная проекция be линии сужения be, Ъ'с' является эволютой горизонтальных проекций ходов точек про­ изводящей линии.

На данной поверхности можно наметить бесконечно большое число линий с расстоя­ нием A L друг от друга. Проводя через эти линии горизонтально-проецирующие ци­ линдры, рассечем заданный объем тела с поверхностью Каталана на бесконечно боль­ шое число цилиндрических колец бесконечно

длины дуг кривой линии ек — горизонталь­ ной проекции траектории ек, е'к', по оси ординат — площади соответствующих тре­ угольников.

Объем заданного тела с поверхностью одинакового ската численно равен цлощади, ограниченной кривой линией F =ф(Ц, осью абсцисс и крайними ординатами.

В случае, если поверхность одинакового ската пересекают две секущие горизонталь­ ные плоскости, то траекторией центра тя­ жести площади производящего прямоуголь­ ного треугольника является эвольвента го­ ризонтальной проекции линии сужения по­ верхности, а линией графика F =Ф(Ь) — прямая линия, параллельная оси абсцисс.

На рис. 515 представлена ротативная по­ верхность с направляющей плоскостью. П о ­ верхность задана неподвижным аксоидом —

проецирующим цилиндром с направляющей линией cd, e'd', начальным положением про­ изводящей линии ab, а'Ь', лежащей в плос-

408кости, перпендикулярной к направляющей плоскости Qv и плоскости, касательной к неподвижному аксоиду-цилиндру. Постро ­ ена линия сужения ей, е'и' поверхности.

Определим объем, ограниченный задан­ ной поверхностью, направляющей плоско­ стью Qv, горизонтально-проецирующими плоскостями NH крайних положений про­ изводящей линии и горизонтально-проеци­ р у ю щ и м и цилиндрами кривых линий аа^,

Н а м е т и м бесконечно большое число го ­ ризонтально-проецирующих цилиндров с расстоянием As, друг от друга. Получим бесконечно большое число цилиндрических колец бесконечно малых объемов.

Объем АѴ каждого кольца равен

АѴ = F • As,

где F — площадь поверхности горизонталь­ но-проецирующего цилиндра.

Построим развертки поверхностей секу­ щих проецирующих цилиндров. Построим график зависимости F =4>(s), на котором по оси абсцисс отложим проекции расстояний между точками производящей линии, а по оси ординат — соответствующие значения величин площадей поверхностей цилинд­ ров, измеренных по построенным их раз­ верткам.

Площадь, ограниченная кривой линией графика, осью абсцисс и ординатами, равна по величине в принятых единицах измерения объему тела с рассматриваемой поверхно­ стью.

Кривая линия зависимости V=fis) вто­ рого графика показывает характер нарастанця объема при переходе от одной цилиндри­ ческой поверхности к следующей.

Представление о кривизне поверхности в какой-либо ее точке можно получить пу­ тем исследования кривизны в этих точках ряда проходящих через нее намеченных на поверхности кривых линий. Обычно рас­ сматривают кривизну нормальных сечений поверхности.

Л и н и ю пересечения поверхности плоско­ стью, проходящей через нормаль, называют

а касательную плоскость — по прямой ли­ нии, которая является касательной к кривой линии сечения поверхности.

Нормальные плоскости, построенные в какой-либо точке поверхности, пересекают ее по кривым линиям, которые имеют в этой точке различные радиусы кривизны, направленные по нормалям поверхности.

Если в касательной плоскости отклады ­ вать от рассматриваемой точки по разные стороны в направлении касательных к нор­ м а л ь н ы м сечениям отрезки, равные корням квадратным из величин соответствую-

щих радиусов кривизны, то концами этих отрезков наметится кривая линия — инди­ катриса Дюпена, которая показывает рас­ пределение кривизны нормальных сечений.

Величина радиуса кривизны л ю б о г о нор­ мального сечения поверхности при этих ус­ ловиях пропорциональна квадрату соответ­ ствующего полудиаметра индикатрисы.

В зависимости от вида поверхности, ин­ дикатриса Дюпена может иметь вид эллипса, гиперболы или двух параллельных прямых линий. Если индикатриса Дюпена касается поверхности только в одной точке, то она является эллипсом. В этом случае все точки поверхности, достаточно близкие к рассмат­ риваемой точке, находятся по одну сторону касательной плоскости. Такие точки поверх­ ности, как известно, называются эллиптиче­ скими.

Некоторые поверхности имеют точки, в которых индикатриса Дюпена является ок­ ружностью, т. е. кривизна всех нормальных сечений поверхности в этой точке одинакова. Такие точки поверхности называют омбили­ ческими*. Все точки поверхности сферы ом ­ билические.