книги из ГПНТБ / Апокин, И. А. Развитие вычислительных машин

Связка чувашских бирок

же менее глубокая зарубка. Кроме того, зарубки нанесены на

разных сторонах бирки: зарубки на одной стороне обозначают

числа в 100 раз большие, чем зарубки на другой стороне. Таким

образом, поворачивая бирку, мы тем самым увеличиваем значе­ ние зарубок в 100 раз. При помощи дайной системы па чуваш­ ских бирках зафиксированы результаты умножения различных

чисел: 19-3; 4,5-3; 469-4; 19-2,5; 19-1,5; 19-4; 19-5; 4,5-2,5; 4,5-

•1,5; 4,5-5,5; 49-2; 32-2; 232-3; 48,5-3; 48,5-3,5 т. и. При та­ кой системе записи на бирках встречаются довольно большие

числа вплоть до 35 000 [26].

Бирки представляют интерес как материальпое свидетельство

истории развития счета и записи его результатов. Система счета

на бирках была не совсем примитивной. Бирки являлись не толь­ ко документами, па которых записывались те пли иные данные,

по и своеобразным счетным прибором с разработанными прави­

лами вычислений.

Хотя бирку и можно отнести к счетным приборам, ио ариф­

метические операции при помощи бирок производить было не­ удобно, поэтому бирки как счетные приборы в обиходе встреча­

лись редко, в то время как долговыми, пастушескими и другими видами бирок широко пользовались еще в начале XX в.

** *

Одним из видов старинного счета является счет при помощи

веревок, на которых числа отмечались завязыванием различных

узелков. Наиболее древнее свидетельство о счете при помощи

узелков мы находим у античного историка Геродота, у которого

30

есть рассказ о том, что персидский царь Дарий, отправляясь в

поход па скифов, приказал ионийцам остаться для охраны моста через реку Истер и, завязав на ремне 60 узлов, вручил его со словами: «Люди Ионии, возьмите этот ремень и поступите так,

как я скажу вам: как только вы увидите, что я выступил против скифов, с того дня вы начнете ежедневно развязывать по одному узлу, и когда найдете, что дни, обозначенные этими узлами, уже

миновали, то можете отправляться обратно к себе домой» [12,

стр. 32—33].

Счетные узелки у разных народов считались неприкосновен­

ными и священными. Тот, кто завязывал или развязывал на подоб­ ном документе, не имея на то полномочий, узел, заслуживал са­ мой жестокой кары. «В Европе вплоть до средних веков сохрани­

лись следы того, что завязанные узлы играли роль судебного до­

казательства» [17, стр. 215]. У некоторых племен Древнего Китая сочетания узлов служили не только для счета, но и для фиксации

31

различных других сведений. Счет на веревках был распростра­ нен на острове Рюкю (Япония) [28]. Имеются сведения об узло­

вом счете у различных племен в Африке и на Гавайских остро­ вах.

В Перу и других странах Америки при помощи узлов фикси­

ровали даже различные исторические предания. Перуанские

счетные веревки назывались «квипу» [27]. Они изготовлялись из листьев агавы пли из шерсти ламы. Вначале приготовлялись нити,

которые скручивались по три млн четыре, образуя шнур. Такие шнуры длиной до 60 см подвешивались к основной веревке дли­

ной до '1 м наподобие бахромы. Неокрашенные квипу использова­

лись только для счета. Окраска указывала, о чем идет речь: жел­

тый цвет означал маис, красный — оружие и т. п. Квипу широко

использовались и по существу играли роль статистических таб­ лиц. G их помощью пастухи отмечали количество скота в стадах,

чиновники — величину налога и т. и. При этом простой узел обо­

значал 10, два рядом стоящих таких узла — 20, двойной узел —

200, тройной — 1000 и т. д.

2. Абак в античном мире

Широкое распространение еще в древности получили счетные приборы, которые мы объединяем одним общим названием —

абак3. Под абаком мы будем понимать любой счетный прибор, па

котором отмечены места (колонки или строчки) для отдельных

разрядов чисел. Камешек, жетон, косточка и т. п., помещенные в разных колонках, имеют различное числовое значение. Механиче­

ский перенос чисел из разряда в разряд отсутствует. Вычисления

сводятся к способу выкладывания камешков (жетонов и т. п.).

Характеризуя абак, петербургский академик В. Я. Буняковский писал: «Абака. Гладкая доска, па которой древние чертили

геометрические фигуры и производили вычисления. При употреб­

лении ее покрывали весьма мелким песком или пылью». Абак —

это «счеты такого рода, какие употребляются в России и в неко­ торых странах Азии». На ппх возможны «всякие выкладки, зави­ сящие от других арифметических действий» [30, стр. 1].

Даже способ счета, который наблюдал русский путешествен­

ник и антрополог H. Н. Миклухо-Маклай у туземцев Новой Гви­ неи, можно отнести к тому же принципу, что и счет на абаке: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает оп­ ределенный звук, например, «бе, бе, бе»... Досчитав до пяти, он говорит «ибои-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки,

снова повторяет «бе, бе»..., пока не доходит до «ибои-али» (две

руки). Затем он идет дальше, приговаривая «бе, бе»..., пока ие до­ ходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). Если

3 Слово «абак» (счетная доска)—греческое слово, филологи считают, что оно произошло от древнееврейского слова «пыль».

32

тавляет только щель, обозначенная Ѳ, в которой находится пять

костяшек, обозначающих унции, всего 5/12. Костяшка же в верх­ ней щели означает 6 унций, т. е. 1/2. Костяшки в трех коротких

щелях, расположенных отдельно с правой стороны абака, отмече­

ны знаками: ∙S∙; ∙ ∙, ∙2∙, что означает полунции, четверть ун­

ции, шестая часть унции. Число камешков в каждом столбце ука­

зывает число единиц соответствующего разряда.

** *

Абак был известен и у греков. Геродот пишет о греках, «вы­ кладывающих на абаке камешки» (31, стр. 80). Полибий (II в.

до и. э.) говорит, что «царедворцы весьма сходны с камешками па

абаке, ибо как камешек бывает по воле играющего то халкусом, то талантом 5, так и царедворцы по воле владыки становятся бла­

женными или злополучными» [31, стр. 80].

Ямблих в «Жизни Пифагора» указывает, что Пифагор стре­

мился ввести в изучение математики и вопросы использования

абака. На одной античной вазе изображен греческий вычисли­

тель, сидящий за абаком.

В 1846 г. на греческом острове Саламине был найден единст­ венный известный в настоящее время мраморный абак в виде плиты размером 105 × 75 см. Эта мраморная таблица служила

для пятиричного счисления; об этом свидетельствуют высеченные

на ней буквенные обозначения, причем счетные камешки уклады­

вались только между линиями. Колонки слева служили для отсче­

та драхм и талантов, справа — для долей драхмы: оболов и хал-

ков. Сохранность салампнской таблицы помогла реконструировать

другие, лишь частично сохранившиеся абаки °.

Возникает естественно вопрос: какова роль абака в развитии математики, в частности в развитии математики в античном мире?

Принято считать, что абак был вспомогательным средством

при различных математических расчетах и вычислениях. Эта точ­

ка зрения механически переносит роль современных простейших

вычислительных устройств на древний мир. Роль абака в развитии

математики была 'особой. В период широкого распространения

абака он занимал фундаментальное положение в математике и во многом определял ее лицо. Математическая задача считалась ре­

шенной только в том случае, если ее можно было решить на аба­

ке. При применении абака письменные числа нужны были в мате­

матике только для записи условий задач, промежуточных резуль­

татов и ответов.

5 Халкус — мельчайшая медная монета, талант — крупнейшая монетная еди­ ница.

βКраткие сведения об абаке и других простейших счетных машинах име­ ются почти во всех книгах по истории математики. Часто о них упомина­ ется и в различных научно-популярных статьях (см., например, [32] ).

34

при выполнении действий, память больше, нем аттическая, ибо она имеет больше самостоятельных знаков, опа требует большего нап­

ряжения при выполнении действий. Он пишет: «Сложение ААЛ+

+-■= I 'ΔΔ (30+40=70) можно слить в один психи­

ческий акт со сложением HHH + HHHH = 1 HH (300+400=

=700), поскольку и там и здесь три и четыре однородные единицы

соединяются в пять и две единицы того же рода. Но, имея λ + μ =

=0, мы никак не получаем отсюда непосредственно τ + v = ф +

[34, стр. 256]. Правда, Кантор отмечает, что алфавитная система

обладает одним преимуществом: с ее помощью удобно записывать числа, 'она значительно экономит место при письме.

Μ. Я. Выгодский не согласен с точкой зрения Кантора и пы­

тается доказать, что в алфавитной системе производить действия

удобнее и цроще, чем в аттической. «Алфавитная система нумера­ ции представляла, несомненно очень существенный шаг вперед именно с точки зрения вычислителя» [34, стр. 257].

В действительности же и Кантор, и Выгодский неправы. Они исходили как из установленного факта, что в алфавитной системе производились вычисления. Но этого как раз н не было; у нас пет об этом ни одного свидетельства. В алфавитной системе нумера­

ции никаких действий никогда не производили. Она была создана

для записи чисел и дат, результатов вычислении и условий задач. Кантор прав, когда говорит, что алфавитная система удобна для записи чисел. Но эта система совсем непригодна для производства

математических операций. Ее возникновение связано с распрост­

ранением абака, на котором производились все вычисления, все

математические операции. Так было со всеми алфавитными сис­ темами — они возникали тогда, когда абак занимал господствую­ щее положение в математике.

3.Абак в Китае

Впростейших счетных приборах (абаках), которые были рас­

пространены на Востоке, использовалась преимущественно пяти­ ричная система счета. Такие приборы мы находим в Японии, Ин­ дии, Пакистане и других странах. Иногда и теперь индийские

крестьяне и торговцы, считая, раскладывают камешки на расчер­

ченной на песке таблице.

В Китае и в настоящее время широкое распространение имеет

суань-пан, завершивший длинную историю развития счетного при­

бора, началом которой была счетная доска, появившаяся в конце

второго тысячелетия до нашей эры. «В истории инструментально­

го счета Китай занимает одно из почетных мест. Среди ранних прототипов счетных приборов самым древним является китай­ ский» [35, стр. 325]. Хотя достаточно полного описания счетной

доски древних китайцев ле сохранилось, но сейчас уже довольно

36

хорошо восстановлены как ее вид, так и способы работы на ней.

В Древнем Китае на счетной доске производились самые разнооб­

разные вычисления. При этом использовались небольшие палоч­ ки, при помощи которых выкладывались числа. Цифры при этом

образовывались по аддитивному принципу. Таблица чисел выгля­

дела следующим образом:

Затем обозначения повторялись, т. е. сотни обозначались так же, как единицы; тысячи, как десятки, И Т. д. Палочки, изобра-

жавшие числа, располагались то вертикально, то горизонтально.

Например, число 73 236 палочками выкладывалось так || ≡ Il T

Для нуля специального обозначения не было, вместо нуля был

пропуск — пустое место. На счетной доске в Древнем Китае воз­ ник и существовал позиционный принцип. Есть свидетельства, что он обнаруживается в III в. до н. э.

В более позднее время китайский математик Сунь-цзы (III или

IV в. н. э.) писал по этому поводу: «Прежде всего [следует] по­ знакомиться с-разрядами: единицы вертикальны, десятки выгля­

дят одинаково, десятки тысяч и сотни тоже» [36, стр. 23].

Как уже было отмечено, на счетной доске производились са­ мые различные операции и выкладки. Рассмотрим сложение на следующем примере: 9876 + 5647 = 15 523.

14000 TT=LT~T≡7Γ

Счет на доске шел снизу вверх. На нижней строке доски вык­ ладывали слагаемые. Сложение шло от старших разрядов к млад­

шим. 9000+∙5000 = 14 000 — это число помещали над первым сла­

гаемым, при этом соблюдали соответствие между разрядами. В эту же строку переносят оставшиеся цифры слагаемых (876 и 647).

Затем складывают 800 + 600 — 1400 — этот результат прибавляют к ранее полученным 14 000 и получают 15 400. Это число помеща-

37

тот в третьей строке снизу, в этой же строке ставят и оставшиеся числа: 76 и 47. Затем находят 70+40 = НО и прибавляют к пре­

дыдущему результату: 15 400 + 110 = 15 510. Эту сумму ставят в

следующей строке, рядом ставят последние слагаемые 6 и 7. При­

бавляя 6 + 7 = 13 к 15 510, получают окончательный результат,

который записывают в верхней строке.

Характеризуя действия умножения и деления, Сунь-цзы дает

следующее правило: «Установи разряды [чисел] один под другим,

[так чтобы числа] в верхней и нижней [строках] были соответст­ венно расположены. В верхней [строке] разряды суть десятки, за

десятками следуют сотни, за сотнями следуют тысячи, за тысяча­ ми... Нижние [разряды] умножь на верхние. Числа, которые полу­ чаются, помести в ряд в средней строке. Как только будут десятки,

переходи [в следующий разряд, если] не превышает [десятки], то

[оставь] в собственном [разряде]. Ту [цифру] разряда в верхней

[строке], которая до конца использована при умножении, убери.

Ту [цифру] разряда в нижней [строке], которая до копца исполь­ зована при умножении, передвинь вместе со всеми остальными

вправо. Шесть но состоит из груды палочек, пять не является еди­

ничной [палочкой]. Когда в верхней и нижней [строках разряда] перемножить, то полностью все будет выполнено. Правило, которое

[употребляется] всякий раз при делении, прямо противоположно

умножению: результат умножения находится в центре, результат деления находится в верхней строке» [36, стр. 23].

Впервые в этом сочинении Сунь-цзы мы находим формулировку

позиционного принципа в представлении чисел иа китайском счет­ ном приборе. Об отсутствии же какого-либо разряда свидетельство­ вало пустое место, так что знака для пуля не требовалось. Таким

образом, это была первая, известная нам, позиционная десятичная

система счпслеппя.

«Китайская счетная доска сыграла особую роль в истории ки­

тайской математики. Древнекитайский ученый мог считать задачу

решенной только тогда, когда для нее было составлено правило

решения па доске. В терминах вычислительной математики это

означает составление для каждой задачи программы или алгорит­

ма ее решения, проводимого на машине» [32, стр. 10].

В виде примера Сунь-цзы рассматривает следующую задачу:

сколько получится, если перемножить 81-81?

ло] занимает среднюю строку. В верхней [строке] 8, в нижней 1,

Одиножды восемь дает 8, т. е. в средней строке будет 80. Пере­ двинь вправо [цифры] па одни разряд, сними в верхней строке 8 десятков. В верхней строке 1, в нижней 8, одиножды восемь дает 8,

т. е. в средней строке будет 8 десятков. В верхней [строке] 1, в

нижней 1. Одиножды один дает 1, т. е. в средней строке будет 1. Разряды в верхней и нижней строках убраны и в средней строке получилось 6561» [36, стр. 24—25].

38

В соответствии с этим описанием умножение на доске происхо-

дит по схеме:

Ha счетной доске можно было также производить делепие, дей­ ствия с дробями, извлечение не только квадратных, но и кубиче­

ских корней. Операции на счетной доске в древнекитайской мате­ матике являлись не вспомогательными операциями — счетная доска и действия на ней составляли сущность самой математики.

Задача считалась решенной только в том случае, если ответ можно

было получить на счетной доске, перекладывая по определенным

правилам счетные палочки. На счетной доске были сделаны фунда­ ментальные открытия математики.

Действия с числителями и знаменателями на доске привели к

понятию дроби как числа. В результате обобщения правила извле­ чения корней, разработанного на основе формулы бинома на счет­

ной доске, возник, еще до конца первого тысячелетия пашей эры, способ вычисления корней, соответствующий способу Руфинни —

Горнера7 [37]. На счетной доске вычислялись корни систем ли­

нейных уравнений. Коэффициенты системы располагались ца дос­ ке в виде таблицы, с помощью которой, по выработанным прави­

лам, можно было всегда производить вычисления однообразным путем. При этом естественным образом появились отрицательные числа, которые вначале были введены формально, в качестве про­

межуточных результатов при преобразовании матрицы системы. Отрицательные числа появились в результате применения алго­ ритма решения систем линейных уравнений. Такое применение

иногда приводило к тому, что приходилось вычитать из меньшего

числа большее, т. е. в результате применения некоторого алгорит­ ма к более широкому классу задач. Это впервые в истории науки

встречается в «Математике в девяти книгах» [38]. Введение от­ рицательных чисел и правил действий с ними явилось одним из

самых крупных достижений китайских математиков. Это был пер­

вый выход за пределы области положительных чисел. Китайские математики опередили при этом науку других стран на столетия.

Для отличия положительных и отрицательных чисел употребля­ лись различно окрашенные палочки, а также палочки разной фор­

мы поперечного сечения. Положительные числа обозначались па­ лочками красного цвета или с квадратным сечением, а отрица­

тельные — черного цвета или треугольного сечения.

«Доска для вычислений являлась... некоторой простейшей

счетной машиной, которая требовала создания для нее програм-

7 Описание извлечения квадратного и кубического корней в «Математике в девяти книгах» [38] является наиболее ранним из известных истории науки.

39