книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

370чертеже не показано) определяются значения величин углов ß поворота касательной плос­ кости при ее качении со скольжением по не­ подвижному аксоиду-конусу.

Для определения положения производя­ щей линии поверхности в касательной к конусу-аксоиду плоскости в начальном ее положении строим развертку конуса. Имея развертку, можно получить величины уг­ лов а между образующими аксоида-конуса, соответствующие найденным углам ß.

собой уравнение кривой ребра возврата ка­ сательной плоскости аксоида-конуса. По­ строение такой кривой по графику не вызы­ вает затруднений (см. гл. X I V ) . В касатель­ ной плоскости выбирается и заданная про­ изводящая кривая линия AB. Касательная

плоскость производящей кривой при ее ка­ чении со скольжением по аксоиду-конусу занимает ряд положений. Она скользит вдоль образующих конуса с условием, что последовательный ряд точек ее ребра воз­ врата всегда совпадает с вершиной конуса.

Таким образом, можно точно ориенти­ ровать касательную плоскость и ее произ­ водящую линию относительно тех образую­ щих аксоида-конуса, которые соответству­ ют углам поворота касательной плоскости. Совмещая касательную плоскость с плос­ костью Qv и намечая соответствующее по­ ложение производящей линии, а затем вос­ станавливая эту плоскость, можно опреде­ лить положение производящей линии по­ верхности винтовой улитки.

Построение чертежа поверхности вин­ товой улитки общего вида, где неподвиж­ ным аксоидом является торс — поверхность с ребром возврата, аналогично построению

улитки вращения, но с учетом скольжения плоскости производящей вдоль образую­ щих торса-аксоида. И здесь с помощью сферической индикатрисы нормалей аксои- да-торса определяют углы поворота ß ка­ сательной плоскости вокруг соответствую­ щих его образующих, а затем развертку аксоида-торса на касательную плоскость в начальном ее положении.

Заметим, что если длина дуги кривой линии преобразования ребра возврата торсааксоида s, то длина дуги ребра возврата касательной плоскости аксоида si = s— h.

По графику зависимости h =fiß) и дли­

нам дуг s ребра возврата торса в преобра­ зовании можно построить и график si = F(ß)

зависимости длины дуги si ребра возврата касательной плоскости аксоида от угла ß поворота касательной плоскости. Такой гра­ фик можно перестроить в график зависи­ мости si =ßp0- С"н Д а е т возможность по­

строить ребро возврата касательной плос- кости-аксоида.

Соответствующие точки ребер возврата касательной плоскости-аксоида и торса-ак­ соида, как точки конформных кривых, яв­ ляются парными точками. При качении со скольжением касательной плоскости эти точ­ ки ребер возврата совпадают.

Очевидно, для каждой образующей ак­ соида-торса можно определить соответству­ ющее положение ребра возврата его каса­ тельной плоскости и положение находящейся в этой плоскости производящей линии. Вра­ щая касательную плоскость до совмещения с плоскостью уровня и намечая соответст­ вующее положение производящей линии, а затем, восстанавливая эту же плоскость, определяем последовательный ряд положе­ ний производящей линии поверхности вин­ товой улитки общего вида.

При задании поверхностей с направляющей плоскостью направляющими линиями и углом а наклона производящей прямой

линии к направляющей плоскости нельзя знать, к какой именно группе поверхностей (цилиндроидам, коноидам, косым плоско-

стям) следует отнести проектируемую по­ верхность. Нельзя также заранее предвидеть, будет ли эта поверхность ротативной или спироидальной.

Однако можно более рационально по­ дойти к конструированию поверхностей с направляющей плоскостью, рассматривая их как образованные при п о м о щ и аксоидов. За неподвижный аксоид принимается ци­ линдр, образующие которого перпендику­ лярны к направляющей плоскости. За под­ вижный аксоид выбирается плоскость, ка­ сательная к неподвижному аксоиду.

Производящая прямая линия такой по­ верхности неизменно связана с подвижным аксоидом и находится в плоскости, которая одновременно перпендикулярна к направ­ ляющей плоскости поверхности и касатель­ ной плоскости неподвижного аксоида-ци- линдра.

Пусть ортогональной проекцией огиба­ ющей положений производящей прямой ли­

(рис. 492). Она является прямоугольной про­ екцией линии сужения поверхности, так как представляет собой проекцию самой корот­ кой линии на поверхности, которая имеет

П о кривой ab построена ее эволюта aobo. Для линейчатой поверхности за ход точки производящей линии можно принять л ю б у ю проходящую через нее кривую линию, пере­ секающую все положения производящей ли­

нии.

Если за проекцию хода точки выбрать кривую линию, эквитангенциальную проек­ ции линии сужения, то проекцию линии су­ жения следует рассматривать как трактрису

кпроекциям ходов точек производящей

ной центроидой — прямая линия — нормаль кривой ab.

Если за проекцию траектории ходов то­ чек движущейся производящей прямой ли­ нии принять кривую тп, перпендикулярную

371

Ри с . 492

кпроекциям ряда ее положений, то эта кривая будет эвольвентой линии ab — оги­ бающей проекции ряда положений произ­ водящей линии.

Траекториями других точек производя­ щей прямой линии являются кривые линии, эквидистантные между собой и с кривой линией тп.

Кривая линия ab является одновременно и неподвижной центроидой движения проек­ ции производящей прямой линии. В этом случае имеем качение без скольжения про­ екции производящей линии по проекции линии сужения.

Рассматривая поверхности с направля­ ющей плоскостью при известных проекциях их линий сужения, можно выбирать проекции ходов точек произвольно, а также в виде эвольвент проекции линии сужения и в виде эквитангенциальных кривых линий к про­ екции линии сужения.

1.Ротативные линейчатые поверхности

снаправляющей плоскостью

Рассмотрим образование линейчатой улитки вращения — ротативной поверхнос­ ти с направляющей плоскостью, когда про-

Г л а в а X V . К и н е м а т и ч е с к и е п о в е р х н о с т и о б щ е г о в и д а

372изводящая прямая линия лежит в касатель­ ной плоскости неподвижного аксоида-ци- линдра этой поверхности.

На рис. 493 показана линейчатая цилинд­ рическая улитка. Неподвижным аксоидом является горизонтально-проецирующий ци­ линдр. Подвижным аксоидом служит плос­ кость, касательная к неподвижному аксоиду (цилиндру).

Производящая прямая линия ab, а'Ь' находится в начальном положении касатель­

ной к аксоиду-цилиндру плоскости. Каса­ тельная плоскость (подвижный аксоид) NH катится вместе с производящей линией ab, а'Ь' по неподвижному аксоиду без скольже­ ния и занимает ряд положений Non , NIH ,...

Производящая прямая занимает различные положения.

Горизонтальные проекции ходов точек производящей линии представляются эволь­ вентами, для которых общей эволютой яв­ ляется кривая линия — горизонтальная про-

екция направляющей линии цилиндра-ак- соида. Фронтальные проекции этих ходов представляются прямыми линиями, парал­ лельными оси проекций.

Производящая прямая линия все время остается касательной к неподвижному ак- соиду-цилиндру. Геометрическим местом точек касания прямой с цилиндром является пространственная кривая линия се, с'е', ко­ торая является, очевидно, ребром возврата рассматриваемой развертывающейся по­ верхности одинакового ската.

Известно, что среди линейчатых винто­ вых поверхностей (геликоидов) имеется одна поверхность (торс-геликоид), которая явля­ ется развертывающейся поверхностью (тор­ сом) и одновременно поверхностью одина­ кового ската. Покажем, что поверхность одинакового ската можно рассматривать как поверхность, составленную из беско­ нечно большого числа бесконечно малых отсеков поверхностей торсов-геликоидов.

П р и м е м эволюту соео кривой се за про­ екцию направляющей линии цилиндра-ак- соида, направлением образующих которого будет прямая тп, т'п'. Построим к этому цилиндру какую-либо касательную плос­ кость и неизменно свяжем с ней производя­ щ у ю прямую линию, горизонтально-про­ ецирующая плоскость которой перпендику­ лярна к этой касательной плоскости.

Будем катить касательную плоскость по цилиндру с направляющей линией соео, со'е0 ', давая ей одновременно такое скольжение вдоль образующих цилиндра, чтобы про­ изводящая прямая заняла положение обра­ зующих рассматриваемой поверхности оди­ накового ската.

Ребра возврата — цилиндрические вин­ товые линии слагаемых торсов-геликоидов являются соприкасающимися гелисами реб­ ра возврата рассматриваемой поверхности одинакового ската в соответствующих его точках.

верхность.

На рис. 494 ротативная поверхность за­ дана горизонтально-проецирующим аксоидом - цилиндром, начальным положением производящей прямой линии ab, a'b' и на­ правляющей плоскостью Qv-

Производящая прямая линия составляет с направляющей плоскостью угол а ф О и лежит в плоскости, перпендикулярной к на­ правляющей плоскости Qv и плоскости под­ вижного аксоида

Подвижным аксоидом является плос­ кость, касательная к неподвижному аксоидуцилиндру. Горизонтальной проекцией линии сужения поверхности является кривая ли­ ния ас — эвольвента горизонтальной про­ екции направляющей линии цилиндра-ак- соида. Горизонтальные проекции положений производящей прямой линии совпадают с касательными кривой линии ас. Соответ­ ствующими построениями определены фрон­ тальные проекции ряда положений произво­ дящей прямой линии.

Д л я рассматриваемой поверхности по­ строены две сети, которые определяются по­ ложениями производящей линии и ходами ее точек.

Горизонтальные проекции ходов точек производящей прямой линии первой сети представлены эвольвентами кривой ли­ нии ас. Горизонтальные проекции ходов точек производящей прямой линии второй сети представлены кривыми линиями, эквитангенциальными кривой линии ас. Гори ­ зонтальные проекции сети поверхности яв­ ляются получебышевскими сетями.

Ротативную поверхность с направляю ­ щей плоскостью можно рассматривать как составную поверхность, состоящую из бес­ конечно большого числа бесконечно м а л ы х отсеков поверхностей однополостных ги­ перболоидов вращения, осями которых яв­ ляются соответствующие образующие не­ подвижного аксоида-цилиндра.

2.Спироидальные линейчатые поверхности

снаправляющей плоскостью

Покажем построение спироидальных по­ верхностей с направляющей плоскостью, сохраняя, как и для ротативных поверхнос­ тей, в задании неподвижный аксоид-ци- линдр и производящую прямую линию в ее начальном положении. Производящая пря­ м а я линия поверхности располагается в плоскости, перпендикулярной одновременно к направляющей плоскости и плоскости, ка­ сательной к аксоиду-цилиндру.

П о д в и ж н ы м аксоидом является плос­ кость, касательная к неподвижному аксоидуцилиндру. П р и обкатывании неподвижного аксоида она скользит вдоль его образующих.

На рис. 495 показан чертеж спироидальной поверхности с направляющей плоско­ стью Qv, параллельной горизонтальной плоскости проекций Н.

Неподвижным аксоидом является гори­ зонтально-проецирующий цилиндр. Произ ­ водящая прямая линия ab, а'Ь' (начальное ее положение) поверхности составляет с на­ правляющей плоскостью Qv угол а. Она Лежит в плоскости, которая перпендикулярна

Повторяя построения для ряда других положений производящей линии, найдем недостающие фронтальные проекции поло­ жений производящей и ходов ее точек. П о ­ ложениями производящей прямой линии и ходами ее точек на поверхности наметится сеть, которая будет получебышевской сетью.

ной поверхности изменяется при переходе производящей прямой линии из одного ее положения в другое. Величина винтового параметра поверхности для намеченного по­ ложения производящей прямой линии опре­ деляется тангенсом угла наклона к оси абсцисс касательной к кривой линии графика h=flß). График р=фф) показывает изме­ нение винтового параметра поверхности в зависимости от угла ß поворота касательной плоскости N H .

С п и р о и д а л ь н ую поверхность с направ­ ляющей плоскостью можно рассматривать как составную, состоящую из бесконечно большого числа бесконечно малых отсеков поверхностей косых геликоидов. Осями этих геликоидов служат соответствующие обра­ зующие неподвижного аксоида, а их винто­ вые параметры равны для соответствую­ щего положения производящей линии пара­ метрам спироидальной поверхности.

Эксцентриситеты слагаемых геликоидов равны радиусам кривизны проекции на на­ правляющую плоскость линии сужения спи­ роидальной поверхности.

Положения производящей линии рас­ сматриваемой поверхности можно получить при качении со скольжением касательной плоскости вдоль образующих цилиндра, на­ правляющей линией которого служит линия

строения цилиндрической линейчатой спи­ роидальной улитки. Производящая прямая линия поверхности находится в касательной плоскости к цилиндру с направляющей ли­ нией ей, е'и' и направлением образующих тп, т'п'; она имеет постоянный угол на­ клона а к горизонтальной направляющей плоскости Qv.

Плоскость производящей линии обкаты­ вает цилиндр со скольжением. Зависимость величины скольжения /ь от угла ß поворота

возврата вспомогательной поверхности оди­ накового ската. Спироидальная поверхность пересекается плоскостью Qv по кривой ли­ нии сЪ, с'Ь'.

Расстояния / между горизонтальными проекциями соответствующих точек кривых линий ab, а'Ь' и сЬ, с'Ь' можно получить из формулы / = hs -ctg et, где hs—величина скольжения для рассматриваемого положе­ ния производящей линии, заданная графи­ ком hs = f(ß).

Фронтальные проекции ряда положений производящей линии определяются по ус­ ловию параллельности их проекциям ряда соответствующих положений производящей линии вспомогательной поверхности одина­ кового ската. Геометрическим местом точек пересечения различных положений произво­ дящей линии с образующими аксоида-ци- линдра является кривая линия ек, е'к' — линия сужения линейчатой спироидальной улитки.

Спироидальную поверхность можно об­ разовать также, если за неподвижный аксоид принять цилиндр с направляющей линией еоко— эволютой кривой линии ек, а за на­ правление образующих — вертикальную прямую тп, т'п'.

С касательной плоскостью этого цилинд­ ра неизменно связывается производящая прямая линия. Касательная плоскость ка­ тится по цилиндру со скольжением. Величину скольжения hs можно определить из отно ­ шения hs = h — hr.

При таком образовании поверхности рас­ сматриваем ее как составную, состоящую из

бесконечно малых отсеков бесконечно боль­ шого числа слагаемых косых геликоидов, эксцентриситеты которых равны радиусам кривизны кривой линии.

Рассмотрены два вида задания поверх­ ностей с направляющей плоскостью. В пер­ вом случае поверхности с направляющей

плоскостью заданы двумя направляющими линиями, направляющей плоскостью и уг­

ло м а наклона производящей прямой линии

кнаправляющей плоскости.

Во втором случае поверхности с направ­ ляющей плоскостью общего вида заданы неподвижным аксоидом-цилиндром; началь-

н ым положением производящей прямой ли­ нии, лежащей в плоскости, перпендикуляр­ ной к направляющей плоскости и плоскости,

щей плоскостью пример перехода от одного вида их задания к другому.

Н а рис. 497 поверхность с направляю­ щей плоскостью задана двумя направляю ­ щими кривыми линиями ab, а'Ь' и cd, e'd', направляющей плоскостью Qv и углом а наклона производящей прямой линии к на­ правляющей плоскости.

При этом задании можно построить ли­ нию сужения ей, е'и'. Эволюту eouo горизон­

тальной проекции ей линии сужения можно 379 представить, согласно второму способу за­ дания, проекцией направляющей линии не­ подвижного аксоида-цилиндра, направлени­ ем образующих которого является прямая тп, т'п', перпендикулярная к направляющей плоскости Qv-

Величину скольжения h можно опреде­ лить, пользуясь фронтальной проекцией ли­ нии сужения. Ее можно выразить графиком h = F(ß) зависимости ее от угла ß поворота касательной плоскости вокруг неподвижного аксоида. Таким образом, исходя из первого задания поверхности, можно получить все данные для второго задания этой же поверх­ ности.