книги из ГПНТБ / Деркач, В. П. Электроннозондовые устройства

решетке или сферой отражения, касается нулевого узла обратной решетки и пересекает какой-либо узел ее PQ(,p, то соответствующая плоскость реальной решетки будет отражающей. Точка Р0бР лежит на сфере отражения, если

sin0' =

2d,h kl

т. е. если при этом соблюдается брэгговский закон. В векторном пред­ ставлении это записывают как

волны и g — вектор обратной решетки. Если г — вектор прямой решетки, то волны, рассеянные уз­ лом г в кристалле, находятся в од-

содержат 2я целое число раз. Это число дает порядок отражения.

Плоскость, проходящая через точку О' и перпендикулярная век-

тору g, представляет собой грани­ цу зоны Бриллюэна 193]. Эта плос­

кость делит вектор g пополам. Как показывает практика, в

некоторых случаях наблюдаются погашения отражения того или ино­ го порядка, разрешаемого уравнениями Брэгга — Вульфа и Лауэ.

Это связано с тем, что эти уравнения не учитывают интерференции между узлами одной и той же ячейки кристалла. Для установле­ ния связи между пространственным положением атомов и дифрак­ ционной картиной используется величина, называемая структур­ ным фактором.

Структурный фактор представляет собой сумму амплитуд рас­ сеяния всех атомов кристалла с учетом всех фаз. Для совершенного трехмерного кристалла с неискаженными элементарными ячейками общая амплитуда представляет собой структурный фактор для элементарной ячейки, умноженный на число элементарных ячеек в кристалле, и фактор повторяемости. Если структурный фактор равен нулю, то интенсивность отражения от соответствующей плос­ кости также равна нулю.

Для физического объяснения многочисленных эффектов, отно­ сящихся к дифракции электронов, необходимо рассматривать рас­ сеяние электронов полями, создаваемыми атомами, молекулами и кристаллической решеткой. Эта задача сводится к решению соот­ ветствующего волнового уравнения и может решаться с точки зре­ ния кинематической или динамической теорий. Первая из них при­

50

Сравнивая выражения (35) и (36), получим

пЭЛ.ЯЧ

т. e. для брэгговского отражения (hkl) структурный фактор опреде­ ляется соответствующими коэффициентами Фурье потенциала ре­ шетки.

Рассеянная на совершенном кристалле волна может быть описа­ на аналогичным предыдущему случаю образом:

где F„n — фактор рассеяния на элементарной ячейке п.

Хотя сильный дифракционный максимум наблюдается в направ-

-у

лении g, отражение обычно происходит в некотором интервале уг­ лов. Это явление, обусловленное несовпадением фаз волн, рассеян­ ных каждой элементарной ячейкой, удобно объяснять, если рас­ сматривать распределение рассеяния в обратном пространстве, как это делается в работах [94, 96]. Для учета изменения фазового

где вектор s характеризует отклонение узла обратной решетки от сферы отражения. Тогда амплитуда рассеяния

ft = 2 exp (— 2m g • г„)

П

для совершенного кристалла может быть приближенно представлена интегралом

поскольку g • гп — целое число. Здесь Fg — структурный фактор для точного брэгговского отражения; Ткр — объем элементарной ячейки кристалла.

Если кристалл имеет форму прямоугольного параллелепипеда и его ребра А ', В', С' направлены соответственно вдоль осей х, у , г,

где ur, v', w' — компоненты s вдоль направлений x, у, z. Величина \fg\ характеризует распределение амплитуд рассеяния в обратном пространстве.

52

Общая интенсивность рассеяния вдоль трех осей, определяемая

произведением \fgf e\, зависит от формы кристалла (рис. 26). Угловой разброс дифрагированного пучка сЮ для данной ориенти­ ровки кристалла можно получить, построив сферу отражения. На­ пример, для сферически симметричного распределения интен­

где d — толщина кристалла в направлении пучка, a d ' — межплос­ костное расстояние.

С увеличением толщины d кристалла величина dcp уменьшается. Однако, как указывают авторы [94], при толщине порядка несколь­ ких сотен ангстрем падающий пучок полностью дифрагирует, так что число рассеивающих элементов в решетке всегда ограничено. Поэтому даже в более толстом кристалле отражение происходит в уг­

53

длина, которая определяется из соотношения

яГКр cos 9

XFa

(3 7 )

и характеризует толщину кристалла, до которой справедливо кине­ матическое приближение.

Искажения в кристаллах, например ошибки в порядке упаковки определенных плоскостей, точечные дефекты, изгиб, дислокации

Рис. 27. Угловой разброс ди­ фрагированного пучка для сферически симметричного распределения интенсивнос­ ти [94].

и т . п., изменяют дифракционную картину. Так, изгиб приводит к размытию пиков интенсивности в

обратном пространстве, точечные дефекты создают диффузный фон и приводят к уменьшению брэгговской интенсивности (максимум при этом не расширяется).

Если положение n-й ячейки в искаженном кристалле обозначить через га, то можно написать

/-„ = /•„ + Агп,

где Аг„ — вектор, задающий смещение элементарной ячейки из ее

правильного положения га. Тогда

fg = 'Z F e exp [— 2яг (g + s) • (ra + ArJ]

П

или, учитывая, что g • rB — целое число, и пренебрегая произве-

54

Таким образом, наличие несовершенства в кристалле вносит допол-

нительный фазовый множитель ехр (— 2лig • Аг).

Динамические эффекты начинают проявляться с увеличением толщины образца и с приближением ориентировки кристалла к

строго отражающему положению (s — 0). Тогда интенсивности падающего и дифрагированного пучков становятся соизмери­ мыми.

В основе динамической теории рассеяния электронов лежат пред­ ставления о сильном взаимодействии падающей на кристалл волны с атомами кристаллической решетки. Физическую картину дифрак­ ции достаточно полно можно представить даже с помощью двухвол­ нового приближения.

Существуют два подхода к объяснению динамических эффек­ тов — квантовооптический и квантовомеханический. Оба подхода приводят к равноценным уравнениям, выражающим динамическое равновесие рассеянной и вторично рассеянной волн в кристалле.

При квантовооптическом подходе исходят из предложенной Дар­ вином [97] ламеллярной модели кристалла и рассматривают после­ довательное рассеяние тонкими двумерными пластинками (ламеллями), параллельными поверхности кристалла, обращенной к пучку. В этом случае в кристалле возникают многочисленные плос­ кие волны, амплитуды которых изменяются по глубине. Для нахож­ дения амплитуд на выходной поверхности кристалла нужно учиты­ вать падающую и рассеянные волны для каждой двумерной плас­ тинки.

Пусть имеется совершенный кристалл, в котором только одна система отражающих плоскостей находится вблизи брэгговского положения. Вдоль направления распространения потока энергии в кристалле (вдоль оси г) выделим колонку, в пределах которой про­ ходит излучение, рассеянное в объеме данной колонки (этотак назы­ ваемое колонковое приближение [98, 99]). Среди волн, распростра­ няющихся в колонке, всегда по своей интенсивности выделяются две волны: распространяющаяся по направлению падающей и рас­ сеянная под брэгговским углом. Фазы волн, рассеиваемых в прямом направлении (волновой вектор остается постоянным), не меняют­ ся, а фазы волн, рассеиваемых под брэгговским углом, будут

зависеть от малого вектора s вдоль оси г, величина которого определяет отклонение от брэгговского отражающего положе­

ния.

Амплитудам падающей и рассеянной волн соответствует волно­ вая функция

Ф (г) = /о (z) exp (ikг) + fe (г) ехр [г (k + 2ng) г].

Здесь \ — вектор электронной волны в кристалле с учетом эффекта преломления.

55

Прирост df0 и dfg амплитуд волн после прохождения их через пластинку dz составляет [94]

мерность длины. В этих уравнениях первый член представляет вклад рассеяния в прямом направлении, а второй член, содержащий фазовый множитель из кинематической теории дифракции,— вклад брэгговского рассеяния.

Поскольку с точки зрения электроннозондовых устройств важно знать интенсивности волн |/0|2 и \fg |2, уравнения (38) можно преоб­ разовывать, изменяя фазовый множитель, например привести к виду

^= f ~ /o + 2ltiS/g‘

Решение уравнений показывает, что полная волновая функция может быть также представлена линейной комбинацией двух неза­ висимых функций (блоховских волновых функций), каждая из кото­ рых состоит из определенной комбинации плоских волн:

Существенное свойство блоховских волн, состоящее в том, что при распространении через совершенный кристалл они сохраняют постоянной амплитуду и волновой вектор, позволяет легко опреде­ лять интенсивности прошедшей и дифрагированной волн по выхо­ де из кристалла, если известны амплитуды возбужденных блохов­ ских волн. Так, расчет интенсивности прошедшей и дифрагирован­ ной волн для совершенных кристаллов, выполненный в работе [100], показал, что на нижней стороне фольги толщиной d интенсивности определяются выражением

sin2 [Jt(d/|g)(l +

l - \ f o ( d ) \ 2=\fg(d)\2=

1 +ш 02

где w' = lgs — параметр, характеризующий отклонение от брэг­ говского угла, т. е. при изменении d или w' наблюдаются осцил­ ляции интенсивностей, которые возникают в результате биений при суперпозиции различных по длине блоховских волн.

Пои квантовомеханическом подходе [88, 99—101] потенциал

56

кристаллической решетки представляется в виде тройного ряда Фурье

(Ug, vg — соответствующие постоянные), а движение электрона рассматривается в периодическом потенциальном поле кристалла. При этом волновая функция в кристалле записывается как совокуп­ ность волн, связанных с различными системами атомных плоскостей, ориентация которых близка к брэгговскому отражающему положе­ нию, и учитывается преломление электронных волн на границе вакуум — кристалл. Граничными условиями при решении волнового уравнения являются требования, чтобы падающая волна в вакууме была связана с падающей волной в решетке условиями равенства волновых функций и их первых производных по нормали к границе.

Решение волнового уравнения отыскивается в форме блоховской

волны с волновым вектором k:

К2 = - ^ р - + и 0.

Штрих при знаке 2 указывает на отсутствие нулевого члена. В двух­ лучевом приближении в системе (40) останутся два уравнения с двумя членами

(К2— k2)C0 (k) + U-gCg (k) = 0,

(42)

UgС0 (к) + * 2 - ( ^ + £ C g (k) = 0.

Условием существования решения системы уравнений (42) являет­ ся равенство нулю ее детерминанта. Это требование в случае, когда потенциальная энергия решетки намного меньше энергии падающих электронов, приводит к уравнению

случае описывают некоторую поверхность (дисперсионную поверх­ ность), на которой лежит конец волнового вектора [95, 104, 105]. Уравнению (43) соответствуют две ветви поверхности, имеющие

57

форму гиперболоидов вблизи границы зоны Бриллюэна, асимптота­ ми которых являются сферы большого радиуса. Все точки диспер­ сионной поверхности, определяемой уравнением (43), связаны с блоховскими волнами с энергией Е, амплитуды которых, согласно выводам работы [98], равны

Можно показать, что блоховские волны, связанные с точками дисперсионной поверхности, совпадают с решениями волнового уравнения (40), определяемыми квантовооптическим способом [94].

При описании рассеяния реальными кристаллами необходимо учитывать поглощение электронов. Здесь также могут быть исполь­ зованы обе формы динамической теории рассеяния. Сперва остано­ вимся на квантовооптическом подходе [105]. Как видно из уравнения (44), в отражающем положении, когда w' — 0,

фо ’ = — ф”’,

Фо* = Ф?».

Это означает, что при интерференции между соответствующими вол-

•■у

новыми полями с векторами kol) и /е(9 создаются поля, в которых поток энергии параллелен брэгговским отражающим плоскостям (атомным) и модулирован в поперечном направлении, причем для первого поля узлы находятся в атомных плоскостях, а пучности — на половине расстояния между плоскостями, в то время как для второго поля картина обратная. Поскольку во втором случае мак­ симумы вектора потока энергии совпадают с областями поглощения электронной волны, которые локализованы вблизи атомов, то долж­ но наблюдаться более сильное поглощение блоховской волны вто­

рого типа. При более точном рассмотрении нужно учитывать ин-

•*> -+■

терференцию между обоими волновыми полями (ko, kg и ko? , k(g2)), как это делается в работах [106, 107].

В приложениях теории Бете поглощение учитывается путем фор­ мального введения комплексного потенциала кристаллической ре­ шетки, имеющего ту симметрию и периодичность, что и потенциал решетки. Теперь полный потенциал записывают как

V (г) -f iV' (г) = 2 (Vg 4- iv'g) exp (2nig • r). g

В качестве параметров поглощения вводятся две характеристиче­ ские длины go и определяемые выражениями

Кcos 0 v'o

Кcos0

58

Здесь vo и vg — коэффициенты Фурье мнимой части потенциала ре­ шетки. Величина go характеризует среднее поглощение при отсут­

ствии брэгговского отражения, a gg — степень аномального погло­ щения.

Введение мнимого потенциала приводит к появлению в выраже­ ниях для амплитуд волн, прошедших через кристалл, дополнитель­

ного множителя вида е~Цв d , где коэффициент поглощения для двух ветвей дисперсионной поверхности

Объем книги не позволяет нам остановиться на динамической теории дифракции электронов от искаженных кристаллов. Эти во­ просы подробно освещены, например, в работах [108—110].

§ 3. ВТОРИЧНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ

Явление вторичной электронной эмиссии (ВЭЭ) — сложное и мно­ гостороннее, а результаты исследований его в сильнейшей мере за­ висят от методики проведения эксперимента, от вещества эмиттера, чистоты его поверхности и т. п. Эти факторы следует учитывать при использовании данных работ различных авторов.

Вторичной электронной эмиссией называется испускание веще­ ством электронов, происходящее в результате бомбардировки его поверхности электронным пучком.

Для количественной характеристики ВЭЭ введен коэффициент

чина КВЭЭ является усредненной по большому числу отдельных ак­ тов бамбардировки мишени первичными электронами, и поэтому изменения плотности /3 первичного тока в широком диапазоне не влияют на нее. Лишь в случаях, когда увеличение /3 ведет к изме­ нению потенциала поверхности образца или к распределению потен­ циала по глубине образца, появляется зависимость о от /3. Если бомбардировка вызывает структурные изменения мишени, то это также может приводить к изменениям а со временем.

Наиболее важной для практики характеристикой вторично­ эмиссионных свойств вещества является зависимость а от энергии Е3 электронов бомбардирующего пучка, который считают монокинетическим. Ход зависимости имеет для всех материалов то общее,

59