книги из ГПНТБ / Апокин, И. А. Развитие вычислительных машин

Висточниках XVII в. нет указаний, как производить при по­ мощи «дощаного счета» вычитание, умножение и деление, хотя:

всюду подчеркивается выполияемость этих действий не только C

целыми числами, но и с дробями. По-видимому, эти приемы сче­ та похожи па сохранившиеся до наших дней приемы действий

на счетах. Наличие нескольких счетпых полей позволяло откла­

дывать не только условие задачи, по и все необходимые проме­

жуточные результаты.

Давая общую оценку «дощаному счету», И. Г. Спасский ка­

тегорически утверждает: «Устройство наиболее старых из до­ шедших до нас в чертежах приборов неоспоримо показывает, что «дощаный счет» возникает как инструмент древнерусской сош-

пой арифметики» [46, стр. 348]. В такой категоричности можно

усомниться, но ясно, что при помощи «дощаного счета» можно

проделать выкладки сошной арифметики.

Наиболее старыми являются счеты середины XVII в., хра­ нящиеся в Государственном историческом музее в Москве [25,

стр. 95, № 38], которые имеют четыре счетных поля для пеполных

рядов 13.

Вконце XVII в. счеты утратили пеполные ряды с одной ко­

лись второго счетного поля. На рамах таких счетов, как правило, против соответствующих проволок ставили числа, указывающие

на разряд. Эти обозначения берут свое начало от обозначений

линий при «счете костьми». В это же время начинают встречать­

ся счеты, мало отличающиеся от современных, с одним счетным

полем в раме, а не в ящиках.

Счеты в своем развитии прошли своеобразный путь упроще­

ния от сложного прибора с четырьмя счетными полями в двух

складывающихся ящиках до современных однорамных счетов.

Нынешняя форма счетов выработалась в начале XVIII в.

Хотя все известные списки «Счетной мудрости» принадлежат

XVII в., описанные в них наиболее сложные счеты можно отне­ сти ко времени сложения первой редакции «Счетной мудрости» —

к концу XVI в.

Возникновение и распространение десятиричной позицион­ ной системы положило конец господству абака в математике. При

помощи новой системы письменно, на бумаге, оказалось удобнее

13 В [25] они ошибочно отнесены к XlX в.

50

Счеты с четырьмя полям» (середина XVII в.)

Счеты с двумя полями (конец XVII в.)

Счеты XVIII в. Счеты XIX в.

в истории математики как борьба абакистов и алгоритмиков. Но опа всюду сопровождала внедрение десятпричпой позиционной си­

стемы. Этот исторический процесс в развитии математики проис­

ходил и в России.

В России в XVI в. десятиричная система почти пе имела рас­ пространения. Числа записывались в алфавитной системе. Ариф­

метические операции или какие-либо более сложные выкладки в

татов и т. п. Только этим, например, можно объяснить, что числа

второго десятка записывались в обратном порядке, чем все ос­ тальные двузначные числа. Все двузначные числа записывались так, как мы их произносим: такая запись совершенно не приспо­

соблена к производству каких-либо действий. В славянской ал­

фавитной нумерации вообще нет обозначений дробей — все они записывались словами, хотя действия над дробями производи­ лись (на счетах). Счеты вообще были основным прибором, с по­ мощью которого осуществлялись различные математические

операттии. Распространение в России в XVIII в. десятиричной

позиционной системы (цифирной арифметики) явилось основной

причиной отказа от второго счетного поля на счетах. Счеты ут­

52

рачивают значение универсального счетного прибора, они стано­ вятся вспомогательным прибором для производства сложения и

вычитания 14.

6.Палочки Непера

ВЗападной Европе был широко распространен счет на лини­

ях («счет костьми» в России соответствует счету на линиях).

В письменном счете был в употреблении способ умножения ре­

шеткой (или способ жалюзи), который излагался в многочислен­

ных учебниках, например в книге польского математика Я. Bpo-

жека «Арифметика целых чисел» (1620 г.). Этот способ, по-види­

мому, возник в Индии, но имел широкое распространение и в

других странах Востока [53].

Умножение решеткой легко уяснить па примере. Пусть необ­ ходимо умножить 456 на 97. Рисуется прямоугольник, разбитый

на необходимое число клеток. В клетках записывают соответ­ ствующие произведения, отделяя диагональю десятки от единиц:

4-9 = 36, 5-9 = 45 и т. д. Эти произведения суммируют по нак­

лонным полоскам справа налево. Окончательный результат

475-97 = 44 232 15.

Шотландский математик Д. Непер создал прибор, в основу

которого был положен способ умножения, назвав его счетными

располагалась при любом вычислении слева, по ней легко нахо­ дилась необходимая строка. Например, пусть нужно умножить

4681 на 7. Выбираем четыре линейки с номерами 1, 4, 6, 8 и

14 К сожалению, относительно истории развития счетов встречаются совер­ шенно ошибочные утверждения. Доказательство несостоятельности теории о китайском происхождении счетов см. в [46]. Довольно широко распро­ странено ошибочное представление, что счеты, возникнув в XVI в., вскоре потребовали усовершенствования своей конструкции — «вместо одной дос­ ки стали применять две доски — двойные счеты» [52, стр. 29] и т. п.

15 Этот способ излагается во многих работах по истории математики (см. [5, стр. 97—98; 54] и др.).

53

располагаем их рядом в необходимом порядке: 4681. Слева по­

мещаем линейку — указатель строки, по пей читаем седьмую

строку: Складываем по наклонным поло­

скам справа налево, получаем окончательный результат 32 774.

Прп умножении на многозначное число такую же процедуру

нужно повторить для каждого разряда множителя. Для удобства

умножения, в особенности в том случае, когда сомножители со­ держат одинаковые цифры, нужно иметь по нескольку экземпля­ ров палочек для каждого числа. Палочки Непера можно исполь­

зовать и при делении. Конечно, они далеки от полной механиза­ ции умножения (и деления), ио применение их сокращает время

выполнения этих операций, если приходится иметь дело C

большими числами. Работа с палочками неутомительна, и поэ­

тому уменьшается вероятность ошибок при вычислениях. Но па­

лочки Непера имеют и существенные недостатки: накопленные единицы механически не переносятся в высший разряд, вычис­ лителю нужно все время производить в уме сложение однознач­

ных чисел; прибор не представляет единого целого, а состоит из отделъиых, не связанных между собой, частей, которые нужно раскладывать в особом порядке перед каждой операцией и т. д.

Несмотря на свои недостатки, палочки Непера получили широкое

распространениеІ6. «Хотя палочки Непера представляли собой

весьма неудовлетворительное пособие при более сложных вычис­

лениях, ими все же, по-видимому, нередко пользовались» [5, стр 34]. Известно также много попыток усовершенствовать этот прибор. В Парижском музее искусств и ремесел хранятся палочки Непера, изготовленные в 1673 г., а также и в более поздние го­

ды: 1720, 1788, 1814, 1815, 1835, 1888, 1890. Краткие сведения о

палочках Непера излагаются в большом числе работ, папример

L31, 55, 57] и др.

Содержание «Рабдологип» Непера не ограничивается изложе­ нием способа умножения па палочках, оно значительно шире и

включает описание операции извлечения квадратного и кубиче­

ского корней, а также некоторых тригонометрических и астроно­ мических вычислений. В своей книге Непер впервые ввел новое

написание десятичных дробей с точкой или запятой для отделе­

ния целой части от десятичных долей. Книга содержит и неко­ торый другой материал.

Книга Непера уже в XVII в. переводилась на многие языки,

шенствовались разными исследователями.

10 Следует отметить, что существует и противоположное мнение: «Несмот­ ря на большую простоту и дешевизну, это приспособление [палочки Непе­ ра] не нашло, однако, широкого применения» [И, стр. 424].

54

В '1668 г. Каспар Шот в книге «Organum mathematicum» пред­

ложил заменить палочки Непера цилиндрами, на поверхности которых нанесены ленты с написанными на них числами, как и

на палочках Непера. Цилиндры помещались в ящике параллельно

друг другу и могли вращаться. Повернув каждый цилиндр так,

чтобы их верхние цифры составляли первый сомножитель, мы мо­

жем прочитать искомое произведение.

В 1673 г. Пти изготовил арифметический барабан (барабан

Пти). В XVIII в. усовершенствования делали Леопольд в 1727 г.,

Μ. Форпус в 1728 г. (пифагорова монзула), Праль в 1789 г. (пе­

реносная арифметика), Брюсон в 1790 г. и др.

Даже в XIX в., когда, казалось бы, имелось уже достаточно

счетных приборов, палочки Непера привлекали многих изобре­

тателей — их усовершенствовали и ими пользовались.

Так, в 1892 г. Прюво-Ле-Гюэ заменил счетные палочки счет­

ными брусками, аккуратно помещенными в ящике, имелся так­

же и ящик для выкладывания результатов. Умножение на мно­

гозначные числа сводилось к умножению па однозначные и скла­

дыванию на бумаге со сдвигом. Несмотря па примитивность уст­

ройства, действие умножения с этим прибором совершалось просто и достаточно быстро.

55

В этом же году Эггис создал прибор для умножения, в ко­ тором вместо палочек применил узкие полосы, закрепленные в одном футляре в виде записной книжки. Полосы передвигались

заостренной палочкой, и умножение многозначного числа на од­

нозначное после соответствующего передвижения полос своди­ лось к правильной считке. Следует иметь в виду, что во всех

приборах, основанных на палочках Непера, необходимо внима­ тельно следить за считкой, так как десятки одного произведения

нужно складывать с единицами произведения следующего разря­ да. Для избежания ошибок при считке Эггис выкрасил в красный цвет правую половину одной полосы и левую — смежной (и так далее через одну полосу), так что те числа, которые нужно скла­ дывать, будут стоять па частях полос, окрашенных в один цвет.

При умножении многозначных чисел частные произведепия скла­

дываются на бумаге. На устройство этого прибора, кроме палочек Непера, оказало влияние знакомство со счислителем Куммера.

Бруски для умножения предложил также в 1891 г. И. Блятер

из Вены, назвав их «Упрощенные таблицы умножения и деления».

Однако для деления бруски Блятера неудобны. При умножении

сбор брусков, выбор частных произведений и их сложение требуют

довольно много времени. При умножении двух пятизначных чисел экономия во времени еще не ощущается по сравнению с умноже­ нием на бумаге. При шестизначных числах выигрывается около

20% времени. При еще больших числах выгода во времени уве­

личивается.

В том же 1891 г. Женайль и Мокас усовершенствовали прибор

Непера. Они исходили из того, что произведения, записанные на палочках Непера, могут быть получены с помощью особой циф­

ровой шкалы, помещенной на каждом из десяти брусков (0, 1, 2, ..., 9), если только дать указатель того пути, который должен

проделать глаз от одного бруска к другому. Роль таких указате­ лей выполняли черные треугольники, иачерченпые на каждом

бруске.

На некоторых клетках имеется по два треугольника. Это соот­

ветствует тому случаю, когда при частных произведениях после

сложения с единицами предыдущего разряда может получиться или число данного десятка, или следующего десятка. В этом слу­

чае надо следовать к вершине того из треугольников, против .ос­

нования которого лежит вершила предыдущего треугольника. При помощи этих брусков можно производить умножение одно­

значного числа на число, в котором одна и та же цифра может

повторяться четыре раза. Чтобы умножить любое число на одно­ значное, Женайль составил прибор из вращающихся цилиндров. Если иметь 20 таких цилиндров, то мы получим прибор, при по­

мощи которого можно получить произведение однозначного числа

на любое число до 10 20.

Для умножения двух многозначных чисел вначале составля­ ются частные произведения, а затем они складываются на бумаге.

56

Самый простой прибор для сложения представлял бы собой ли­ нейку с делениями, вдоль которой может передвигаться другая

такая же линейка. Сложение двух чисел сводилось бы к двум

последовательным передвижениям линейки. Аналогично можно

осуществить сложение, вращая один круг внутри другого. Наибо­

лее известным прибором, основанным на передвижении линеек,

является прибор К. Казе. В 1720 г. он предложил использовать

несколько пар линеек и расположить их рядом. Первая пара спра­

ва служила для складывания единиц, вторая — для десятков и т. д.

Переносить десятки из разряда в разряд приходилось самому

считающему. Весь прибор был смонтирован на одной пластинке,

линейки имели зубчатый край и передвигались при помощи спе­

циально заостренной палочки. В Парижском музее искусств и

ремесел хранятся три картонных прибора Казе, которые названы

«арифметическими машинами».

Следует отметить, что прибор, основанный на таком простом

принципе, был предложен Казе значительно позже первых меха­

нических машин.

ЛИТЕРАТУРА

1.Ф. Энгельс. Анти-Дюринг. Μ., Госполитиздат, 1950.

2.Б. А. Фролов. Применение счета в палеолите и вопрос об истоках мате­ матики,— Изв. Сиб. отд. АН СССР, 1965, 9, вьш. 3.

3.Л. Е. Майстров, В. К. Кузаков. Счет в палеолите.— Знание — сила, 1968,

№12.

4. О. Vetter. Nalez Ciselnysh rnacek г doby bnonzove.— Mat. skole., 1955,5, N 7.

5.История отечественной математики, т. 1. Киев, «Наукова думка», 1966.

6.Н. Μ. Макляк. Из истории пальцевого счета.— В кн.: Вопросы истории фи­ зико-математических наук. Μ., «Высшая школа», 1963.

7.А. П. Юшкевич.. История математики в средние века. Μ., Физматгиз, 1961.

8.И. Н. Веселовский. Вавилонская математика.— Труды Ин-та истории ес­ тествознания и техники, 1955, 5.

9.W. Mc Elwatn Ferd. Digital computer nonelektronic.— Math. Teadher, 1961t 54, N 4.

10.Ph. S. Jones. Tangible arithmetic IV: finger reckoning and other devices.— Math. Teacher, 1955, 48, N 3.

11.Щ. Еленъский. По следам Пифагора. Μ., Детгиз, 1961.

12.Геродот. История в девяти книгах. Μ., 1885.

13.Μ. Я. Выгодский. Арифметика и алгебра в древнем мире.'Μ., «Наука», 1967.

14.К. Штерне. Эволюция мира, т. III. Μ., 1910.

15.Ваха. Взыскание податей.— Сибирские вопросы, 1912, № 7-8.

16.В. Богданов. Русская бирка и древнейшие элементы бирки и ее европей­ ских сородичей.— Этнографическое обозрение, 1916, № 1-2.

17.К. Вейле. От бирки до азбуки. Μ.— Пг., 1923.

18.Н. Высоцкий. Несколько слов о следах употребления у нас фигурного

письма.— Изв. Об-ва археологии, истории и этнографии. Казань, 1888, 4, вып. 2.

19.Е. Н. Клетнова. Записки о метах и знаках собственности Вятского уез­ да.— Этнографическое обозрение, 1916, т. CIX-CX.

20.В. Лобанов. Образцы идеографического письма из Чистопольского уезда Казанской губернии.— Изв. Оо-ва археологии, истории и этнографии. Ка­ зань, 1904, 20, вып. 6.

21.Μ. И. Бирки и записки долгов,— Зап. Сиб. отделения Географ, об-ва, 1857,

кн. IV.

57

Глава II

МЕХАНИЧЕСКИЕ СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ

1. Машины Шиккарда и Паскаля

Уже философы средневековья ставили вопрос о замене отдель­ ных функций деятельности мозга человека некоторым механизмом.

Одна из первых таких попыток относится ие к созданию вычисли­

тельных машин, а к стремлению механически получать истинные

выводы из данных посылок. Это была мыслительная машина сред­

невекового испанского богослова и алхимика Раймонда Луллия.

Длительное время Луллий был придворным при короле Якове

Арагонском, затем стал монахом-отшельником. Свою машину он назвал «великим искусством». Устроена она была следующим об­

разом. На довольно большом неподвижном круге по окружности

было написано девять вопросов: сколько? когда? где? какой из двух? какого качества? и др. Внутри круга друг над другом рас­

полагалось еще шесть уменьшающихся кругов, каждый из кото­ рых мог вращаться независимо от остальных. Вся конструкция

несколько напоминала большую детскую пирамиду, состоящую из

деревянных кружков уменьшающегося диаметра на общей оси.

Каждый круг делился на девять секторов, в которых были сдела­ ны надписи. В одном круге названия девяти грехов и добродете­ лей, в другом — главных физических свойств и т. п. Вращая те или иные круги, Луллий получал против вопросов главного непод­ вижного круга различные сочетания слов. Подавляющее большин­

ство этих сочетаний было бессмысленным. Луллий не имел ал­ горитма и правил выбора из всевозможных комбинаций суждений истинных суждений.

В течение примерно столетия многие увлекались «вертушкой»

Луллия. Идея построить мыслительный прибор заинтересовала

крупных ученых. «Великое искусство» Луллия привлекло внима­ ние Джордано Бруно. В XVII в. «мыслительной рулеткой» зани­

мался Афанасий Кирхер. Интересовался этим вопросом также и Г. Лейбниц.

Попытки воспроизвести механически некоторые функции чело­

веческого мозга (делать выводы, например, при помощи вертушки Луллия) можно встретить задолго до XVII в., когда были созданы первые механические счетные машины. XVII в. был необычным для науки веком — в это время создается математика переменных величин (анализ бесконечно малых), закладываются научные ос­ новы физики и механики, астрономии и химии, создаются и первые счетные машины.

59