книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

Г л а в а Х Ш . Аксонометрические проекции

Р и с. 434

рических осей, большие перпендикулярны к ним. Верхняя грань куба (квадрат), перпен­ дикулярная к оси Oz, ортогонально проеци­ руется на аксонометрическую плоскость про­ екций в виде ромба. Окружность, вписанная в квадрат, проецируется эллипсом.

Большая ось эллипса равна и параллельна тому диаметру окружности, который парал­ лелен плоскости аксонометрических про­ екций. Каждый из диаметров окружности составляет прямой угол с осью Oz. Поэтому большая ось эллипса перпендикулярна к аксонометрической оси Oiz\; малая ось эл­ липса совпадает с направлением оси O i z i . Это справедливо и для построения эллип­ сов — проекций окружностей других граней куба.

Определим соотношение между диагона­ лями ромба. Одна из диагоналей квадрата —

имеем

ß 1С

— — = tg 30° = 0,58 (tg 30° = 0,58)

или

BiKi = 0,58/liKi.

Очевидно, что соотношение между полу­ осями эллипса, вписанного в ромб, равно:

где b = 0,58а или 2Ь « 0,5Sd.

Здесь большая ось эллипса равна диамет­ ру окружности, т. е. 2a=d.

Итак, в изометрии большая ось эллипса равна диаметру d проецируемой окружности, малая ось равна 0,58d.

Пользуясь приведенными коэффициен­ тами искажения, получаем увеличение всех размеров изображения в 1,22 раза. В таком отношении увеличиваются большая и малая оси эллипсов:

2 « = 1,22 d,

2b= 1,22* 0,58 d=0,7 d.

Изометрические проекции применяются в тех случаях, когда элементы предмета по трем основным взаимно перпендикулярным направлениям представляются одинаково важными.

Н а рис. 434 дано изображение кронштей­ на в изометрии.

В прямоугольных диметрических про­ екциях коэффициенты искажений одинаковы по двум осям; третий коэффициент искаже­ ния не равен первым двум, т. е.

p = rj=q.

Здесь плоскость аксонометрических про­ екций равно наклонена к двум координат­

ным осям. В этом случае треугольник сле­ дов равнобедренный.

ное соотношение коэффициентов искажения. При этих условиях определим числовые ве­ личины коэффициентов искажения по на-

Известно, что cos ß = q =

Тогда

Отношение малой оси эллипса к большой такое же, как и отношение соответствующих диагоналей ромба, в который вписывается

эллипс, т. е. -|-=0,895.

равна 0,895 d, в приведенной — 0,895 • 1,06 d или 0,95 d.

Определим величины малых осей эллип­ сов — проекций окружностей, вписанных в грани куба, параллельные плоскостям хОу

иyOz.

Впроекции верхней грани куба малая ось имеет направление аксонометрической оси

01Z1.

Большая ось перпендикулярна к малой и проецируется на плоскость аксонометри­ ческих проекций в натуральную величину.

Рассмотрим на рис. 435 прямоугольный треугольник ОС\Е\.

Здесь

параллельного ОЕі. Поэтому справедли­ вым является и отношение -|-=0,33.

Итак, в натуральной диметрии для пло­

Рассмотрим косоугольные аксонометри­ ческие проекции на плоскости, параллельные плоскостям проекций. В этом случае две

аксонометрические оси и все прямые, парал­ лельные им, а также углы этой плоскости проецируются без искажения.

Г л а в а X I I I . А к с о н о м е т р и ч е с к и е п р о е к ц и и

316 Часто пользуются совмещением плоской фигуры с плоскостью чертежа с последую­ щим восстановлением фигуры в первона­ чальное положение, или строят дополни­ тельную фигуру, подобную заданной и на­

ходящуюся с аксонометрической проекцией в родственном соответствии.

Выбор приема решения задачи и методы решения зависят от вида аксонометрических проекций.

Плоскую кривую линию можно рас ­ сматривать как траекторию (путь) движу­ щейся точки в плоскости. Предположим, что точка перемещается по касательной к кривой линии. Касательная без скольжения обкатывает кривую, а движущаяся точка всегда совпадает с точкой касания. Направ­ ление движения точки указывает полукаса­ тельная. На рис. 444 представлена плавная кривая AB.

Положения движущейся точки обозна­ чены О, 1, 2, ... . Полукасательные to, r i , ti,...

указывают направление движения точки в соответствующих положениях.

Движение по траектории точки можно рассматривать как непрерывную зависи­ мость двух величин : расстояния s, на которое точка удаляется от своего начального поло­ жения, и угла а поворота полукасательной (угла смежности).

Каждому участку пути s, пройденного точкой, соответствует определенный угол а поворота касательной относительно началь­ ного положения.

В прямоугольной системе координат, при­ держиваясь заданного масштаба измерений, строим график зависимости ot=/(s). По оси

абсцисс откладываем величины s длин дуг отрезков кривой линии, а по оси ординат — величины углов а в радианах*.

Величины s и а (в радианах) называют

естественными координатами. Построенная по этим координатам кривая является гра­ фиком уравнения кривой линии AB в естест­ венных координатах.

Кривые линии называют простыми, если их уравнения « = / (s) являются непрерывны­ ми функциями такого вида, где величины s и

* Д л и н а д у г и е с т ь п р е д е л , к к о т о р о м у с т р е ­ м и т с я п е р и м е т р в п и с а н н о й л о м а н о й л и н и и , к о г д а ч и с л о з в е н ь е в н е о г р а н и ч е н н о в о з р а с т а е т т а к , ч т о д л и н а н а и б о л ь ш е г о и з з в е н ь е в с т р е м и т с я к н у л ю .

меру соответствующего ей центрального уг­ ла, т. е.

Сравнивая формулы (1) и (2), замечаем, что прямолинейный график уравнения кри­ вой линии в естественных координатах соот­ ветствует окружности (рис. 445). Радиус R этой окружности равен

~ - или Я = ctgô

В зависимости от угла ô наклона прямой графика к оси абсцисс имеем окружность с большим или меньшим радиусом. Так, если прямая графика совпадает с осью абсцисс,

Из графика уравнения окружности в естественных координатах имеем

Кривизна окружности равна тангенсу угла ô наклона прямой линии графика к оси абс­ цисс. Кривизна окружности во всех точках одинакова. Ч е м больше радиус окружности, тем меньше ее кривизна.

График уравнения а = / (s) кривой линии в естественных координатах может быть представлен в виде ломаной линии — ли­ нии, состоящей из отрезков прямых, под разными углами <5 наклоненных к оси абс­ цисс (рис. 446).

Кривую линию, составленную из дуг окружностей различных радиусов, называют

коробовой кривой.

Тангенсы углов ô наклона отрезков пря­ мых линий графика к оси абсцисс определяют кривизны дуг окружностей, а котангенсы

О

а

ос

г

1*4

/ Г S

R

Е и с. 445

этих углов определяют радиусы этих ок­ ружностей.

Проекции 01, 12, ... отрезков прямых ли­ ний графика на ось абсцисс определяют дли­ ны дуг окружностей соответствующих ра­ диусов.

Пользуясь графиком, определяем ра­ диусы Ro, Ri, ... дуг окружностей на участ­ ках 01, 12, ... кривой линии.

зонтальные катеты прямоугольных треуголь­ ников с углами ôo,ôi, ... при этих катетах. Противолежащие углам 5 катеты равны еди­ нице масштаба.

Чтобы построить кривую по заданному ее графику уравнения а = / (s) в естественных координатах, проводим в намеченной на­ чальной точке А начальные направления касательной to и нормали по строящейся кривой AB.

На направлении по начальной нормали от точки А откладываем отрезок, равный Ro.

тах.

Р и с . 446