книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

или к2 = к2 + fei

Э т о равенство, где - д ~ = ^ называют

полной кривизной кривой в данной точке, выражает собою теорему: квадрат полной

Пространственная кривая линия, как уже известно, может быть образована точкой нормальной плоскости, когда эта плоскость катится без скольжения по полярному торсу. Перпендикуляры, опущенные из этой точки на образующие, вокруг которых происходят повороты нормальной плоскости, пересе­ кают образующие в центрах кривизны.

Когда нормальная плоскость обкатывает весь полярный торс, на этой плоскости полу­ чается отпечаток торса в виде его развертки и отпечаток перпендикуляров, опущенных из точки на образующие полярного торса.

перпендикуляров, опущенных из какой-либо точки (полюса) на касательные к взятой кри­ вой линии. Нормали подеры делят пополам отрезки, соединяющие полюс с соответст­ вующей точкой кривой линии.

Построим развертку полярного торса пространственной кривой линии (рис. 467).

Пусть кривая задана уравнениями a=^/(s) и ß =F (s) в естественных координа­ тах и некоторыми начальными условиями, определяющими вид и положение кривой, а также характер движения ее подвижного трехгранника.

Из точки О (полюса) проводим пучок прямых линий, составляющих с начальной прямой углы ßi, ßi, и на этих прямых откладываем соответствующие величины ра­ диусов кривизны ряда точек кривой линии.

Величины R радиусов кривизны можно получить построениями из заданного графи­ ка а = / (s) уравнения кривой линии в естест­ венных координатах по зависимости R= •

Эти построения намечают кривую линию EF — подеру преобразования MN ребра воз­ врата полярного торса.

Точки, определяющие кривую линию MN, можно получить двумя способами. Первый из них основан на указанном выше свойстве подеры.

Построим нормали подеры и найдем точ­ ки их пересечения соответствующими пер­ пендикулярами, восставленными к радиусам кривизны из их середин. Прямые линии, про­ ходящие через полюс и найденные точки, пересекают преобразования образующих по­ лярного торса в точках, принадлежащих искомой кривой линии MN.

Для второго способа рассмотрим тре­ угольник 2CD, у которого угол Д ß беско­ нечно малый. Этот треугольник прямоуголь­

кладываем вместо величин s величины соот­ ветствующих им радиусов кривизны, а ор­ динаты оставим прежними. Таким построе­

построения касательных можно определить

ряд величин t=-^j-, равных расстояниям от

точек подеры EF до соответствующих и м точек преобразования ребра возврата по­ лярного торса кривой линии MN.

Точки, лежащие на ребре возврата поляр­

щих ее точках, а отрезки, соединяющие точ­ ки пространственной кривой линии с цент­

рическои кривизны определяется, как это следует из чертежа, выражением

определяется углом а между полукасатель­ ными . Д л я бесконечно малого угла пово­ рота Д а нормальной плоскости имеем в

Отношение -тМ-=-н—=&« называют сферическои кривизной пространственной кри­ вой линии в данной ее точке.

Пространственную кривую линию можно рассматривать состоящей из бесконечно большого числа бесконечно малых дуг, опи­ санных из центров сферической кривизны ее радиусами.

Сферу с центром и радиусом сферической кривизны называют соприкасающейся сфе­ рой пространственной кривой линии в дан­ ной ее точке.

Рассмотрим теперь построение развертки спрямляющего торса. Как уже известно, при развертке спрямляющего торса про­ странственной кривой линии ее преобразо­ ванием является прямая линия.

На рис. 468 показано построение раз­ вертки спрямляющего торса пространствен­ ной кривой линии. Здесь прямая линия AB является преобразованием заданной кривой линии.

Пользуясь сферическими индикатрисами образующих вспомогательных конусов ка­ сательного и спрямляющего торсов^ опреде­ ляем для ряда точек кривой линии величины углов а и д. Тогда на основе графика урав-

Рассмотрим пространственные кривые линии особых видов — кривые, которые име­ ют или все три графика прямолинейными или часть их является прямолинейными графи­ ками в естественных координатах.

1. Цилиндрические винтовые линии — гелисы

У цилиндрической винтовой линии (ге­ лисы) графики (рис. 469) ее уравнений в

О

а

1 л

—

естественных координатах a^/(s ) и ß ^F (s) прямолинейные. Из этих графиков имеем:

— = tg ф = кі = const

As

и

= tg ф — кг = const.

Д s

Таким образом, для этой кривой линии кривизна к\ и кривизна кручения кг постоян­ ны для всех ее точек.

Из графиков следует, что радиус кривиз­ ны R и винтовой параметр р кривой линии остаются постоянными для всех ее точек. Полукасательные и бинормали рассматри­ ваемой кривой линии составляют постоян­ ные углы с заданным направлением.

Пространственные кривые линии, по­ лукасательные которых одинаково накло­ нены к некоторой плоскости, называют лини - ями одинакового ската (уклона).

Цилиндрические винтовые линии (гелисы) являются линиями одинакового уклона. Направляющими конусами полукасательных и бинормалей такой кривой линии являются конусы вращения.

Образующие направляющего конуса полукаеательных составляют с осью постоян­ ный угол Ô. Образующие направляющего конуса бинормалей составляют с осью по­ стоянный угол ( 9 0 ° — о ) . Эта ось представ­ ляет собой вырожденный направляющий конус семейства спрямляющих (ректифици­ рующих) плоскостей.

Величину угла <5 можно определить по известным величинам ki и кг, т. е. ^=ctg<5.

Величину этого отношения называют кони­ ческой кривизной пространственной кривой линии.

Определим величину радиуса кривизны проекции цилиндрической винтовой линии на плоскость, перпендикулярную к оси.

Для цилиндрической винтовой линии со­ прикасающаяся плоскость и касательная с

Э т о подтверждает, что огибающей се­ мейство спрямляющих плоскостей прост­ ранственной кривой линии является цилиндр вращения радиусом г.

Таким образом, рассматриваемая ци­ линдрическая винтовая линия (гелиса) про­ ецируется на плоскость, перпендикулярную к оси, окружностью радиусом г.

§ 90. В и д ы п р о с т р а н с т в е н н ы х к р и в ы х линий

Цилиндрическая винтовая линия явля­ ется, таким образом, геодезической линией

нусов полукасательных и бинормалей. На

= Äsin2 <5. Отрезки o'b' и о'а' приняты за фронтальные проекции образующих направ­ ляющих конусов полукасательных и бинор­ малей. Отрезок о'е' принят за фронтальную проекцию оси конусов вращения. П л о с ­ кость Qv пересекает направляющие конусы по окружностям радиусами г и R—г.

При развертке спрямляющего цилиндра преобразованием цилиндрической винтовой линии является, как уже известно, прямая линия. Она составляет с преобразованиями образующих этого цилиндра угол Ь,

Обозначим As бесконечно малое переме­ щение точки в направлении оеи и Ду беско­ нечно малое угловое перемещение точки при ее движении по цилиндрической винтовой линии.

Для бесконечно малого перемещения A L точки по кривой линии имеем As = AL • cos <5

Из этого следует, что образующие торсагеликоида с ребром возврата cd, c'd' накло­

скостью кривой линии cd, c'd'. Таким обра­ зом, полярным торсом строящейся кривой линии является торс-геликоид.

Нормальная плоскость кривой линии cd, c'd', перпендикулярная к касательной, на­ клонена к плоскости Qv под углом 90°—Ь и содержит бинормаль кривой линии.

Бинормали кривой линии cd, c'd' парал­ лельны соответствующим касательным кри­ вой линии ab, a'b' и, следовательно, нормаль ­ ные плоскости кривой линии cd, c'd' являются касательными плоскостями кривой линии ab, a'b'.

Известно, что пространственная кривая линия может быть образована точкой нор­ мальной ее плоскости, когда эта плоскость катится без скольжения по полярному торсу.

В рассматриваемом случае искомую гелису можно образовать точкой касательной

плоскости ее полярного торса-геликоида, 349 когда касательная плоскость катится по торсу без скольжения. Эта движущаяся точ­ ка всегда является центром кривизны кри­

вой линии cd, c'd'. Касательный торс-гели­ коид кривой линии ab, a'b' является, таким образом, полярным торсом-геликоидом кри­ вой линии cd, c'd'.

Цилиндрические кривые линии, касатель­ ные торсы-геликоиды которых—взаимно по­ лярные торсы-геликоиды, называют взаим­

ными гелисами.

На рис. 471 показаны развертки касатель­ ного и полярного торсов-геликоидов. Пре­ образованиями их ребер возврата является окружность радиусом R, а преобразования-