книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

3 9 4 лизма Qv. При принятом направлении плос­ кости параллелизма, как указывалось выше, горизонтальные проекции образующих по­ верхности являются касательными к гори­ зонтальной проекции линии сужения.

На заданной поверхности намечаем ряд кривых линий, горизонтальные проекции которых — эвольвенты горизонтальной про­ екции ab линии сужения. Касательные к

т'п' и конечной кп, к'п'. Заданную поверх­ ность рассматриваем состоящей из бесконеч­ но большого числа бесконечно узких лент, ог­ раниченных каждая двумя бесконечно близ­ кими кривыми линиями, горизонтальные проекции которых — эвольвенты кривой ab.

Каждую бесконечно узкую ленту м о ж н о рассматривать принадлежащей торсу, ко­ торый огибает касательные плоскости к по­ верхности, гроведенные в точках построен­ ной на поверхности кривой линии. Касатель­ ные плоскости определяются образующими поверхности, проходящими через точки ка­ сания, и касательными, проведенными в точках касания к кривым линиям, построен­ ным на поверхности.

Каждую бесконечно узкую ленту можно представить прямоугольником, площадь ко­ торого Af = LAs, где L — длина кривой ли­ нии, построенной на поверхности, a As — бесконечно малая ширина ленты. Отрезки As лежат на образующих поверхности и проеци­ руются на плоскость проекций H без иска­ жения.

Для определения площади заданного от­ сека поверхности сначала найдем натураль­ ные длины ряда построенных на поверхности

развертывания их горизонтально-проециру­ ющих цилиндров. Они представляются кри­ выми линиями UК, MN.

Проведем горизонтальную прямую ли­ нию MU, которую примем за образующую поверхности и отметим на ней точки ее пересечения кривыми линиями, построенны­ ми на поверхности.

Примем эту прямую линию за ось аб­ сцисс.

Ординатами являются длины соответ­ ствующих кривых линий, проведенных на поверхности. Таким построением наметится кривая линия N К.

Площадь, ограниченная этой кривой ли­ нией, осью абсцисс и крайними ординатами, равна площади заданного отсека поверх­ ности.

Поверхность одинакового ската, как и поверхность каждого из торсов, можно рас­ сматривать как предельную суммарную по­ верхность, составленную из бесконечно боль­ шого числа бесконечно малых треугольни­ ков. На поверхности одинакового ската сла­ гаемые — бесконечно малые треугольни­ ки — составляют один и тот же угол а с плоскостью Q, по которому определяется скат поверхности. Ортогональные проекции таких треугольников на плоскосуи Q опре­ деляют ортогональную проекцию поверх­ ности на эту плоскость.

П р о и з в о д я щ ая прямая линия во всех своих положениях наклонена к плоскости Qv под углом а. Как приближение считаем, что прямоугольник п л о щ а д ь ю Д / является про­ екцией бесконечно малой площадки AF от­ сека, ограниченного соответствующими час­ тями производящей линии в смежных ее положениях и ходами бесконечно близких точек производящей линии.

В этом случае площадь отсека поверх­ ности можно рассматривать как предел сум­ м ы площадей, состоящих из лент, ширина которых определяется бесконечно близкими точками производящей линии, а длина — ходами этих точек.

Определение объемов геометрических тел, ограниченных кривыми поверхностя­ ми, большое значение имеет в конструи­ ровании различных резервуаров, воздухо­ водов, насосов, ряда агрегатов машин и механизмов, форм поверхностей гидро­ технических и других инженерных соору­ жений.

В начертательной геометрии методы оп­ ределения объемов тел, ограниченных по­ верхностями, являются новыми. Они могут найти широкое применение в различных об­ ластях техники. Покажем графические ме­ тоды определения объемов пространства, ограниченного кинематическими поверхно­ стями.

Пусть поверхность торса задана его реб­ ром возврата ab, a'b' (рис. 509). Определим объем тела, ограниченного этой поверхно­ стью, плоскостью Qv, горизонтально-про­ ецирующим цилиндром ребра возврата ab, a'b' торса и горизонтально-проецирующими плоскостями крайних образующих торсовой поверхности.

Построим направляющий конус торса. Эту поверхность ограничим плоскостью Qv и крайними образующими . Построим кри­ вую отношений длин парных образующих торса и его направляющего конуса. Через парные образующие торса и направляющего конуса проведем их горизонтально-проеци­ рующие плоскости Ыц . Этими плоскостями торс и конус рассекаются на бесконечно большое число пирамид бесконечно малых

объемов. Пирамиды, ребрами которых яв­ ляются парные образующие торса и направ­ ляющего конуса, подобны. Линейные раз­ меры пирамид, принадлежащих торсу, в m раз больше линейных размеров соответ­ ствующих пирамид, принадлежащих направ­ ляющему конусу торса.

Очевидно, объем каждой из пирамид, принадлежащих торсу, в т3 раз больше объема соответствующей пирамиды, при­ надлежащей направляющему конусу.

Выбираем две взаимно перпендикуляр­ ные прямые и принимаем их за оси коорди­ нат. П о оси абсцисс в заданном масштабе откладываем величины объемов пирамид, ограниченных направляющим конусом, а по оси ординат — соответствующие образую ­ щ и м конуса величины т3.