книги из ГПНТБ / Деркач, В. П. Электроннозондовые устройства

и магнитном полях, зависит лишь от пройденной разности потенциа­ лов, т. е. изменение ее может быть вызвано только электрическим по­ лем, но не магнитным. Если электрон прошел разность потенциалов, равную V, то скорость его

Тогда электроннооптический показатель преломления записывается как

Пэл = У 2т | eV | + е (Ля).

Уравнение движения электрона в стационарном электрическом поле

dv

т ^ Г -

или

d2r 3

(7)

показывает, что если одновременно увеличить в k раз напряженность поля во всех точках пространства, то траектории электронов не из­

менятся, а скорость увеличится в УЪ раз; если же при этом увели­ чить протяженность поля в п раз, то траектории удлинятся в п раз

при той же форме, а скорость электронов увеличится в У kti раз. В справедливости этих выводов можно убедиться, производя под­ становки в уравнение (7) соответствующих значений напряженности и протяженности поля. Из этого уравнения, кроме того, нетрудно увидеть, что величина отклонения электрона электростатическим полем зависнет от квадрата скорости у2.

Если электрон, движущийся со скоростью о, попадает в стацио­ нарное магнитное поле, направление силовых линий которого пер­

пендикулярно направлению v, то под действием силы

Fm = е [vH\

траектория электрона искривляется:

т Ч Г = е

12

или

то‘

evH.

•кр

Отсюда

ЯгКр — тог

т. е. ЯлКр пропорционально импульсу р. Воспользовавшись выраже­ нием (7), получаем

Яг,кр = l / 2m

Гкр = "я ^ 2m\eV\-

Это выражение не содержит величин, зависящих от координат элект­ рона, и, следовательно, он будет двигаться по окружности радиуса

гкр, лежащей в плоскости, перпендикулярной направлению Я. Период обращения заряда по окружности

показывает, что траектория электрона сохраняется при одновремен­ ном изменении Я в k раз, а %— в k2 раз. Траектории также не из­ меняются, если одновременно увеличить <! в k раз, Я — в kx раз, расстояние между всеми точками пространства — в п раз при усло-

вии, что —5—= 1, а скорость движения электронов увеличивается

Iqn

в У kn раз.

Существует общая теория фокусирующего действия электриче­ ских и магнитных полей [7,8,9], позволяющая по заданной основной электронной траектории и известному распределению полей вдоль нее находить вид соседних траекторий, а также решать обратную задачу определения полей, необходимых для обеспечения заданной формы пучка электронов. Теория показывает, что пучок можно со­ брать в одной точке аксиально-симметричным полем (полем с сим­ метрией вращения). Не имея возможности останавливаться на этих вопросах, приведем здесь лишь основное условие фокусировки.

Пусть узкий пучок электронов подходит к области аксиально-

симметричного поля со скоростью п0, направленной параллельно

13

его оси. Для такого случая

где /ф— фокусное расстояние; г — расстояние рассматриваемого луча электронного пучка от оси; 0 — угол, образуемый направле­ нием скорости движения электрона, прошедшего область поля, с осью (рис. 2). Поле воздействует на электрон в течение времени t

аксиально-симметричного^ поля. Фокусировка пучка означает, что ве­ личина /ф одинакова для всех его лучей. Поскольку, как видно из рис. 2, tg 0 может быть опреде­

лен как

то для обеспечения постоянства /ф с изменением г составляющая скорости vB должна быть прямо пропорциональна величине г, что возможно согласно формуле (8) при выполнении условия:

Рассмотрим движение параксиальных электронов в продольном электростатическом поле с симметрией вращения. В цилиндрической системе координат г, ср, г, ось z которой совпадает с осью симметрии поля, уравнение Лапласа

так как потенциал и напряженность такого поля не зависят от <р. Решение уравнения может быть представлено в виде степенного ряда

(см. [ЮЗ):

оо

<10»

где k — целое число; Ф (z) — распределение потенциала V вдоль оси поля; дифференцирование производится по координате г. Видно, что в полях с вращательной симметрией распределение потенциала вдоль оси симметрии однозначно определяет потенциал во всем

14

пространстве. Составляющие напряженности электростатического поля в пространстве

что означает выполнение условия фокусировки (9).

Магнитное поле с симметрией вращения, если рассматривается движение в вакууме пучков, собственные токи которых пренебре­ жимо малы, также можно характеризовать скалярным потенциалом VM(г, г), подчиняющимся уравнению Лапласа [2, 11], и поэтому

Здесь Фм(г) — распределение потенциала Ум вдоль оси г, Я (г) =

= — Ф„ (г) — распределение напряженности магнитного поля вдоль г. Из этих выражений следует, что и магнитное поле будет задано во всем пространстве, если известно его распределение на оси сим­ метрии.

Для того чтобы показать, как с помощью электромагнитных по­ лей с симметрией вращения можно строить электроннооптические изображения, удобно воспользоваться, как это сделано в работе 112], уравнением Лагранжа

15

где А обозначает величину вектора-потенциала магнитного поля А. Если принять <7, = г, q2 = <p, q3 — z, то получается следующая

система уравнений движения электронов:

Введя функцию

Q (r, z) — V (r, 2)

e 2m

эти выражения можно записать в виде

Благодаря сходству уравнений (11) и (12) с уравнением (7) нахождение закономерностей изменения координат электрона в поле

15

со временем сводится к решению задачи о движении электрона в двумерном поле с потенциалом Q. При этом уравнение (13) может быть сведено к квадратурам.

Поскольку в случае параксиальных электронов, когда в урав­ нении (10) можно пренебречь г и г' в степенях, больших или рав­ ных 2,

V (г, г) = Ф (г),

продольное движение их можно представить уравнением

v

V 2еФ (г)

т

Уравнения поперечного движения выводятся из выражений (11), (13) и записываются следующим образом:

к ф ( К ® о ' = - г ( 4 - ® ' + | £ ) + ^ - - a s )

Это основные уравнения электроннооптических систем с вращатель­ ной симметрией. Исходя из них, показывают (см. [12]), что в случае параксиальных электронов электромагнитные поля с вращательной симметрией могут создавать правильные электроннооптические изо­ бражения объектов.

Например, в электростатическом поле, когда ф0 = 0 и согласно формуле (14) С = 0, уравнения (15) и (16) принимают следующий вид:

Последнее означает, что ф = const, т. е. электрон все время движет­ ся в одной и той же меридиональной плоскости, в которой лежит начальная точка.

При задании распределения Ф (г) и начальных условий из этих уравнений может быть найдена плоская электронная траектория

Г = Г (г).

Выражение (17) — линейное однородное дифференциальное урав­ нение 2-го порядка. Если гх (г) и г2 (г) — его частные линейно не­ зависимые решения, то общее решение

г (2) = Схгх (г) + С/ 2 (2),

где Сх и С2— произвольные постоянные.

Данная электроннооптическая система создает точечное изоб­

чмд-Y\J "О

Если, например, С2 = 0, г, (гл) = ry (zB), т. е. траектория пе­ ресекает ось 2 в точках А (г = гл) и Б (г = гв) (рис. 3, а), то

г (г) = С1г1(2)

представляет совокупность траекторий с началом в точке А и пере­ секающихся в точке В, каждая из которых определяется своим зна­

Г(2л) = С2г2 (гл),

арасстояние изображения этой точки от оси

г(гв) = С2Г2 (гв).

Отношение

Н гв) _ г2 (гв )

г (гл) ~ MZ4)

т. е. одинаково для всех точек предмета. Кроме того, так как изо­ бражение каждой точки предмета лежит в той же меридиональной плоскости, что и сама точка, то все изображение в целом будет по­ добно предмету и увеличено в М L раз:

г2 (гА)

Для магнитного поля при С = 0 уравнения (15) и (16) имеют сле­ дующий вид:

Поскольку выражение (18) является линейным дифференциаль­ ным уравнением 2-го порядка, из него могут быть получены те же

18

выводы о возможности построения правильного электроннооптиче­ ского изображения, что и при электростатическом поле. Можно пока­ зать (см. [12, 13, 14]), что в этом случае дифференциальное уравнение траектории электрона

т. е. все электроны, вышедшие из предметной плоскости, придут в плоскость изображений, повернувшись под действием магнитного поля относительно оси z на один и тот же угол (ср2В — фм ).

Если в случае магнитного поля С = 0 и в начальной' точке Ф (z a ) = 0, то основные уравнения преобразуются к следующему ви­ ду:

где введена подстановка

и = ге‘®,

____ 2в

* (г) = Ф (г) - У ~ j -2 = dz = ф (г) - Фс=0 (г).

г А *

Уравнение (20), содержащее в себе уравнения для гиО, характе­ ризующего ф, полностью определяет пространственную траекторию электронов. Относительно и оно совпадает по форме с уравнением (18) для г, вследствие чего его частными решениями могут быть ре­ шения уравнения (18) гг(г) и г2 (г), являющиеся действительными функциями. Общее решение уравнения (20) записывается в виде